重难点07三角函数的图像与性质（4种考向）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版）

重难点07三角函数的图像与性质（4种考向）

【目录】

一．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换

函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤

两种变换的差异

先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．

【解题方法点拨】

1．一个技巧

列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．

2．两个区别

（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．

（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．

3．三点提醒

（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；

（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；

（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．

二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

根据图象确定解析式的方法：

 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．

三．三角函数的周期性

周期性

①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．

【解题方法点拨】

1．一点提醒

求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．

2．两类点

y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．

3．求周期的三种方法

①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）

②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．

③利用图象．图象重复的x的长度．

四．正弦函数的定义域和值域

三角函数的定义域和值域的规律方法

1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．

（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；

（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；

（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．

五．正弦函数的单调性

三角函数的单调性的规律方法

1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．

2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

六．三角函数的最值

三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．

【例题解析】

例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．

 解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）

＝+cos（2x+）．

故答案为：+cos（2x+）．

 这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．

例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．

 解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]

∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝

∴当t＝时函数有最小值，

而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个

∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3

∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值

即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．

 这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．

【考点点评】

 求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．

考向1：三角函数的图像

一．选择题（共6小题）

1．（2023•韶关二模）函数的部分图象如图所示，将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到y＝g（x）的图象，则下列说法不正确的是（　　）

A．函数g（x）的最小正周期为π 

B．函数g（x）在上单调递增 

C．函数g（x）的一个极值点为 

D．函数g（x）的一个零点为

2．（2023•江西模拟）已知直线是函数图像相邻的两条对称轴，将f（x）的图像向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图像．若g（x）在（﹣m，m）上恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（　　）

A． B． 

C． D．

3．（2023•南关区校级模拟）已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）的图象关于y轴对称，则的最小值为（　　）

A． B．﹣2 C． D．0

4．（2023•乌鲁木齐模拟）如图所示的曲线为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，将y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，则（　　）

A．直线为g（x）图象的一条对称轴 

B．点（，0）为g（x）图象的一个对称中心 

C．函数g（x）的最小正周期为2π 

D．函数g（x）在[，]上单调递减

5．（2023•武汉模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0．在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（　　）

A．ω B．φ C． D．Asinφ

6．（2023•江西模拟）设函数在[﹣π，π]的图像大致如图，则f（π）＝（　　）

A． B． C． D．

二．多选题（共2小题）

（多选）7．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数在上单调，且f（x）的图象关于点对称，则（　　）

A．f（x）的最小正周期为4π 

B． 

C．将f（x）的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 

D．函数y＝5f（x）+4在[0，π]上有且仅有一个零点

（多选）8．（2023•临沂二模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，则（　　）

A． 

B．点是一个对称中心 

C．f（x）的单调递减区间是[3kπ﹣，3kπ+]（k∈Z） 

D．把函数y＝2sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，可得f（x）的图象

三．填空题（共4小题）

9．（2023•吴忠模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，则＝　　              ．

10．（2022•江西模拟）如图是函数的部分图像，f（a）＝f（b）＝0，且对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，则θ＝　　      ．

11．（2023•建华区模拟）将函数f（x）＝sin（x﹣）的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则不等式g（x）﹣g（）＞0在区间[0，π]内的解集为 　　               ．

12．（2023•西山区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝　　   ，直线y＝与函数y＝f（x）在（0，π）上的图像的所有交点的横坐标之和为 　　    ．

四．解答题（共3小题）

13．（2023•天河区三模）在直角坐标系中，已知⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆，点A（2，0），角x（单位：弧度）的始边为射线OA，终边与⊙O交于点B，点B的纵坐标y关于角x的函数为y＝f（x）．

（1）写出函数y＝f（x）的解析式；

（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．求函数y＝g（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值，并写出取得最值时自变量x的值．

14．（2022•柯桥区模拟）函数f（x）＝Asin（πx+φ），x∈R（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；

（Ⅱ）若，求A的值．

15．（2022•乐清市校级模拟）函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，其中B（，0），且最高点A与B的距离AB＝．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若α∈（，），f（4α）＝，求cos2α的值．

考向2：三角函数的周期性

1．（2023•福建模拟）函数f（x）＝asinx+bcos2x+csin4x（a，b，c∈R）的最小正周期不可能是（　　）

A． B．π C． D．2π

2．（2023•临高县模拟）下列函数中，最小正周期为π的是（　　）

A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝sinx D．y＝cos2x

（多选）3．（2023•邵阳二模）若函数f（x）＝2cosωx（cosωx﹣sinωx）﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则（　　）

A． 

B．f（x）在上单调递增 

C．f（x）在内有5个零点 

D．f（x）在上的值域为[﹣1，1]

（多选）4．（2023•吕梁二模）若函数f（x）＝2sinωx（cosωx﹣sinωx）﹣1（ω＞0）的最小正周期为π，则（　　）

A． 

B．f（x）在上单调递减 

C．f（x）＝﹣2在内有5个零点 

D．f（x）在[]上的值域为

考向3：三角函数的单调性

5．（2023•天津二模）若函数在区间上具有单调性，则ω的最大值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（2023•河南模拟）已知函数，，则f（x）的单调递增区间是（　　）

A． B． 

C．， D．，

（多选）7．（2023•让胡路区校级二模）已知函数满足，其图象向右平移s（s∈N*）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）在上单调递减，则（　　）

A．ω＝1 

B．函数f（x）的图象关于对称 

C．s可以等于5 

D．s的最小值为2

8．（2023•福田区校级模拟）已知函数．

（1）求函数f（x）在上的单调递增区间；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围．

考向4：三角函数的最值与值域

9．（2023•华容县模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），若函数f（x）的图象关于点中心对称，且关于直线轴对称，则ω的最小值为 　　．

10．（2023•全国模拟）若，则sinxsiny的最大值为 　　           ．

11．（2023•合肥三模）函数f（x）＝cos2x+2|sinx|（x∈[0，2π]）的值域为 　　             ．

12．（2023•海淀区校级模拟）已知在[0，m]上的最大值为，则实数m的最大值为 　　      ．

13．（2023•屯昌县二模）已知函数f（x）＝sinx﹣cosx（x∈R）．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）求函数的最大值与最小值．

14．（2023•徐汇区校级模拟）已知函数．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）求f（x）在上的最大值与最小值．

15．（2023•和平区校级一模）已知，．

（1）求α的大小；

（2）设函数f（x）＝sin（x+2α），x∈[0，π]，求f（x）的单调区间及值域．