安徽省宣城市宁国市2025-2026学年七年级下学期6月期末 数学试题（含解析）

这是一份安徽省宣城市宁国市2025-2026学年七年级下学期6月期末 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 如图，直线，被直线所截，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 下列式子中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则的取值范围是（ ）
A. 取任意实数B.
C. D.
8. 《九章算术》中有一道驿站送信的题目，意思是把一封信送往900里的城市，用慢马比规定时间晚一天到，用快马比规定时间提前3天到．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，，和分别是和的角平分线，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（ ）
A. 10B. 20C. 40D. 60
二、填空题（本大题共4小题，小题每小题4分，14小题5分，共17分）
11. 分解因式：________．
12. 2019年至2022年，新冠病毒肆虐全球，造成很多人受感染甚至死亡．其中新冠病毒颗粒大小约为60至140纳米（1纳米米），纳米用科学记数法表示为_________米．
13. 如图，直线和相交于点，，已知，_________．
14. ，，
（1）_________，
（2）_________．
三、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
15. 计算：．
16. 先化简，再求值：，其中．
四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
17. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
18. 如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形．
（1）请在图中画出一个面积为5的格点正方形．
（2）在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）．
五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19. 如图，已知，点A在上
（1）作，垂足是D，过B作交于E．用三角尺在图中画出和．
（2）A到直线的最短距离是线段________的长度，理由是：________．
（3）与垂直吗？请说明理由．
20. 有20名同学准备了6600元一起去看比赛，所有人都必须进场，购票时发现门票有两种：A类票600元/张，B类票120元/张．
（1）求A类票最多能买多少张；
（2）若规定A类票数量不少于B类票数量的一半，有哪些购票方案；
（3）在（2）的条件下哪一种购票方案最省钱．
六、（本题满分11分）
21. 综合与实践
【阅读材料】
著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”．利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）在学习“整式的乘法”时，图1是一个边长为的正方形，分成四个部分，分格线均与正方形或长方形的边平行．根据面积相等可得等式______．
如图2，模仿图1，可得等式______．
【进一步探究】
（2）如图3，可得等式______．
【直接应用】
（3）当时，，求和的值．
数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都属于有理数，根据概念逐一判断即可。
解答过程：解：A、，2是整数，属于有理数，故A不符合要求，
B、是无限不循环小数，属于无理数，仍是无限不循环小数，是无理数，故B符合要求，
C、是有限小数，属于有理数，故C不符合要求，
D、是分数，属于有理数，故D不符合要求．
2. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答．
解答过程：解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有C选项中的图案可以有平移得到，
故选：C．
3. 已知，下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据同类项定义、同底数幂的乘法、乘方、除法法则逐项分析解答．
解答过程：解：A. 不能合并，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确，
故选：D．
方法提示：本题考查同底数幂的乘法、乘方、除法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4. 下列说法，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：A
解析：
解答过程：解：选项A：∵有意义，
∴，
又∵任何非零数的平方都是正数，
∴．
∵，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，
∴，A正确．
选项B：当时，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，当时，分式无意义，因此B错误．
选项C：举反例，若，，满足，但，因此C错误．
选项D：举反例，若，，满足，但，因此D错误．
5. 如图，直线，被直线所截，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据图形得出 与 互为对顶角，由平行线的性质得到，再由，从而结合已知条件求解．
解答过程：解：∵与互为对顶角，
，
，
，则
又，
∴
解得，
．
6. 下列式子中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据算术平方根与立方根的定义判断每个式子的正误即可得到答案．
解答过程：解：A、∵表示的算术平方根，∴，A错误；
B、，B正确；
C、，C正确；
D、，D正确.．
7. 若，则的取值范围是（ ）
A. 取任意实数B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：本题利用二次根式的性质将原式转化为绝对值和的形式，再根据绝对值的化简规则在a的不同取值范围内讨论，即可得到的取值范围．
解答过程：解：∵根据二次根式性质，，
∴原等式可化为．
分三种情况讨论：
① 当时，，，
∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立；
②当时，，，
∴，等式恒成立，故此取值范围满足条件；
③ 当时，，，
∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立．
综上，的取值范围是，故选D．
8. 《九章算术》中有一道驿站送信的题目，意思是把一封信送往900里的城市，用慢马比规定时间晚一天到，用快马比规定时间提前3天到．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据规定时间分别表示出慢马、快马走完全程的时间，再结合“速度=路程÷时间”得到两者速度，最后根据快马速度是慢马速度的2倍的等量关系列方程。
解答过程：解：设规定时间为天，则慢马所用时间为天，快马所用时间为天，
根据题意得：．
9. 如图，，和分别是和的角平分线，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：过点作，过点作，由平行线的性质可得，，结合角平分线可得，因此．
解答过程：解：如图，过点作，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∵和分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
∴．
10. 如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（ ）
A. 10B. 20C. 40D. 60
答案：D
解析：
思路：根据已知条件得出，，再由完全平方公式得出，然后，代入相关数据，由，得出即可得出答案．
解答过程：解：∵在直角三角形中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
二、填空题（本大题共4小题，小题每小题4分，14小题5分，共17分）
11. 分解因式：________．
答案：
解析：
解答过程：解： ．
12. 2019年至2022年，新冠病毒肆虐全球，造成很多人受感染甚至死亡．其中新冠病毒颗粒大小约为60至140纳米（1纳米米），纳米用科学记数法表示为_________米．
答案：
解析：
思路：先将140纳米换算为以米为单位的数值，再根据科学记数法表示绝对值小于1的正数的规则进行表示即可．
解答过程：解：由题意得： 纳米 米 米，
∴ 纳米 米
米
米．
13. 如图，直线和相交于点，，已知，_________．
答案：
解析：
解答过程：解：∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
14. ，，
（1）_________，
（2）_________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：（1）观察题中规律，即可得到答案；
（2）观察题中规律，将规律逆运用可以把式子化简计算，即可求解．
解答过程：（1）观察题中式子可知，；
（2）观察题中式子可知，
．
三、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
15. 计算：．
答案：
解析：
解答过程：解：原式．
16. 先化简，再求值：，其中．
答案：；
解析：
解答过程：解：
，
当时，
原式．
四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）
17. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
答案：，
解析：
解答过程：解：，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集为，
数轴略．
18. 如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形．
（1）请在图中画出一个面积为5的格点正方形．
（2）在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）．
答案：（1） （2）4
解析：
思路：（1）画出边长为的正方形即可；
（2）画出所有面积为5的正方形即可．
（1）略
（2）解：画出所有面积为5的正方形，如图，
共有4个面积为5的格点正方形．
五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
19. 如图，已知，点A在上
（1）作，垂足是D，过B作交于E．用三角尺在图中画出和．
（2）A到直线的最短距离是线段________的长度，理由是：________．
（3）与垂直吗？请说明理由．
答案：（1） （2），垂线段最短
（3）垂直，理由如下：
∵，，
∴，
∴．
解析：
思路：（1）根据要求作图即可；
（2）根据垂线段最短作答即可；
（3）根据平行线的性质作答即可．
（1）略；
（2）解：A到直线的最短距离是线段的长度，理由是：垂线段最短；
（3）略．
20. 有20名同学准备了6600元一起去看比赛，所有人都必须进场，购票时发现门票有两种：A类票600元/张，B类票120元/张．
（1）求A类票最多能买多少张；
（2）若规定A类票数量不少于B类票数量的一半，有哪些购票方案；
（3）在（2）的条件下哪一种购票方案最省钱．
答案：（1）
A类票最多能买张
（2）共有两种购票方案：方案一：购买A类票张，购买B类票张；方案二：购买A类票张，购买B类票张
（3）选择购票方案一：购买A类票张，购买B类票张最省钱
解析：
思路：(1)设购买A类票x张，则购买B类票张，根据题意列出关于x的不等式组，再解出不等式组的解集，由为整数即可得出答案；
(2)根据“规定A类票数量不少于B类票数量的一半”得出不等式，并解得不等式的解集，结合(1)中已知的x的取值范围，再由为整数即可得出购票方案；
(3)在（2）的条件下分别计算两种方案的购票总费用，再进行大小比较即可得出最省钱的方案．
（1）解：设购买A类票x张，则购买B类票张，
根据题意，得，
解得，
∵为整数，
∴取最大值为8，即A类票最多能买8张；
（2）解：设购买A类票x张，则购买B类票张，
根据题意，得，解得，
由(1)知，
∴，
∵为整数，
∴可以取的值为7，8，
∴共有两种购票方案：
方案一：购买A类票7张，购买B类票13张；
方案二：购买A类票8张，购买B类票12张；
（3）解：方案一：购买A类票7张，购买B类票13张，共需要：(元)；
方案二：购买A类票8张，购买B类票12张，共需要：(元)；
∵，
∴选择方案一：购买A类票7张，购买B类票13张最省钱．
六、（本题满分11分）
21. 综合与实践
【阅读材料】
著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”．利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）在学习“整式的乘法”时，图1是一个边长为的正方形，分成四个部分，分格线均与正方形或长方形的边平行．根据面积相等可得等式______．
如图2，模仿图1，可得等式______．
【进一步探究】
（2）如图3，可得等式______．
【直接应用】
（3）当时，，求和的值．
答案：（1）；
（2） （3）20；80
解析：
思路：（1）结合图形和正方形面积求解；
（2）结合图形和正方形面积求解；
（3）把和代入（2）中式子可求出，再把整理为，再代入和，进行计算即可．
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：∵
把和代入得：
，
∴，
∵和，
∴原式．