安徽省宣城市宁国市2025-2026学年八年级下学期6月期末 数学试题（含解析）

这是一份安徽省宣城市宁国市2025-2026学年八年级下学期6月期末 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B. 每组邻边都相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D. 四个角都相等的四边形是矩形
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（ ）条
A. 5B. 6C. 7D. 8
6. 小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（ ）．
A. 最小值为47B. 中位数为73
C. 上四分位数为83D. 平均数为73
7. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简（）
A. B. C. D.
8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
9. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 7
10. 如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出以下结论：①；②；③四边形是菱形．其中正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题（前5题每小题3分，16小题5分，第一空2分，第二空3分，共20分）
11. 与最简二次根式是同类二次根式，则________．
12. 已知一组数据：，，，，，，则这组数据的下四分位数为________．
13. 已知，是一元二次方程的两个根，则________．
14. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________．
15. 如图1，点从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是________．
16. 如图，是边长为的正方形的对角线，点，分别是，上的点，且，连接与交于点，连接．
（1）的长为________；
（2）若点，分别是，的中点，连接，则的长为________．
三、解答题（，共50分）
17. 计算：．
18. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹．
（1）在图1中，找一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形；
（2）在图2中，作的中垂线，使得点在格点上，与交于点，标出点即可（不写作法，保留作图痕迹）；你所作出的线段长为______．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值．
20. 如图所示，的两条对角线，相交于点，是边上的高，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
21. 机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为32千克（），为了减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到65千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克，
（ⅰ）下降后的润滑用油量为________，油的重复利用率提高为________．（用含的式子填空）
（ⅱ）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？
22. 为了解七年级学生生长发育情况，某校从七年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）
被抽取的七年级的女生身高数据是：
140，142，143，147，150，151，152，153，153，154
155，156，157，157，157，158，159，160，165，171
被抽取的七年级的男生身高在B组的数据是：
145，147，149，150，150，151，153，154，154
七年级被抽取学生的身高统计表
（1）直接写出________，________，________；
（2）根据以上信息，分析七年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可）
（3）若该校七年级女生有500人，男生有700人，请估计该校七年级身高不低于的学生共有多少人？
23. 如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、交于H．
（1）求证：；
（2）将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P．
①求证：；
②若，试求线段和之间的数量关系，并证明．
数学
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 若有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可．
解答过程：解：∵二次根式有意义的条件是被开方数
∴本题中
移项得
系数化为1得
2. 已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，．
解答过程：解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根．
∴ ，．
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B. 每组邻边都相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D. 四个角都相等的四边形是矩形
答案：C
解析：
思路：根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定分别进行分析即可．
解答过程：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确，本选项不符合题意；
B、每组邻边都相等的四边形是菱形，说法正确，本选项不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，本选项符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确，本选项不符合题意；
故选：C．
方法提示：本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据二次根式的四则运算法则，根据运算法则逐一计算各选项即可判断正误．
解答过程：解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项运算错误；
B、，故本选项运算正确；
C、，故本选项运算错误；
D、，故本选项运算错误．
5. 一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（ ）条
A. 5B. 6C. 7D. 8
答案：C
解析：
思路：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式与外角和的固定值列方程求出边数，再根据从边形一个顶点出发的对角线条数为计算即可．
解答过程：解：设这个多边形的边数为，
由题意得，
解得，
∴这个多边形为十边形，
∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为．
6. 小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（ ）．
A. 最小值为47B. 中位数为73
C. 上四分位数为83D. 平均数为73
答案：D
解析：
思路：本题考查箱线图和中位数的定义，根据箱线图逐项分析即可．
解答过程：解：对于A：由图可知，这组数据的最小值为47，故A正确；
对于B：由图可知，这组数据的中位数为73，故B正确；
对于C：由图可知，这组数据的上四分位数为83，故C正确；
对于D：根据箱线图不能直接得到平均数，故D不正确．
故选：D．
7. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简（）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据数轴上点的位置确定、的取值范围，进而判断、、的正负，利用绝对值和二次根式的性质化简求值即可．
解答过程：解：由数轴可知：，．
，，．
原式
．
8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
答案：A
解析：
思路：当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案．
解答过程：解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意；
当，即时，原方程是一元二次方程，
∵原方程有实数根，
∴，
∴，
解得，即此时满足条件的范围是且，
综上所述，的取值范围是．
9. 如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 7
答案：B
解析：
思路：设，由折叠可得，，，，，利用平角的定义和直角三角形两锐角互余求出，在中，根据勾股定理构造方程求解即可．
解答过程：解：设，
由折叠可得，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
即，解得，
∴．
10. 如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出以下结论：①；②；③四边形是菱形．其中正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：C
解析：
思路：①由折叠可得，，，得，可得，则，由正方形可得，可得；②由折叠可得，，，，证明，可得，再由正方形的性质可得、是等腰直角三角形，即可得；③由②可得，，，再由折叠可得，即可得四边形是菱形．
解答过程：解：①由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，故①错误；
②由折叠可得，，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
由①得，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，故②正确；
③由②可得，，，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴四边形是菱形，故③正确；
综上所述，正确的有2个．
二、填空题（前5题每小题3分，16小题5分，第一空2分，第二空3分，共20分）
11. 与最简二次根式是同类二次根式，则________．
答案：
解析：
思路：先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值．
解答过程：解：，且与最简二次根式是同类二次根式，
二者最简形式的被开方数相同，即，
解得．
12. 已知一组数据：，，，，，，则这组数据的下四分位数为________．
答案：
解析：
思路：下四分位数即第百分位数，根据百分位数的计算规则，先计算位置，再确定下四分位数．或者先找出前半部分数据，取中位数即可．
解答过程：解：已知数据已按从小到大顺序排列，数据个数，计算下四分位位置得．
不是整数，
向上取整为，对应第个数据即为所求下四分位数．
所以这组数据的下四分位数为．
或：，，，，，，
前一半数为，，，其中中位数为．
所以这组数据的下四分位数为．
13. 已知，是一元二次方程的两个根，则________．
答案：
解析：
思路：利用一元二次方程根的定义与一元二次方程根与系数的关系得到，，再将所求式子变形，并代入计算即可得到结果．
解答过程：解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴．
14. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________．
答案：或
解析：
思路：先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可．
解答过程：解：对因式分解得：，
或，
解得：，，
方程是“邻根方程”，
或，
解得：或．
15. 如图1，点从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是________．
答案：84
解析：
思路：先分析出点P在和上运动时的大小变化，再结合函数图象得到相应线段长．
解答过程：解：由图象分析可得：当点P在上运动时，不断增大，到达C点时，达到最大值，此时；
当P在上运动时，先减小再增大，
在此过程中，时，此位置记为，有最小值为，如图，
∴在中，，
P点到达A点时，可得，
∴在中，，
∴，
∴．
16. 如图，是边长为的正方形的对角线，点，分别是，上的点，且，连接与交于点，连接．
（1）的长为________；
（2）若点，分别是，的中点，连接，则的长为________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：（1）证明四边形、四边形是矩形，可得，，，再根据勾股定理求解即可；
（2）连接、，由矩形得出点N是的中点，证明是等腰直角三角形，由三线合一得，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解．
解答过程：解：（1）∵四边形是边长为5的正方形，
，，．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
四边形是矩形，
，，
∴在中，．
（2）如图，连接、，

∵四边形是矩形，
∴与互相平分，
∵点N是的中点，
∴点N是的中点．
∵四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形．
∵M是的中点，
，
，
∴，
∵在矩形中，，
∴．
三、解答题（，共50分）
17. 计算：．
答案：
解析：
解答过程：解：
．
18. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹．
（1）在图1中，找一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形；
（2）在图2中，作的中垂线，使得点在格点上，与交于点，标出点即可（不写作法，保留作图痕迹）；你所作出的线段长为______．
答案：（1）图见解析
（2）图见解析，
解析：
思路：本题考查无刻度的直尺作图问题，平行四边形的判定，中垂线的定义，根据图中的信息求得线段，和画出线段的中垂线是解题的关键．
（1）由图可知，过点找到，且，即可求得结果；
（2）以为斜边，构造直角三角形，根据直角三角形在网格线的位置，可以作出中位线交于点，依次构造直角三角形和直角三角形，两直角三角形有公共点格点，且斜边相等，连接交，即为所作线段的中垂线；再构造直角三角形，根据勾股定理即可解答．
（1）解：如图所示：四边形即为所求的平行四边形．
理由：由图可知，过点找到，且，
，，
四边形是平行四边形．
（2）解：如图所示：为所作的中垂线．
由图可知，构造直角三角形，如图，
，，
．
故答案为：．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值．
答案：（1）证明：∵，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解析：
思路：（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论；
（2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值．
（1）略
（2）解：对于一元二次方程，
因式分解，得，
所以或，
解得或，
即，的长分别为，1．
分两种情况讨论：
①若，则，解得，
此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意．
②若，则，解得，
此时三角形的三边长分别为1，1，2，
由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去．
综上所述，．
20. 如图所示，的两条对角线，相交于点，是边上的高，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
答案：（1）证明：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
（2）解析：
思路：（1）根据题意证明，结合四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形．
（2）根据菱形的性质得出，证明是等边三角形，由勾股定理得​，再根据四边形的面积求解即可​．
（1）略
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴​，
∴四边形的面积​．
21. 机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为32千克（），为了减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到65千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克，
（ⅰ）下降后的润滑用油量为________，油的重复利用率提高为________．（用含的式子填空）
（ⅱ）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？
答案：（1）26千克
（2）（i）；；（ii）60千克
解析：
思路：（1）根据题意得到实际耗油量等于润滑用油量×（重复利用率），代入数据计算即可；
（2）（i）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为；
（ii）根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克列出方程，解方程即可得到答案．
（1）解：（千克），
答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是26千克．
（2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为．
（ii）由题意可得，，
解得，（不合题意，舍去），
∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克．
∴．
答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是60千克．
22. 为了解七年级学生生长发育情况，某校从七年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）
被抽取的七年级的女生身高数据是：
140，142，143，147，150，151，152，153，153，154
155，156，157，157，157，158，159，160，165，171
被抽取的七年级的男生身高在B组的数据是：
145，147，149，150，150，151，153，154，154
七年级被抽取学生的身高统计表
（1）直接写出________，________，________；
（2）根据以上信息，分析七年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可）
（3）若该校七年级女生有500人，男生有700人，请估计该校七年级身高不低于的学生共有多少人？
答案：（1）154；15；157
（2）解：七年级学生中女生身高整体水平更高，理由如下：
女生身高的平均数与男生身高的平均数相同，但是女生身高的众数大于男生身高的众数，且女生身高的中位数大于男生身高的中位数，
∴七年级学生中女生身高整体水平更高；
（3）1055人
解析：
思路：（1）根据中位数和众数的定义可得a、n的值，求出男生身高在D组的人数占比即可得到m的值；
（2）根据女生身高的中位数和众数都比男生的大即可得到结论；
（3）利用样本估计总体思想求解即可．
（1）解：名，
∴被抽取的七年级的男生身高在A组的有2名学生，
把这20名男生的身高按照从低到高的顺序排列，第9个数据为，第10个数据为，
∴这20名男生的身高的中位数为，即；
，
∴；
∵这20名女生中，身高为的人数最多，
∴这20名女生的身高的众数为，即；
（2）略
（3）解：人，
答：估计该校七年级身高不低于的学生共有1055人．
23. 如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、交于H．
（1）求证：；
（2）将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P．
①求证：；
②若，试求线段和之间的数量关系，并证明．
答案：（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由翻折得，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
②，证明如下：
∵为等边三角形；
∴设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由翻折得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图，过作于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
解析：
思路：（1）证明，得到，等量代换后利用三角形外角的性质证明；
（2）①首先得到，证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得到；
②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论．
（1）略
（2）略
平均数
众数
中位数
女生
154
男生
154
155
平均数
众数
中位数
女生
154
男生
154
155