2026年中考数学真题完全解读（湖北省卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（湖北省卷），共9页。

试题分析
2026 年湖北省中考数学试卷延续“10+5+9”的稳健结构，共 24 题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。全卷以基础性考查为底色，兼顾综合、应用与创新，试题编排由易到难、层次分明。选择题第 1~8 题主要覆 盖轴对称、科学记数法、幂的运算、平行线、调查方式、垂直平分线、方程应用与平行四边形等核心概念，侧重概念理解与基本运算；第 9、10 题提升综合度，将圆的切线与圆周角、一次函数与反比例函数及二次 函数图象综合融入同一情境，考查数形结合与推理能力。填空题第 11~14 题聚焦数轴比较、反比例函数性 质、概率与分式运算，强调运算准确；第 15 题以平行四边形折叠为载体，将角度计算、定圆轨迹与垂线段最短融为一体，具有较强的几何综合色彩。解答题第 16~18 题分别聚焦实数混合运算、矩形中的全等证明、解直角三角形的实际应用，强调规范表达与数学建模；第 19 题以《全民阅读促进条例》实施后的阅读调查
为背景，综合考查条形统计图、样本估计总体与统计量分析；第 20 题以湖北赛艇队在第十五届全国运动会夺金为情境，开展“赛艇稳定”的项目式学习，用数轴与有理数运算建立数学模型，体现综合与实践的考查力度；第 21 题在圆与等腰三角形中综合考查垂径定理、三线合一与勾股定理；第 22 题以中国传统“中国结”
编织为情境，贯通二元一次方程组、一元一次不等式与一次函数，求用绳量与最大利润；第 23 题以旋转为
背景，综合相似三角形、勾股定理与方程思想，层层递进；第 24 题以抛物线与动点正方形为主干，涉及一次函数、二次函数、参数讨论与分类讨论，承担压轴区分功能。整体而言，本卷突出湖北卷“本土情境与传统文化并重、应用意识与建模能力并重、几何与函数综合并重”的命题特色，对运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识和创新意识均有较全面的考查。
试题亮点
楚超赛制与方程建模：第 7 题以 2026 年湖北省城市足球联赛（楚超）单循环赛制为情境，要求根据参赛队数和总场次列一元二次方程，真实再现体育竞赛中的数学模型，考查学生将文字信息转化为代数关系的能力。
黄鹤楼与概率计算：第 13 题从湖北黄鹤楼、湖南岳阳楼、江西滕王阁和山西鹳雀楼四个名楼中随机选取，计算选中湖北黄鹤楼的概率，既渗透优秀传统文化，又落实数据观念的考查。
中国结与数学应用：第 22 题以传统中国结编织为情境，先列二元一次方程组求解大小号中国结的用绳量，再结合不等式与一次函数求最大利润，贯通方程、不等式与函数思想，凸显学科育人价值。
命题趋势
本土情境深度融合：试卷第 2、7、13、20、22 题等均以湖北元素或中国优秀传统文化为背景，体现数学服务地方、贴近生活的命题取向，引导学生用数学眼光观察现实世界。
核心素养分层落实：从第 1、4 题的几何直观，第 3、11 题的运算能力，到第 9、17、21 题的推理能力，再到第 7、22 题的模型观念，素养考查贯穿全卷，难度由浅入深。
综合实践跨学科渗透：第 18 题以机器人爬坡角为情境考查解直角三角形，第 20 题以赛艇稳定性为任务探究数轴与有理数建模，体现综合与实践领域的考查力度。
压轴题突出思维品质：第 23 题以旋转为背景综合考查相似三角形与勾股定理，第 24 题二次函数与一次函数、正方形动点结合，设置多参数讨论，突出逻辑推理和分类讨论能力。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
3
图形的性质→轴对称→轴对称图形识别
几何直观
2
单选
3
数与式→有理数→科学记数法
运算能力
3
单选
3
数与式→整式→幂的运算与合并同类项
运算能力
4
单选
3
图形的性质→平行线→平行线性质与角的计算
几何直观
5
单选
3
统计与概率→统计调查→全面调查与抽样调查
数据观念
6
单选
3
图形的性质→三角形→垂直平分线的性质
几何直观
7
单选
3
方程与不等式→一元二次方程→一元二次方程的应用
模型观念
8
单选
3
图形的性质→平行四边形→平行四边形性质与坐标平移
几何直观
9
单选
3
图形的性质→圆→切线性质与圆周角定理
推理能力
10
单选
3
函数→反比例函数→函数图象与大小比较
抽象能力
11
填空
3
数与式→实数→数轴与实数比较大小
运算能力
12
填空
3
函数→反比例函数→反比例函数的性质
抽象能力
13
填空
3
统计与概率→概率→简单随机事件概率
数据观念
14
填空
3
数与式→分式→分式的加减运算
运算能力
15
填空
3
图形的变化→图形的轴对称→折叠问题与最值
几何直观
16
解答
6
数与式→实数→实数混合运算
运算能力
17
解答
6
图形的性质→矩形→矩形性质与三角形全等
推理能力
18
解答
6
图形的变化→锐角三角函数→解直角三角形的应用
应用意识
考点模块占比分析
数与式模块（约 26%，31 分）：重点考查有理数、整式、分式、二次根式与实数运算等基础内容，以及一元二次方程、二元一次方程组、一元一次不等式与一次函数在解决问题中的应用。选择题第 2 题以湖北省
土地总面积为背景考查科学记数法，第 3 题综合考查幂的乘方、同底数幂除法与合并同类项，第 11 题通过
数轴比较实数大小，第 14 题考查同分母分式加减与约分；解答题第 16 题考查含零次幂、负整数指数幂、
二次根式与特殊角三角函数值的实数混合运算，第 7 题以“楚超”足球联赛单循环赛制列一元二次方程，第
22 题以“中国结”编织情境列方程组、不等式并求一次函数最值。该模块强调运算规范、概念准确与方程建模，是稳定得分的基础。
函数模块（约 15%，18 分）：重点考查反比例函数的图象与性质、函数图象的综合比较以及二次函数的综合应用。选择题第 10 题将三个函数图象置于第一象限，通过求交点、分区间讨论函数值大小，突出数形结
合与分类讨论；填空题第 12 题根据反比例函数图象所在象限确定比例系数取值范围；解答题第 24 题作为全卷压轴题，以抛物线与直线的交点、动点正方形边界与抛物线交点为主线，涉及参数表示、分段函数解析式与多情况讨论，考查学生的逻辑推理、运算求解与综合应用能力。该模块体现了函数思想在代数综合与压轴区分中的核心作用。
图形的性质模块（约 24%，29 分）：重点考查轴对称、平行线、三角形、四边形与圆的核心性质及推理。选择题第 1 题以剪纸艺术考查轴对称图形识别，第 4 题将直角三角尺与平行纸条组合考查角度计算，第 6
题利用垂直平分线性质求三角形周长，第 8 题通过平行四边形顶点坐标平移求第四点坐标，第 9 题以圆的
切线与圆周角定理计算角度；解答题第 17 题在矩形中证明三角形全等，第 21 题在等腰三角形与圆中证明平行并求半径。该模块分值较高，是思维深度与几何推理能力的主要载体，强调“找关系、写依据、重规范”的完整推理链。
图形的变化与综合实践模块（约 23%，28 分）：重点考查图形的轴对称（折叠）、解直角三角形、图形的旋转以及项目式学习。填空题第 15 题以平行四边形中的折叠为背景，结合邻角互补、定圆轨迹与垂线段最
短求解角度与线段最小值；解答题第 18 题以智能特种机器人爬坡角为情境，利用正弦函数判断机器人能否
爬上斜坡，强调实际应用与结果解释；第 20 题以湖北赛艇队全运会夺金为项目主题，通过数轴与正负数建
19
解答
8
统计与概率→统计图表→条形统计图与数据分析
数据观念
20
解答
8
综合与实践→数学建模→数轴与有理数运算
创新意识
21
解答
8
图形的性质→圆→圆的性质与勾股定理
推理能力
22
解答
10
方程与不等式→二元一次方程组→方程与函数的应用
模型观念
23
解答
11
图形的变化→图形的旋转→旋转与相似三角形
推理能力
24
解答
12
函数→二次函数→二次函数综合应用
创新意识
模探究“赛艇稳定”条件，并设计八人赛艇方案，突出探究性与开放性；第 23 题以旋转为背景，综合相似三角形、勾股定理与方程思想，层层递进。该模块体现了动态几何、实践应用与模型建构的深度融合。
统计与概率模块（约 12%，14 分）：重点考查全面调查与抽样调查、简单随机事件概率、统计图表与数据分析。选择题第 5 题以生活实例判断适宜全面调查的情境，第 13 题以湖北黄鹤楼、湖南岳阳楼、江西滕王
阁和山西鹳雀楼四个名楼为背景计算概率，渗透传统文化；解答题第 19 题以《全民阅读促进条例》实施后的阅读调查为情境，要求补全条形统计图、用样本估计总体，并结合平均数、中位数、众数、方差进行数据分析。该模块强调数据观念、用样本估计总体的统计思想以及基于数据做出合理解释的能力。
核心复习策略
回归教材，搭建结构化知识体系
优先夯实核心概念：熟练理解实数运算、整式与分式、方程与不等式、函数图象、三角形与圆等核心概念，做到概念清晰、公式准确。
按模块梳理知识网络：将数与式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等内容形成思维导图，明确各知识点之间的联系和常见综合方式。
专项突破综合题型，掌握通用解题方法
分类型训练：针对第 15、20、23 题的折叠、建模、旋转综合题，总结常用模型；针对第 24 题二次函数压轴题，训练设参数、列方程、分类讨论的通法。
强化图文转换：提高从图形、表格、统计图、函数图象中提取信息的能力，如第 19 题条形统计图和
第 24 题动点图形的分析。
建立学科思维，规范答题表达
重视分类讨论：第 10 题、第 24 题等需要根据参数范围或图象位置进行讨论，做题时要做到不重不漏。
将题目信息转化为数学语言：像第 7 题、第 22 题一样，善于从文字中提取等量关系，规范书写推理步骤、单位名称和最终答语。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。
×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。
×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
单选题
剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸图案是轴对称图形的是（）
B．C．D．
命题透视
核心考点：轴对称图形的概念与识别
命题分析：
情境创设：以中国传统剪纸艺术为情境，考查学生对轴对称图形的直观判断。
问题设计：给出四个剪纸图案，要求学生判断哪个是轴对称图形；选项中设置常见非对称图案作为干扰，考查概念辨析。
考查目标：考查学生能否依据折叠重合特征准确识别轴对称图形，发展几何直观素养。
答案与解析
【答案】C
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
知识总结
①轴对称图形：沿某条直线折叠后，直线两旁部分能够完全重合；②判断时先寻找可能的对称轴，再验证两侧是否重合；③常见非对称图形可通过局部不对称特征快速排除。
湖北省土地总面积为 18.59 万平方千米．将数 185900 用科学记数法表示为（）
A．1859 × 102B．185.9 × 103C．18.59 × 104D．1.859 × 105
命题透视
核心考点：科学记数法表示较大数
命题分析：
情境创设：以湖北省土地总面积 18.59 万平方千米为背景，将具体数值转化为科学记数法。
问题设计：给出 185900，要求学生用科学记数法表示，选项中设置指数位置、小数点移动位数等常见错误。
考查目标：考查科学记数法 a×10^n 中 a 与 n 的确定，发展运算能力。
答案与解析
【答案】D
【详解】解：∵科学记数法要求满足 1 ≤ < 10，将 185900 改写为符合要求的形式时，将小数点向左移动 5 位，可得 = 1.859， = 5．
∴ 185900 = 1.859 × 105．
知识总结
①科学记数法形式为 a×10^n，其中 1≤|a| 1 时，根据图象可得，1 < 2 < 3，A 选项可能；当1 = 2 = 3 < 1 时，根据图象可得，3 < 2 < 1，C 选项可能；综上，D 选项不可能．
知识总结
①先求函数图象交点坐标，确定分界点；②根据图象位置比较函数值大小；③注意 x 的取值范围，避免区间混淆。
填空题
11．数轴上表示数，的点如图所示，则 + 0．（填“>”“=”或“
【详解】解：由数轴可得， < 0 < , <
∴ + > 0．
知识总结
①数轴上右边的数总比左边大；②大数减小数为正，小数减大数为负；③比较大小时可先确定两数大小关系和距离。
12．反比例函数 = +1的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是．
命题透视
核心考点：反比例函数图象分布与性质
命题分析：
情境创设：以反比例函数图象位于第一、第三象限为条件，确定比例系数的取值。
问题设计：给出函数图象所在象限，要求学生根据反比例函数性质写出符合条件的 k 值。
考查目标：考查反比例函数图象分布与比例系数符号的关系。
答案与解析
【答案】1（答案不唯一， >− 1 即可）
【分析】对于反比例函数 = ，当比例系数 > 0 时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，
求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可．
【详解】解：∵反比例函数 = +1的图象位于第一、第三象限，
∴ + 1 > 0，解得 >− 1，
∴只要取大于−1 的任意实数都符合条件，例如 1（答案不唯一）．
知识总结
①反比例函数 y=k/x，当 k>0 时图象位于第一、第三象限；②当 k0 即可。
小明计划从湖北黄鹤楼、湖南岳阳楼、江西滕王阁和山西鹳雀楼四个景点中随机选取一个游览，选中“湖北黄鹤楼”的概率是．
命题透视
核心考点：简单随机事件的概率
命题分析：
情境创设：以湖北黄鹤楼、湖南岳阳楼、江西滕王阁和山西鹳雀楼四个名楼为背景，计算选中黄鹤楼的概率。
问题设计：确定所有等可能结果总数和符合条件的结果数，利用概率公式求解。
考查目标：考查学生运用概率公式解决实际问题的能力，渗透传统文化教育。
答案与解析
【答案】1
4
【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定符合题意的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，随机选取一个景点，所有等可能的结果共 4 种，其中选中“湖北黄鹤楼”的结果有 1
种，
根据概率公式可得，选中“湖北黄鹤楼”的概率为1．
4
知识总结
①概率等于所求事件结果数与所有等可能结果数之比；②列举所有结果时要做到不重不漏；③名楼情境中要注意地域对应关系，准确提取信息。
计算2−2 + 1 的结果是．
+1+1
命题透视
核心考点：分式的加减运算
命题分析：
情境创设：以同分母分式加减为载体，考查分式化简能力。
问题设计：先按同分母分式加减法则合并，再对分子因式分解，最后约分得到最简形式。
考查目标：考查分式加减和因式分解、约分的综合运算能力。
答案与解析
【答案】 − 1
【分析】先按照同分母分式加减运算法则计算，然后对分子因式分解，最后约分即可．
【详解】解：2−2 +
+1+1+1+1
1= 2−2+1 = 2−1 = +1 −1
+1
= − 1．
知识总结
①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②分子因式分解后寻找公因式；③结果必须化为最简分式。
15．如图，在平行四边形?中，? = 4， = 2 2，∠ = 105°，点是边上一动点，将△ 沿
翻折，得到△ ．
当 ⊥ 时，∠?的度数是；
过点作直线?的垂线，垂足为，则?的最小值是．
命题透视
核心考点：平行四边形中的折叠与最值
命题分析：
情境创设：在平行四边形中，将三角形沿某条边翻折，探究角度和线段最值。
问题设计：第 1 问利用平行四边形邻角互补和折叠性质求角度；第 2 问结合定圆和垂线段最短求最小值。
考查目标：考查折叠性质、圆的性质和最值思想的综合应用。
答案与解析
【答案】
15°
2 2
【分析】（1）利用平行四边形邻角互补求出∠?，结合折叠性质与 ⊥ ，用四边形内角和算出∠，两角相减即可得到∠?；
（2）由折叠得长度固定，确定点在以为圆心，2 2为半径的定圆上；在 Rt △ ?中，斜边?不变，
越大，?越小；根据一点到直线的线段中垂线段最短得最大等于；代入勾股定理计算出?的最小值．
【详解】（1）解：∵四边形?是平行四边形，∠ = 105°，
∴ ? ∥ ，
∴ ∠? = 180° − 105° = 75°，由翻折得∠ = ∠ = 105°，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
在四边形中，∠ = 360° − ∠ − ∠ − ∠ = 60°，
∴ ∠? = ∠? − ∠ = 15°；
（2）解：∵ ? = 4， = 2 2，
∴在 Rt △ ?中，? = ?2 − 2 = 16 − 2，由翻折得 = = 2 2，
∴点在以为圆心，2 2为半径的定圆上，
∵ ⊥ ?，
∴ ≤ ，
∴ 最大为 2 2，
∴ ?的最小值是 16 − 2 2= 2 2．
2
知识总结
①折叠前后对应角相等、对应边相等；②折叠中动点轨迹常可转化为定圆或定线段；③求线段最值时优先考虑垂线段最短或三角形不等关系。
解答题
计算：22 −
× − 1
9
3
+ π0．
命题透视
核心考点：实数混合运算
命题分析：
情境创设：以实数的综合计算为载体，考查基本运算能力。
问题设计：题目包含零次幂、负整数指数幂、乘方、开方等运算，要求按正确顺序计算。
考查目标：考查学生对实数运算顺序和各类幂运算法则的熟练掌握。
答案与解析
【答案】4
【详解】解：原式= 4 − 3 × 1 + 1
3
= 4 − 1 + 1
= 4．
知识总结
①任何非零数的零次幂等于 1；②负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数；③混合运算要先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号。
如图，在矩形?中，，，分别是边?，?，的中点．求证：△ ? ≌△ ．
命题透视
核心考点：矩形性质与三角形全等证明
命题分析：
情境创设：在矩形中给出各边中点位置，证明两条线段相等。
问题设计：利用矩形性质得到边和角的关系，再借助中点得到对应边相等，用 SAS 或 SSS 证明三角形全等。
考查目标：考查矩形性质与三角形全等判定定理的综合运用。
答案与解析
【答案】证明：∵点是?的中点，
∴ ? = ，
∵点，分别是边?，的中点，
∴ ? = 1 ?， = 1 ，
2
2
∵四边形?是矩形，
∴ ? = ，∠? = ∠ = 90°，
∴ ? = ，
在△ ?和△ 中，
? =
∠? = ∠ ，
? =
∴△ ? ≌△ SAS ．
【分析】利用矩形的性质和中点的性质推出? = ，∠? = ∠，? = ，再利用 SAS 证明三角形全等即可．
【详解】略．
知识总结
①矩形对边平行且相等，四个角都是直角；②中点将线段分成相等的两部分；③证明线段相等常通过证明三角形全等实现。
近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过 35°的斜坡．如图，坡角为∠的斜坡?长 10m，铅直高度?长 4.7m，∠ = 90°．该机器人一定能爬上斜坡?吗？请判断并说明理由．
（参考数据：sin28° ≈ 0.47，sin35° ≈ 0.57）
命题透视
核心考点：解直角三角形的实际应用
命题分析：
情境创设：以智能特种机器人爬坡角为情境，判断机器人能否爬上指定斜坡。
问题设计：利用正弦函数定义计算斜坡的坡角，再与机器人最大爬坡角比较得出结论。
考查目标：考查学生将实际问题转化为直角三角形问题并求解的能力。
答案与解析
【答案】一定能，理由如下：
在 Rt △ ?中，∠ = 90°，sin∠ = ? = 4.7 = 0.47，
?10
∵ sin28° ≈ 0.47，
∴ ∠ ≈ 28°，
∵ 28° < 35°，
∴该机器人一定能爬上斜坡?．
【分析】根据正弦函数的定义计算 sin∠，求出∠，与 35°比较，结合题意即可得出结论．
【详解】略
知识总结
①坡角的正弦等于铅直高度与坡面长度之比；②计算结果后与已知最大坡角比较；③实际应用题要注意单位统一和结论表述完整。
在《全民阅读促进条例》实施后，某校为了解学生的阅读情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行问卷调查，并对每名学生的问卷情况进行了评估（满分 100 分）．将评估得分（单位：分）分为 A( < 70)， B(70 ≤ < 80)，C(80 ≤ < 90)，D(90 ≤ ≤ 100)四组进行统计，相关统计信息如下：
八年级学生得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
七年级学生得分条形图中，C 组人数是人，并补．全．条形图；
八年级有 500 名学生，估计该年级学生得分不低于 80 分的人数；
根据“七、八年级学生得分统计表”可知，两个年级的样本平均数相同，请结合其他统计量，对两个年级的学生得分情况进行分析．（写出一条，有理即可）
命题透视
核心考点：统计图表与数据分析
命题分析：
情境创设：以《全民阅读促进条例》实施后的学生阅读情况调查为背景。
问题设计：第 1 问补全条形统计图；第 2 问用样本估计总体；第 3 问结合平均数、中位数、众数、方差进行数据分析。
考查目标：考查学生读取统计图、用样本估计总体和分析数据特征的能力。
答案与解析
【答案】(1)25；补全条形图如图：
统计量
七年级
八年级
平均数
81.2
81.2
中位数
81
82
众数
79
82
方差
67.36
80.64
(2)300 人
(3)
七、八年级样本平均数相同，从中位数、众数看，八年级学生得分的中位数、众数高于七年级，说明八年级的得分更好．（或七、八年级样本平均数相同，从方差看，七年级得分的方差比八年级的方差小，说明七年级的得分数据更整齐，写出一条合理即可）
【分析】（1）先求出 C 组人数，再补全条形统计图即可；
根据样本估计总体的方法解答即可；
从中位数、众数、方差等方面分析即可；
【详解】（1）解：七年级学生得分条形图中，C 组人数为 50 − 5 − 14 − 6 = 25 人；补全条形统计图见答案
解：由题意得，随机抽样的 50 名八年级学生中得分不低于 80 分的人数占比是 42% + 18% = 60%，
所以估计八年级学生得分不低于 80 分的人数为 500 × 60% = 300（人）．
略
知识总结
①条形统计图中各组人数之和等于样本容量；②样本估计总体用样本中比例乘以总体容量；③分析数据时可从集中趋势和离散程度两个角度进行。
探究无舵手单桨赛艇中的数学问题
单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？
【模型假设】
假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关．
【模型建立】
如图 1，将四人单桨赛艇抽象为线段?，艇尾记为点，艇首记为点?．
运动员的位置依次用点1，2，3，4表示，1 = ，12 = 23 = 34 = ．
运动员手持的桨依次记为桨 1，桨 2，桨 3，桨 4，位于?上方与下方的桨的数量相等．
规定：当桨的位置位于?上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于?下方时，对应的点所表示的数记为负数．
例：在图 1 中，桨 1 的位置位于?上方，1 = ，所以点1表示的数是；桨 2 的位置位于?下方，2 =
+ ，点2表示的数是−( + )．
在图 1 中，3 =，点3表示的数是，点4表示的数是．
【模型分析】
通过研究，记点1，2，3，4所表示的数的和为，当 = 0 时，赛艇保持“稳定”；当 ≠ 0 时，赛艇失去“稳定”．
在四人单桨比赛中，按照图 1 的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由．
【模型应用】
类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图 2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置．
命题透视
核心考点：数轴与有理数建模
命题分析：
情境创设：以湖北赛艇队在第十五届全国运动会夺金为背景，探究四人单桨赛艇稳定性的数学模型。
问题设计：将桨的位置用正负数表示，通过求和判断赛艇是否稳定；第 3 问要求设计八人赛艇的稳定方案。
考查目标：考查学生用正负数建模、有理数运算和创新设计的能力。
答案与解析
【答案】(1) + 2，−( + 2)， + 3
(2)能
理由如下：
由题意可知， = − ( + ) − ( + 2) + ( + 3)
= − − − − 2 + + 3
= 0；
所以赛艇能保持“稳定”；
(3)或
【分析】（1）根据题意列式即可；
将点1，2，3，4所表示的数相加即可解答；
根据题意可得剩余四支桨的位置一定为两上两下，结合点5，6，7，8所表示的数的和为 0，画图
即可．
【详解】（1）解：根据题意，3 = 1 + 12 + 23 = + 2， 由图 1 可知，桨 3 在?下方，因此点3表示的数为−( + 2)；
4 = + 3，桨 4 在?上方，因此点4表示的数为 + 3；
略
解：要使八人赛艇稳定，需要满足所有数的和为 0，
根据图 2 可知，现有四支桨的位置是两上两下，则剩余四支桨的位置一定为两上两下，
∵点1表示的数是，点2表示的数是−( + )，点3表示的数是− + 2 ，点4表示的数是 + 3，
− + − + 2 + + 3 = 0，
∴点5，6，7，8所表示的数的和为 0，
∴ + 4 − + 5 − + 6 + + 7 = 0， 或− + 4 + + 5 + + 6 − + 7 = 0．
知识总结
①用正负数表示相反意义的量；②赛艇稳定时各点表示的数之和为 0；③设计方案时要保证上下桨数量相等且总和为零。
如图，在△ ?中， = ?，以?为直径的⊙ 交?于点，弦 ⊥ ?，垂足为．
(1)求证： = ?；
(2)若? = 10， = 8，求⊙ 的半径．
命题透视
核心考点：圆与等腰三角形综合
命题分析：
情境创设：在等腰三角形中，以一边为直径作圆，结合弦的垂直关系证明并求半径。
问题设计：第 1 问利用直径所对圆周角为直角和等腰三角形三线合一证明平行；第 2 问利用垂径定理和勾股定理求半径。
考查目标：考查圆的性质、等腰三角形性质和勾股定理的综合推理。
答案与解析
【答案】(1)证明：如图，连接，
∵ ?为⊙ 的直径，
∴ ∠? = 90°，又 = ?，
∴ = ?；
(2)25
6
6
∴⊙ 的半径为25．
6
∴ 2 = 42 + − 3 2，化简得 6 = 25，解得 = 25，
在 Rt △ ?中，? = ?2 − 2 = 52 − 42 = 3，设⊙ 的半径为，则 = ， = − 3，
在 Rt △ 中，2 = 2 + 2，
2
∴ ? = 1 ? = 5，
∵ = ?，? = 10，
2
∴ = 1 = 4，
∵弦 ⊥ ?，?为直径， = 8，
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可；
（2）由（1）得出?的长，利用垂径定理求出的长，在 Rt △ ?中利用勾股定理求出?的长，设⊙
的半径为，则 = ， = − 3，在 Rt △ 中利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）略；
（2）解：如图，连接，
知识总结
①直径所对圆周角为 90 度；②等腰三角形底边上的高、中线、角平分线三线合一；③求半径常设未知数，利用勾股定理列方程求解。
“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织 2 个大号中国结和 3
个小号中国结需用绳 19 米；编织 4 个大号中国结和 1 个小号中国结需用绳 23 米．
求编织 1 个大号中国结和 1 个小号中国结各需用绳多少米；
某饰品店计划编织大、小号中国结共 120 个进行销售，所用编织绳不超过 450 米．设编织个大号中国结．
①求的取值范围；
②已知每个大号中国结售价为 12 元，每个小号中国结售价为 8 元，每米编织绳的成本为 1 元，其他成本总
计 90 元．求该饰品店获得的最大利润．
命题透视
核心考点：二元一次方程组与一次函数的应用
命题分析：
情境创设：以中国传统中国结编织为情境，涉及用绳量和销售利润计算。
问题设计：第 1 问列二元一次方程组求大小号中国结用绳量；第 2 问结合不等式求取值范围，再用一次函数求最大利润。
考查目标：考查方程、不等式与函数建模解决实际问题的综合能力。
答案与解析
【答案】(1)编织 1 个大号中国结需用绳 5 米，编织 1 个小号中国结需用绳 3 米
(2)①0 < ≤ 45 且为整数；②该饰品店获得的最大利润为 600 元
【分析】（1）设编织 1 个大号中国结需用绳米，编织 1 个小号中国结需用绳米，利用题目给的条件列出方程组，求解即可；
（2）①由题得编织 120 − 个小号中国结，利用题目所给条件列出不等式结合是计划编织的大号中国结个数即可求出的取值范围；②利用每米编织绳的成本为 1 元可得出编织 1 个大号中国结和 1 个小号中国结各需多少成本，结合售价和题目信息可列出利润表达式，利用的取值范围可得出最大利润．
【详解】（1）解：设编织 1 个大号中国结需用绳米，编织 1 个小号中国结需用绳米，
由题意得 2 + 3 = 19① ，
4 + = 23②
① × 2 得 4 + 6 = 38③，
③ − ②得 5 = 15，解得 = 3，把 = 3 代入②得 = 5，
故原方程组的解为 = 5 ．
= 3
答：编织 1 个大号中国结需用绳 5 米，编织 1 个小号中国结需用绳 3 米．
（2）解：①依题意得 5 + 3 120 − ≤ 450，化简得 2 ≤ 90，
解得 ≤ 45，
因为是计划编织的大号中国结个数，所以 > 0，为整数，
所以的取值范围为 0 < ≤ 45，且为整数．
②由题意得每个大号中国结用绳成本为 5 元，每个小号中国结用绳成本为 3 元，设获得的利润为元，
由题意得 = 12 − 5 × + 8 − 3 × 120 − − 90 = 2 + 510，
因为 2 > 0，所以随的增大而增大，由①知 0 < ≤ 45，且为整数，
所以当 = 45 时，最大，最大值为 2 × 45 + 510 = 600，
答：该饰品店获得的最大利润为 600 元．
知识总结
①找两个等量关系列二元一次方程组；②根据总绳长不超过限定值列不等式；③利润函数为一次函数时，在自变量取值范围内由增减性求最值。
在 Rt △ ?中，∠? = 90°，将△ ?绕点顺时针旋转（0° < < 90°）得到△ ，使得 = ．
如图 1，若∥，与交于点，作 ⊥ ，垂足为．
①证明：△ ∽△ ；
②求的值；
③若 = 3，直接写出?的值．
如图 2，若∠ = 90°，直接写出?的值．
命题透视
核心考点：旋转背景下的相似三角形与勾股定理
命题分析：
情境创设：在直角三角形中绕点旋转，探究旋转后线段关系和比值计算。
问题设计：第 1 问证明线段平行，第 2 问求比值，第 3 问和第 2 问在特殊条件下求线段长度，综合旋转、相似和方程思想。
考查目标：考查旋转性质、相似三角形判定与性质以及逻辑推理能力。
答案与解析
【答案】(1)①证明：∵ ∥ ，
∴ ∠ = ∠，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
由旋转得，∠ = ∠? = 90°，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∴△ ∽△ ；
②2；③? = 3 10
4
(2)2 5
5
【分析】（1）①由平行得∠ = ∠，由旋转得，∠ = ∠? = 90°，进而得∠ = ∠ = 90°，
即可证明；
②由等腰三角形三线合一的性质得 = = 1 ，由△ ∽△ 得 = = 1，再证明△ ∽△
2
，则 = = 1，即可得解；
2
2
③由旋转得， = = 3，? = ，由②可得 = = = 1，进而可得到 = 2，设 = ，则 = 2，
2
= 3，在 Rt △ 和 Rt △ 中，由勾股定理分别表示出，即可得关于 x 的方程，即可求解；
（2）过作 ⊥ 交直线于，由 = ，∠ = 90°，得到∠ = ∠ = 45°，则∠ =
∠ = 45°， = ，设 = = ， = ，则 = 2，再在 Rt △ 和 Rt △ 中根据 =
列方程整理得到 = ，则 = 5，代入?计算即可．
【详解】（1）①略；
解：②∵ = ， ⊥ ，
∴ = = 1 ，
2
由①得△ ∽△ ，
∴ = = 1，
2
∵∥，
∴∠ = ∠，∠ = ∠，
∴△ ∽△ ，
∴ = = 1，
2
∴ = 2；
③由旋转得， = = 3，? = ，
由②可得 = = = 1，
2
∴ = 2 ，
3
∵ = 3，
∴ = 2 = 2，
3
设 = ，则 = 2， = + = 3，
在 Rt △ 中，2 = 2 − 2 = 4 − 2，在 Rt △ 中，2 = 2 − 2 = 9 − 92，
∴4 − 2 = 9 − 92，
解得 = 10（负值已舍去），
4
∴? = = 3 = 3 10；
4
（2）解：过作 ⊥ 交直线于，
∵ = ，∠ = 90°，
∴∠ = ∠ = 45°，
∴∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 45°，
∴ = ，
设 = = ， = ，
∴ = = 2 + 2 = 2， = + = + ，
∴ = 2 + 2 = 2，
在 Rt △ 中，2 = 2 + 2 = 2 + 2 2，
在 Rt △ 中，2 = 2 + 2 = + 2 + 2，由旋转得， = ，? = = 2，
∴2 = 2，
∴2 + 2 2 = + 2 + 2，展开整理得 = ，
∴ = + 2 + 2 =2 2 + 2 = 5，
∴? = 2 = 2 5．
55
知识总结
①旋转前后对应边相等、对应角相等；②证明线段平行可通过证明同位角或内错角相等；③求线段比值常构造相似三角形或利用勾股定理列方程。
24．抛物线 = 2 − 2 + 与轴交于点−1,0和点?，与轴交于点．点在直线?上，设点的横坐标为．
求的值；
如图 1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当 = 1 时，求点的坐标；
(3)点在直线?上且位于点的右上方， = 2 2．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，?，记，?的纵坐标之和为．
①当点在线段?上时，求关于的函数解析式；
②当 =− 11时，直接写出的值．
2
命题透视
核心考点：二次函数综合应用
命题分析：
情境创设：以抛物线与坐标轴交点、直线和动点围成正方形为背景，综合考查二次函数。
问题设计：第 1 问求抛物线参数；第 2 问利用平行于 x 轴和直线交点求点坐标；第 3 问讨论正方形边与抛物线交点，求函数解析式和满足条件的参数值。
考查目标：考查二次函数、一次函数、正方形性质和动点分类讨论的综合能力。
答案与解析
【答案】(1) =− 3
(2) 1 + 2, − 2
(3)① = 2 + 3 − 6 0 ≤ ≤ 1
；②− 3，1− 3，−3+ 11
2 − 4 1 < ≤ 3
422
【分析】（1）把点 −1,0 代入抛物线表达式中可解出的值；
（2）由（1）求出点?和点的坐标，从而求出直线?的表达式，得出当 = 1 时，点的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点的坐标；
（3）利用 = 2 2结合点在直线?上且位于点的右上方用表示出点的坐标，从而可得到四边形
是边长为 2 的正方形，接着可表示出点和点的运动轨迹，求出当四边形的边与抛物线有两个交点，
?时，的取值范围；①分情况讨论当点在线段?上时，的不同取值范围分别对应的点和点?纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余的不同取值范围分别对应的点和点?纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式．
【详解】（1）解：把点 −1,0 代入抛物线 = 2 − 2 + 得 0 = 1 + 2 + ，解得， =− 3；
（2）解：由（1）得 = 2 − 2 − 3，令 = 0 得2 − 2 − 3 = 0，
因式分解得 − 3 + 1 = 0，解得 = 3 或 =− 1，
令 = 0 得 =− 3，
∴ ? 3,0 ， 0, − 3 ，
设直线?的表达式为 = + ，
把? 3,0 ， 0, − 3 代入得 0 = 3 + ，解得 = 1 ，
−3 =
∴直线?的表达式为 = − 3，当 = 1 时， =− 2，
∴当 = 1 时， 1, − 2 ，
∵ 平行于轴，
∴ 的纵坐标为−2，
∵点是抛物线上位于第四象限的点，
=− 3
又∵ 2 − 2 − 3 =− 2，化简得2 − 2 − 1 = 0，2 − 4 = 8，解得 = −± 2−4 = 2±2 2 = 1 ± 2，
22
∴ 1 + 2, − 2 ；
（3）解：由（2）知直线?的表达式为 = − 3，
∴ , − 3 ，
设点的坐标为 , − 3 ，
∵ = 2 2，
∴ − 2 + − 3 − − 3 2 = 2 2 2，化简得 2 − 2 = 8，
解得 − = 2，
∵点在直线?上且位于点的右上方，
∴ > ，
∴ − = 2，即 = + 2，
∴ + 2, − 1 ，
∴四边形是边长为 2 的正方形，
如图，当沿?移动时，点沿移动，点沿移动，
上图中点和点重合，
∴ 0, − 3 ，
∴ −2, − 5 ，
∴ −2, − 3 ， 0, − 5 ， 0, − 1 ， 2, − 3 ，当 = 2 时， = 2 − 2 − 3 =− 3，
∴点在抛物线上，
设直线的表达式为 = + ，
把 −2, − 3 ， 0, − 1 代入得 −3 =− 2 + ，解得 = 1 ，
∴直线的表达式为 = − 1，设直线的表达式为 = + ，
−1 =
=− 1
把 0, − 5 ， 2, − 3 ，代入得 −3 = 2 + ，解得 = 1 ，
−5 = =− 5
∴直线的表达式为 = − 5，
∴点在直线 = − 1 上运动，点在直线 = − 5 上运动，
如图，
令2 − 2 − 3 = − 1，化简得2 − 3 − 2 = 0，2 − 4 = 17，解得 = −± 2−4 = 3± 17，
22
令2 − 2 − 3 = − 5，化简得2 − 3 + 2 = 0，因式分解得 − 1 − 2 = 0，解得 = 1 或 = 2，
∴点的横坐标为3− 17，点的横坐标为3+ 17，点的横坐标为 1，点的横坐标为 2，
22
∴当四边形的边与抛物线有两个交点，?时，−2 < < 3+ 17，
2
①当点在线段?上时，0 ≤ ≤ 3，
点从点?往点运动的过程中，当 0 ≤ ≤ 1 时，即点在线段?上时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点?的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，
∴ = − 3 + + 2 2 − 2 + 2 − 3 = 2 + 3 − 6，
点从点?往点运动的过程中，当 1 < ≤ 3 时，即点在线段?右上方时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点?的纵坐标为点纵坐标，
∴ = − 3 + − 1 = 2 − 4，
综上所述，当点在线段?上时， = 2 + 3 − 6 0 ≤ ≤ 1 ；
2 − 4 1 < ≤ 3
②当−2 < ≤− 1 时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点?的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵
坐标，
∴ = − 1 + + 2 2 − 2 + 2 − 3 = 2 + 3 − 4，
当−1 < ≤ 3− 17时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点?的纵坐标为点的纵坐标， 2
∴ = − 1 + − 3 = 2 − 4，
当3− 17 < < 0 时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点?的纵坐标为点的纵坐
2
标，
∴ = 2 − 2 − 3 + − 3 = 2 − − 6，
当 3 < < 3+ 17时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点?的纵坐标为点的纵坐 2
标，
∴ = 2 − 2 − 3 + − 1 = 2 − − 4，
2 + 3 − 4 −2 < ≤− 1 2 − 4 −1 < ≤ 3− 17
2
2 − − 6 3− 17 < < 0
综上所述， =
2，
2 + 3 − 6 0 ≤ ≤ 1 2 − 4 1 < ≤ 3
2 − − 4 3 < < 3+ 17
2
当 =− 11时，分情况讨论：
2
当−2 < ≤− 1 时，2 + 3 − 4 =− 11，化简得2 + 3 + 3 = 0，2 − 4 = 3，解得 = −± 2−4 = −3± 3
22
不符合−2 < ≤− 1，舍去；
22
当−1 < ≤ 3− 17时，2 − 4 =− 11，解得 =− 3符合−1 < ≤ 3− 17；
2242
当3− 17 < < 0 时，2 − − 6 =− 11，化简得2 − − 1 = 0，2 − 4 = 3，解得 = −± 2−4 = 1± 3， =
22222
1− 3符合3− 17 < < 0， = 1+ 3不符合3− 17 < < 0，舍去；
2222
当 0 ≤ ≤ 1 时，2 + 3 − 6 =− 11，化简得2 + 3 − 1 = 0，2 − 4 = 11，解得 = −± 2−4 = −3± 11，
2222
= −3+ 11符合 0 ≤ ≤ 1， = −3− 11不符合 0 ≤ ≤ 1，舍去；
22
当 1 < ≤ 3 时，2 − 4 =− 11，解得 =− 3不符合 1 < ≤ 3，舍去；
2
4
当 3 < < 3+ 17时，2 − − 4 =− 11，化简得2 − + 3 = 0，2 − 4 =− 5 < 0，无解；
2
2
2
综上所述，当 =− 11时，的值为− 3或1− 3或−3+ 11．
2
42
2
【点睛】本题为 2026 湖北省中考二次函数压轴题，综合考查抛物线解析式求解、一次函数、坐标平移、正
方形性质以及动点函数与方程求解等知识点．
知识总结
①求抛物线解析式可代入已知点坐标；②动点问题要先用参数表示点坐标；③分类讨论时要依据图形位置确定不同区间，避免漏解。