广东省广州市天河区明珠教育集团2025-2026学年八年级下学期期末联考问卷 数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市天河区明珠教育集团2025-2026学年八年级下学期期末联考问卷 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每个小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，，B. 3，4，5C. 5，12，13D. 20，21，31
3. 一款纸杯的形状如图所示，其杯口直径大于杯底直径.向纸杯内匀速倒水，表示纸杯内水的高度与倒水时间之间关系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（ ）
A. 这个月空气质量指数的最大值为B. 中位数为
C. 数据在箱体的右侧比较集中D. 第一四分位数为
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A. B. C. D.
9. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象经过第一、二、四象限B. y随x的值增大而增大
C. 函数必经过点D. 与x轴交于
10. 如图，在Rt中，，点在上，且是的中点，点在上运动，则的最小值是（ ）
A. B. C. 6D. 5
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________．
12. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形．
13. 已知为一次函数（为常数）图象上的两个点，则____（填“”“”或“”）．
14. 某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准、音色、表现力的分数分别是8分，10分，5分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是______分．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点、，若直线与线段有公共点，则a的范围为________．
16. 如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ．
三、解答题（本大题共9题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
18. 如图，中，点E、F分别在、上，且．求证：．
19. 已知一次函数（m为常数，）和．
（1）若的图象过点，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求与的图象的交点坐标；
（3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围．
20. 如图，中，．
（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）
①在上确定一点D，使D到、的距离相等；
②过点D作，交于点E；
（2）在（1）的条件下，则的周长为_______．
21. 第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“”）于2025年6月12日－14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识知多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀．
【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图：
【数据分析】小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________．
（2）小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由．
（3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人数．
22. 综合与实践
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
【建立模型】
（1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式．
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解决问题】
（3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？
23. 巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长 ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
24. 【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“相关函数”．
例如：一次函数，它的“相关函数”为．
已知一次函数，请回答下列问题：
（1）该一次函数的“相关函数”为________；
（2）已知点在该一次函数的“相关函数”的图象上，求a的值；
（3）当时，求该一次函数的“相关函数”的最大值和最小值；
（4）已知直线与该一次函数的“相关函数”的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围．
25. 问题发现：
（1）如图，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．
①若，求的值．
②如图，若与交于点，连接，若，求证：．
迁移运用：
（2）如图，四边形中，，垂足为，，过点作，垂足为，连接．若，且，求的值．
数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每个小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：是二次根式，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可．
解答过程：解：、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
、是二次根式，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，该选项符合题意；
、的被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
、是分数，不是二次根式，该选项不符合题意．
2. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，，B. 3，4，5C. 5，12，13D. 20，21，31
答案：D
解析：
思路：本题利用勾股定理的逆定理求解，只需判断每组中较小两边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出不能构成直角三角形的选项.
解答过程：解：选项A：最长边为
∵
∴ 能构成直角三角形，不符合题意；
选项B：最长边为
∵
∴ 能构成直角三角形，不符合题意；
选项C：最长边为
∵
∴ 能构成直角三角形，不符合题意；
选项D：最长边为
∵ ，，
∴ 不能构成直角三角形，符合题意；
3. 一款纸杯的形状如图所示，其杯口直径大于杯底直径.向纸杯内匀速倒水，表示纸杯内水的高度与倒水时间之间关系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查函数图象的实际应用，关键是通过纸杯“上宽下窄”的形状，分析横截面积变化对水位上升速度的影响，进而匹配对应的函数图象特征．
解答过程：解：纸杯呈上宽下窄的形态，意味着随着水的高度增加，纸杯的横截面积逐渐增大。
设倒水速度为（单位时间倒入水的体积，恒定不变），
则水的高度变化满足（)为单位时间内倒入水的体积，为单位时间内水位上升的高度）；
变形得，由于随增大而增大，
所以随增大而减小，即水位上升速度逐渐变慢；
函数图象中，“水位上升速度逐渐变慢”表现为曲线的斜率逐渐减小（图象越来越平缓）；观察选项：
A选项：直线，斜率不变（水位匀速上升），不符合；
B选项：折线且斜率先小后大（水位先慢后快上升），不符合；
C选项：曲线斜率逐渐减小（水位上升速度逐渐变慢），符合；
D选项：曲线斜率逐渐增大（水位上升速度逐渐变快），不符合．
因此选择C选项．
故选：C．
4. 如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据平行四边形的判定定理逐一判断即可．
解答过程：解：A、由，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、由，不可以判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形也可以满足一组对边平行，另一组对边相等，故此选项符合题意；
D、由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
5. 如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（ ）
A. 这个月空气质量指数的最大值为B. 中位数为
C. 数据在箱体的右侧比较集中D. 第一四分位数为
答案：D
解析：
思路：本题考查箱线图的应用，熟记箱线图及相关统计量的意义是解决问题的关键．
由箱线图得到最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为，结合相关统计量逐项分析选项即可得到答案．
解答过程：解：如图所示：
最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为，
A、这个月空气质量指数的最大值为，说法正确，不符合题意；
B、中位数为，说法正确，不符合题意；
C、在箱体中，中位数左侧宽、右侧窄，则数据在箱体的右侧比较集中，说法正确，不符合题意；
D、第一四分位数为，选项中原说法错误，符合题意；
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故此选项运算错误，不符合题意；
B、，故此选项运算错误，不符合题意；
C、，故此选项运算错误，不符合题意；
D、，故此选项运算正确，符合题意．
7. 如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据以上知识逐一分析各选项即可.
解答过程：解：∵， 是斜边上的中线，
∴，
∴，，A正确，不符合题意，
∵是斜边上的高，
∴，
∴，故B正确，不符合题意，
∵不一定等于， 是斜边上的高，
∴不一定等于，
∴不一定正确，故C符合题意，
∵，
∴，故D正确不符合题意，
故选：C
8. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查了三角形内角和以及正方形、等边三角形的性质，先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．
解答过程：解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 图象经过第一、二、四象限B. y随x的值增大而增大
C. 函数必经过点D. 与x轴交于
答案：A
解析：
思路：根据一次函数的性质，逐一验证各选项即可得到结果．
解答过程：解：已知函数为，可得，，
对于A选项：∵，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，A正确；
对于B选项：∵，
∴随的增大而减小，B错误；
对于C选项：当时，，
∴函数不经过点，C错误；
对于D选项：函数与轴相交时，令得，解得，
∴函数与轴交于，D错误．
10. 如图，在Rt中，，点在上，且是的中点，点在上运动，则的最小值是（ ）
A. B. C. 6D. 5
答案：B
解析：
思路：本题考查轴对称—最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握最短路线模型是解题的关键．
延长至，使，连接，，作于点，根据等腰直角三角形的判定和性质求出的长度，再证得，最后根据两点之间线段最短确定最小值就是，据此求解即可．
解答过程：延长至，使，连接，，作于点，如图所示，
在Rt中，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt中，由勾股定理，得，
即，
，
∴，，
在Rt中，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，最小值为．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________．
答案：
解析：
思路：根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可．
解答过程：解：根据题意得：
移项得：
即的取值范围是．
12. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形．
答案：八
解析：
思路：根据正多边形内角和公式进行计算即可得解．
解答过程：解：设这个正多边形是n边形．
∴正多边形的内角和为，
∵一个正多边形的内角都是，
∴，解得，
即这个多边形是八边形．
13. 已知为一次函数（为常数）图象上的两个点，则____（填“”“”或“”）．
答案：
解析：
思路：本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，可得出．
解答过程：解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵是一次函数（为常数）图象上的两点，且，
∴．
故答案为：．
14. 某中学举行校园十佳歌手比赛，小雨同学的音准、音色、表现力的分数分别是8分，10分，5分，若依次按的比例确定最终成绩，则小雨的最终成绩是______分．
答案：8
解析：
思路：本题考查加权平均数的计算，根据给定的分数和比例，使用加权平均数公式求解即可．
解答过程：解：（分），
则小雨的最终成绩是8分．
故答案为：8．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点、，若直线与线段有公共点，则a的范围为________．
答案：
解析：
思路：本题考查了一次函数的性质，由题意可得平行于轴，求出在中，当时，，由此即可得出结果，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
解答过程：解：∵在平面直角坐标系中，点、，
∴平行于轴，
∴在中，当时，，
解得，
∵直线与线段有公共点，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ．
答案： ①. ②. ##
解析：
思路：过作于，延长，交于点，证明，可得，点到的距离为，点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方，记与的交点为，此时，且，可得，当，重合时， ，当，重合时，同理：，再进一步求解即可．
解答过程：解：如图，过作于，延长，交于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
点到的距离为，
点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方，
如图，当，重合时，位置为点起始位置，当，重合时，点在终点，
记与的交点为，此时，且，
，
当，重合时， ，
，，
当，重合时，同理：，
，
，
点的运动轨迹（起点到终点）长度为，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共9题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
答案：
解析：
解答过程：解：原式．
18. 如图，中，点E、F分别在、上，且．求证：．
答案：见解析
解析：
思路：根据平行四边形的性质得到，，进而可得，再由，可证四边形是平行四边形．即可证得．
解答过程：证明：∵四边形是平行四边形，
，．
，
，即．
，
∴四边形是平行四边形．
．
19. 已知一次函数（m为常数，）和．
（1）若的图象过点，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求与的图象的交点坐标；
（3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围．
答案：（1）
（2）与的图象的交点坐标为
（3）解析：
思路：（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）联立两个函数解析式，进行求解即可；
（3）图象法求出不等式的解集即可.
（1）解：把点代入，得，
解得；
（2）解：由（1）可知，
联立，解得，
故与的图象的交点坐标为；
（3）解：画出函数图象如图：
由图可知，当时，.
20. 如图，中，．
（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）
①在上确定一点D，使D到、的距离相等；
②过点D作，交于点E；
（2）在（1）的条件下，则的周长为_______．
答案：（1）①见解析；②见解析
（2）8
解析：
思路：（1）①作的平分线交于点D即可；
②直接利用作垂线的方法即可；
（2）根据勾股定理求得的长，根据角平分线的性质得到，再利用证明求得，则，利用三角形的周长公式即可求解.
（1）解：①点D如图所示，
②点E如图所示；
（2）解：中，，
∴，
由作图知是的平分线，且，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴的周长为．
故答案为：8．
方法提示：本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
21. 第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“”）于2025年6月12日－14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取七、八年级的部分同学进行“国防知识知多少”的测试，满分为10分，8分及以上为优秀．
【数据整理】小文同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图：
【数据思路：小文同学又对两个年级的成绩进行了分析，得到了如下的统计表：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________．
（2）小科同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小科同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由．
（3）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请估计七年级测试成绩高于平均数的人数．
答案：（1），8，
（2）小科同学可能是七年级的学生．理由见解析
（3）估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人．
解析：
思路：本题考查了统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计总体等知识是解答此题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义直接求解即可；
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
（1）解： 因为七年级数据中，数据8分出现15次，出现次数最多，所以这组数据的众数是8，
即，
因为八年级数据中，中间的两个数是8，9，所以中位数，
，
故答案为：，8，；
（2）解：推测小科同学可能是七年级的学生．
因为小科的分数在年级属于中游略偏上，故小科的分数大于或等于所在年级的中位数，
因为七年级的中位数为8，八年级的中位数为8.5，
故小科同学可能是七年级的学生；
故答案为：七；
（3）解：由统计图可得七年级高于的同学有（人），
（人），
估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人．
22. 综合与实践
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
【建立模型】
（1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式．
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解决问题】
（3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？
答案：
（1）如图
（2）（3）22个
解析：
思路：本题考查一次函数的实际应用．解题的关键是求出一次函数的解析式．
（1）描点，连线画出函数图象，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将代入函数解析式，进行求解即可；
（3）将代入函数解析式，进行求解即可．
解答过程：解：[建立模型]
（1）根据点的分布规律可知，h关于x的函数关系式满足一次函数，
设h关于x的函数关系式为，
∵图象经过，
∴，
解得，
∴h关于x的函数关系式为；
（2）当时，，
∴这摞杯子的总高度；
（3）当时，，
解得：，
∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里．
23. 巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长 ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
答案：（1）
（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
（3）点D到线段AE的距离为
解析：
思路：本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可求解；
（2）先求出，再求出的值，即可得出结论；
（3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解．
（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
24. 【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“相关函数”．
例如：一次函数，它的“相关函数”为．
已知一次函数，请回答下列问题：
（1）该一次函数的“相关函数”为________；
（2）已知点在该一次函数的“相关函数”的图象上，求a的值；
（3）当时，求该一次函数的“相关函数”的最大值和最小值；
（4）已知直线与该一次函数的“相关函数”的图象只有一个交点时，直接写出b的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）当时，该一次函数的“相关函数”的最大值为，最小值为；
（4）解析：
思路：本题考查了一次函数的图象及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图象是解题关键．
（1）根据相关函数的定义，即可得一次函数的“相关函数”；
（2）将点代入一次函数的相关函数求解即可；
（3）根据相关函数的图象和性质，结合的范围，即可得最值；
（4）结合函数图象判断求解．
（1）解：根据相关函数的定义得：
一次函数的“相关函数”为，
故答案为：．
（2）解：∵点在一次函数的相关函数上，
∴，或，
∴．
（3）解：当时，一次函数的“相关函数”为，
图象如下：
当时，一次函数的“相关函数”取最大值，最大值为，
当时，一次函数的“相关函数”取最小值，最小值为，
∴当时，该一次函数的“相关函数”的最大值为，最小值为．
（4）解：一次函数的“相关函数”为，
图象如下：
点的纵坐标为，点的纵坐标为，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
随着增大，直线向上平移，
∵直线与该一次函数的“相关函数”的图象只有一个交点，
∴．
25. 问题发现：
（1）如图，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．
①若，求的值．
②如图，若与交于点，连接，若，求证：．
迁移运用：
（2）如图，四边形中，，垂足为，，过点作，垂足为，连接．若，且，求的值．
答案：（1）①；②见解析；（2）
解析：
思路：（1）①利用翻折和正方形的性质证三角形全等即可求得结果；②利用翻折及平行线的性质找出角及边的等量关系，即可证明全等；
（2）延长到点，使，连接，设，分别表示出，则的值可求．
解答过程：（1）①解：由翻折可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴（），
∴；
②证明：∵，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∵由翻折可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（）；
（2）解：延长到点，使，连接，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴．
方法提示：本题考查了全等三角形的性质和判定、正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的判定及性质、勾股定理，关键是灵活应用知识点解题.
平均数/分
中位数/分
众数/分
优秀率
七年级
8.075
8
72.5%
八年级
8.375
9
杯子的数量x（只）
1
2
3
4
5
6
…
总高度h（cm）
10
11.4
12.8
14.2
15.6
17
…
平均数/分
中位数/分
众数/分
优秀率
七年级
8.075
8
72.5%
八年级
8.375
9
杯子的数量x（只）
1
2
3
4
5
6
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总高度h（cm）
10
11.4
12.8
14.2
15.6
17
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