数学华东师大版（2024）3. 角平分线完美版ppt课件

这是一份数学华东师大版（2024）3. 角平分线完美版ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了角平分线的性质定理，一个点在角的平分线上，应用所具备的条件，怎样证明这个结论呢，试一试，典例精析，星题夯实四基，星题提升四能，星题发展素养等内容，欢迎下载使用。
在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？
如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
下面我们来证明刚才得到的结论.
已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：PD = PE.
证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，∴ ∠DOP =∠BOP.∵ PD⊥OA，PE⊥OB ，∴ ∠ODP =∠OEP = 90°.在△OPD 和△OPE 中，∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP，∴ △OPD≌△OPE ( AAS ). ∴PD＝PE.
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
角平分线性质定理的逆定理
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点 P 在∠AOB 的平分线上，可以先作射线 OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠DOP =∠EOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL ).
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
定理的作用：判断点在角平分线上.
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 也在∠A 的平分线上.
证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC，
垂足分别为 D、E、F.∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，∴ PD = PE.同理 PE = PF.∴ PD = PF.∴ 点 P 在∠A 的平分线上.
1. 【思维生长】如图①，如果点M在∠ANB的平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么AM＝________．向“ 动态分析”生长：如图②，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，连结PN.若PM＝6，则PN的长度不可能是(　　)A．18 B．7.2 C．6 D．4.5
向“转化思想”生长：如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.(1)若BC＝5，DE＝2，则DB的长为________；(2)若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．
2．如图，OP是∠AOB的平分线，且PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.求证：OP垂直平分AB.
证明：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP＝∠BOP.∵PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.在△AOP和△BOP中，∵∠AOP＝∠BOP，∠PAO＝∠PBO，OP＝OP，∴△AOP≌△BOP，∴OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB.
3．[知识初练]如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2.当PN＝________时，点P在∠BAC的平分线上．
4．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是_________．
5．如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF，OD，OE相等，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝________°.
6．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，AE＝AD.求证：点F在∠A的平分线上．
7.(立德树人·关注生活)如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座充电桩，若要使充电桩到三条公路的距离相等，则满足此要求的充电桩的位置有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8. 【新题型】将两把相同的直尺按如图放置在∠AOB上，两直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的对应读数分别是2和5，则OC的长度是________cm.
9．如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB ∶ S△OAC∶S△OBC＝__________．
10．[广东广州期中]如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD＝35°，则∠MAB的度数是________．
11．如图，已知∠AOB与点M，N，求作一点P，使点P到边OA，OB的距离相等，且PM＝PN(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如图，点P即为所求．
12．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE＝FD.
13.(推理能力)如图，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且满足ab－ac＝b2－2bc＋c2，AD⊥BC于点D，点P为AD上任意一点，PM⊥AC于点M，连结PC.(1)判断△ABC的形状；
解：∵ab－ac＝b2－2bc＋c2，∴a(b－c)－(b－c)2＝0，∴(b－c)(a－b＋c)＝0.∵a＋c＞b，∴a－b＋c＞0，∴b－c＝0, 即b＝c，∴△ABC是等腰三角形．
(2)当PC＋PM最小时，求∠BAC与∠PCD之间的数量关系．