初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 等腰三角形的判定优质课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 等腰三角形的判定优质课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了建立数学模型，ABAC，你能验证你的结论吗，等腰三角形的判定，∠1∠2，∵∠B∠C，ADAD，等腰三角形的判定方法，等角对等边，在△ABC中等内容，欢迎下载使用。
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系?
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
在△BAD 与△CAD 中，
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∴AB = AC (全等三角形的对应边相等).
如图，作∠BAC 的平分线 AD.
∴ AC = AB ( )，即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）.
例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC.
证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180°(三角形的内角和等于180°)，∠A = 40°，∠B = 70°，∴∠C = 180° -∠A -∠B， = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠C =∠B.∴ AB = AC(等角对等边).
证明：∵ AB∥CD (已知)，∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等).又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠1 (等量代换).∴AB = AC (等角对等边).
例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC.
分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2.
一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A =∠B =∠C.求证： AB = AC = BC.
证明：∵ ∠A =∠B， ∴ AC = BC. ∵ ∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC.
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角 ∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°(或∠C = 60°) 呢？
例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
变式 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD = AE，△ADE 还是等边三角形吗？试说明理由.
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ ∠A + ∠ADE +∠AED = 180°，AD = AE，
∴ ∠ADE +∠AED = 120°.
∴ ∠ADE = ∠AED = 60°.
∴ △ADE 是等边三角形.
例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.∴ AB = AC (等角对等边)．
例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'，求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧.
∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)，∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°.即点 B、C'、B' 在同一条直线上.在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)，∴ ∠B =∠B' (等边对等角).在△ABC 和△A'B'C' 中， ∵∠B =∠B' (已证)， ∠ACB =∠ A'C'B' (已知)， AC = A'C' (已知)，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS).
这样我们就证明了前面给出的 HL .判定定理
1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长为(　　)A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm
2．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是(　　)A．∠B＝40°，∠C＝80°B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3C．2∠A＝∠B＋∠CD．∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶1
3．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有________个．
4．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.求证：△GEC是等腰三角形．
【思维模型】三角形的关系
∠A＝60°(答案不唯一)
5．如图是我们作圆(或作弧)时使用的圆规，已知圆规两脚OA＝OB＝8 cm.作圆或作弧时要调整圆规两脚张开的角度，若圆规两脚张开的角度为60°，则A，B两点间的距离为________cm.
6．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E.若∠E＝30°，AD＝AE.求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AD＝AE，∠E＝30°，∴∠E＝∠ADE＝30°，∴∠CAB＝∠E＋∠ADE＝30°＋30°＝60°.∵DF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴∠C＝90°－∠E＝60°，∴∠B＝180°－∠C－∠CAB＝180°－60°－60°＝60°，∴∠C＝∠B＝∠CAB，∴△ABC为等边三角形．
7．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F在△ABC的内部，点D在AE上，点E在BF上，点F在CD上，且∠BAE∶∠CBF∶∠ACD＝1∶2∶3，则△DEF的形状是(　　)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC＝∠ACD＝2∠B，若AB＝27，△ADC的周长为43，则CD＝________．
9.(原创题)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°.求证：△ABE是等边三角形．
(一题练透)在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.(1)【识别等腰】如图①，若AB＝AC，图中有_____个等腰三角形，且EF与BE，CF间的数量关系是____________．
EF＝BE＋CF＝2BE＝2CF
即时练透/角平分线+平行线→等腰三角形/
(2)【探索建模】如图②，若AB≠AC，其他条件不变，(1)问中EF与BE，CF间的数量关系还成立吗？请说明理由．
解：EF与BE，CF间的数量关系EF＝BE＋CF成立，EF＝2BE＝2CF不成立．理由如下：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO.
∵EF∥BC，∴∠BOE＝∠CBO，∠COF＝∠BCO，∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.∵AB≠AC，∴易知OE≠OF，∴EF≠2BE≠2CF.
(3)【模型应用】在(2)的条件下，若AB＝10，AC＝15，则△AEF的周长为________．(4)【变式探究】如图③，在△ABC中，若AB≠AC，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，则EF与BE，CF间的数量关系为_______________．