2026年中考数学真题完全解读（福建卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（福建卷），共9页。试卷主要包含了10，11等内容，欢迎下载使用。

试题分析
2026 年福建省中考数学试卷总分 150 分，考试时间 120 分钟，共 25 道题，其中选择题 10 道、填空题
6 道、解答题 9 道。试卷以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，对初中数学核心知识与关键能力进
行了较全面的覆盖。选择题第 1-10 题侧重基础概念与简单运算，填空题第 11-16 题强化几何直观与代数变
形，解答题第 17-25 题则逐步提升综合推理与建模要求。整卷突出福建地域特色，第 1 题以福建省首届“闽
超”足球比赛为背景，第 4 题以福建土楼为载体，第 3 题融入神舟二十三号发射情境，体现数学与地方文化、国家成就的紧密联系。模块分布上，图形的性质占比最高，函数与代数推理在压轴题中承担区分功能，统 计与概率、综合与实践各占一定比例，整体难度梯度合理，符合福建中考命题导向。
试题亮点
闽地文化与现代科技交相辉映，真实情境彰显福建卷育人底色：第 1 题以福建省首届“闽超”足球比赛净胜球
为背景考查正负数意义；第 4 题以福建土楼“天人合一”的营造理念为载体考查圆柱形土楼的三视图；第 3题以神舟二十三号飞船成功发射为背景考查科学记数法。三题分别对应地方体育、传统文化、国家科技成就，引导学生在真实情境中抽象数学模型，落实立德树人根本任务。
几何推理与直观想象深度融合，中档题成为能力区分主战场：第 7 题以古算诗词题“争荡秋千”创设解直角三
角形情境；第 9 题将圆的切线性质、圆周角定理与正切函数结合；第 20 题把尺规作图与矩形、勾股定理综
合；第 22 题通过图形折叠考查平行线性质与解三角形；第 24 题则以圆内接四边形、平行四边形和相似三角形层层递进。几何题覆盖选择、填空、解答各层级，推理链条逐步加长，对空间观念和逻辑推理提出较高要求。
代数推理与探究意识并重，压轴题与阅读题突出思维过程：第 10 题二次函数参数范围需要建立不等式并判
断选项；第 16 题以浮力称重情境建立一元一次方程模型；第 23 题通过阅读材料探究整数奇偶性的代数表达；第 25 题二次函数综合题探究 PM 与 PN 的数量关系。代数类题目强调建模、推理与探究，淡化机械计算，突出对思维过程的考查。
命题趋势
福建本土情境与国家重大成就将持续入题，应用意识考查常态化：第 1 题“闽超”足球、第 4 题福建土楼、第
3 题神舟二十三号等素材具有鲜明的地方或时代标识，体现福建卷在真实情境中落实育人价值的命题追求。未来命题会继续选取福建文化、地方发展、国家科技等素材，引导学生在阅读情境中提取信息、建立数学模型并解决问题。
几何综合题单题承载量持续增大，圆、折叠与解直角三角形仍是区分核心：第 9 题切线与圆周角综合、第
20 题尺规作图与矩形勾股定理结合、第 22 题折叠与解三角形、第 24 题圆内接四边形与平行四边形及相似综合，几何模块占比近三成。中高档几何题跨知识点融合趋势明显，预计未来将继续强化“作图—识图—推理—计算”的完整能力链。
代数推理与阅读理解型探究题比重上升，思维过程考查更加突出：第 10 题二次函数不等式分析、第 16 题
跨学科浮力建模、第 23 题数论阅读材料、第 25 题二次函数存在性探究，均要求学生在理解问题本质的基础上进行推理。未来中考试题将继续淡化套路化计算，强化建模、推理、探究等高阶思维过程。
基础题重视概念本质理解，反机械刷题导向鲜明：第 2 题轴对称与中心对称概念辨析、第 5 题数轴与实数
综合判断、第 11 题众数概念、第 13 题因式分解等题目看似常规，但需要真正理解概念本质。预计未来福建卷将继续通过概念辨析、图象识别和简单综合来检验基础，拒绝仅靠题型记忆得分。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
4
数与式→有理数→正负数的意义
应用意识、运算能力
2
单选
4
图形的性质→图形的对称性→轴对称与中心对称
几何直观
3
单选
4
数与式→实数→科学记数法
运算能力
4
单选
4
图形的变化与综合实践→投影与视图→三视图
空间观念
5
单选
4
数与式→实数→实数与数轴
运算能力
6
单选
4
函数→反比例函数→反比例函数图象上点的坐标特征
运算能力
7
单选
4
图形的变化与综合实践→解直角三角形→三角函数的实际
应用
几何直观、运算能力
8
单选
4
统计与概率→数据分析→条形统计图、中位数、平均数
数据分析
9
单选
4
图形的性质→圆→切线性质、圆周角定理、锐角三角函数
推理能力、运算能力
10
单选
4
函数→二次函数→二次函数图象与性质
推理能力、运算能力
11
填空
4
统计与概率→统计量→众数
数据分析
12
填空
4
图形的性质→三角形→三角形中位线定理
推理能力
13
填空
4
数与式→整式→因式分解
运算能力
考点模块占比分析
数与式模块（约 27%，40 分）：重点考查正负数意义、科学记数法、实数运算、整式与因式分解、代数式求值、一元一次方程与不等式组。对应第 1、3、5、13、15、16、17、19 题。
函数模块（约 15%，22 分）：重点考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与性质及综合应用。对应第 6、10、25 题。
图形的性质模块（约 29%，44 分）：重点考查轴对称与中心对称、三角形中位线与全等、矩形与勾股定理、圆的性质与综合推理。对应第 2、9、12、14、18、20、24 题。
图形的变化与综合实践模块（约 19%，28 分）：重点考查三视图、解直角三角形、尺规作图、折叠变换、阅读探究与新定义。对应第 4、7、22、23 题。
统计与概率模块（约 11%，16 分）：重点考查统计量、统计图表、简单概率与列表法。对应第 8、11、21
题。
核心复习策略
回归教材，夯实四基
14
填空
4
图形的性质→四边形→矩形性质、三角形内角和
几何直观、运算能力
15
填空
4
数与式→代数式→代数式求值
运算能力
16
填空
4
数与式→方程与不等式→一元一次方程的实际应用
模型观念、应用意识
17
解答
8
数与式→实数→实数的混合运算
运算能力
18
解答
8
图形的性质→三角形→全等三角形的判定与性质
推理能力
19
解答
8
数与式→方程与不等式→一元一次不等式组
运算能力
20
解答
8
图形的性质→四边形→矩形性质、勾股定理、尺规作图
几何直观、推理能力
21
解答
8
统计与概率→概率→简单概率、列表法求概率
数据分析
22
解答
10
图形的变化与综合实践→图形的变换→折叠、解直角三角
形
几何直观、推理能力
23
解答
10
综合与实践→阅读探究→整式运算与整数奇偶性探究
推理能力、创新意识
24
解答
12
图形的性质→圆→圆内接四边形、平行四边形、相似三角
形
推理能力、运算能力
25
解答
14
函数→二次函数→二次函数综合（存在性、数量关系）
推理能力、运算能力
系统梳理数与式、方程不等式、函数核心概念，确保正负数、科学记数法、因式分解、不等式组等基础题不丢分；重视教材例题变式，理解概念本质而非死记题型。
建立“概念—图象—运算”三位一体复习框架，对二次函数图象性质、反比例函数坐标特征等高频考点进行针对性训练，提升数形结合能力。
强化几何推理，提升直观想象
以三角形全等、四边形性质、圆的性质为主线，规范书写几何证明过程；重点突破圆的切线、圆周角、内接四边形及相似综合题。
加强尺规作图、折叠变换、解直角三角形等操作性几何问题的训练，学会通过添加辅助线、构造基本图形来降低问题难度。
关注情境与探究，提升应用意识
多关注福建本土文化、国家科技成就、跨学科情境等真实问题，练习从文字、图表中提取关键信息并建立数学模型。
重视阅读理解型、新定义型综合探究题，培养“阅读—理解—迁移—探究”的解题习惯，提升代数推理与创新思维能力。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×忽视基础概念辨析：轴对称与中心对称、中位数与众数、数轴上数的范围等概念题容易因理解不细而错选，要回归定义本身。
×几何辅助线思路单一：遇到圆、折叠、解直角三角形综合题时，若只会套题型而不会根据条件构造基本图形，容易陷入僵局。
×阅读材料题跳读漏条件：第 23 题类阅读探究题信息量大、定义新，必须逐句梳理已知条件与待证结论，避免漏看限制条件导致推理错误。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
单选题
福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为 0 ∶ 1，丙队与丁队的比赛结果为 2 ∶ 0．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作−1，则丙队的净胜球数应记作（）
−2B．−1C．+1D．+2
命题透视
核心考点：核心考点：正负数的意义与实际应用。
命题分析：
情境创设：情境创设：以福建省首届“闽超”足球比赛中的净胜球为背景，将正负数与体育比赛结果联系起来，贴近学生生活。
问题设计：问题设计：给出甲队比赛结果与净胜球数的对应关系，要求学生类比计算丙队的净胜球数；选项设置围绕正负号的判断，考查对“进球数减失球数”规则的理解。
考查目标：考查目标：考查从真实情境中抽象数学符号的能力，侧重应用意识与运算能力。
答案与解析
【答案】D
【分析】先明确净胜球数的计算方法为：净胜球数=进球数−失球数，结合题目给出的甲队净胜球验证计算规则，再计算丙队的净胜球数即可得到答案．
【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数=进球数−失球数，
∵甲队与乙队的比赛结果为 0 ∶ 1，即甲队进球数为 0，失球数为 1，
∴甲队的净胜球数为 0 − 1 =− 1，记作−1，
∵丙队与丁队的比赛结果为 2 ∶ 0，即丙队进球数为 2， 失球数为 0，
∴丙队净胜球数为 2 − 0 =+ 2，即丙队的净胜球数应记作+2．
知识总结
①核心概念：正负数可表示一对具有相反意义的量，净胜球数=进球数−失球数。②解题要点：先根据甲队结果验证计算规则，再用同一规则计算丙队结果。③关联拓展：生活中海拔、温度、收支等情境都可用正负数表示。
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
B．
D．
命题透视
核心考点：核心考点：轴对称图形与中心对称图形的识别。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，给出四个常见几何图形，要求判断既是轴对称又是中心对称的图形。
问题设计：问题设计：四个选项分别对应不同对称性的图形，需要同时满足“沿某直线对折重合”和“绕中心旋转 180°重合”两个条件。
考查目标：考查目标：考查对两种对称概念本质的理解，侧重几何直观。
答案与解析
【答案】C
【分析】先明确两个概念，轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形．中心对称图形：绕图形中心旋转 180°后，能和原图形完全重合的图形．逐个分析选项判断是否符合这两个概念即可．
【详解】选项 A：是中心对称图形，但不存在一条直线能使对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合要求．
选项 B：是轴对称图形，旋转 180°后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求．
选项 C：沿对边中点连线/对角线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转 180°后和原图形完全重合，是中心对称图形，符合要求．
选项 D：是轴对称图形，旋转 180°后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求．
知识总结
①核心概念：轴对称图形存在对称轴；中心对称图形绕对称中心旋转 180°后与自身重合。②解题要点：矩形、菱形、正方形、圆既是轴对称又是中心对称。③关联拓展：正 n 边形当 n 为偶数时既是轴对称又是 中心对称。
3．2026 年 5 月 24 日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就．飞船在轨飞
行速度接近地球第一宇宙速度 7900 米/秒．数据 7900 用科学记数法表示为（）
A．0.79 × 104B．7.9 × 103C．7.9 × 102D．79 × 102
命题透视
核心考点：核心考点：科学记数法。
命题分析：
情境创设：情境创设：以神舟二十三号飞船在轨飞行速度接近第一宇宙速度 7900 米/秒为背景，体现国家科技成就。
问题设计：问题设计：将 7900 用科学记数法表示，选项围绕指数 n 的取值设置，考查对 a×10^n形式的理解。
考查目标：考查目标：考查大数表示方法与单位换算意识，侧重运算能力。
答案与解析
【答案】B
【详解】解：根据科学记数法的定义，对 7900 进行改写，要满足 1 ≤ < 10，可得 = 7.9，
∵7900 变为 7.9，小数点向左移动了 3 位，
∴ = 3，
因此 7900 用科学记数法表示为 7.9 × 103
知识总结
①核心概念：科学记数法写成 a×10^n，其中 1≤|a| 0B． − < 0C． > 0D． < 0
命题透视
核心考点：核心考点：实数与数轴。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，给出实数 a、b 在数轴上的位置，要求判断四个不等关系中正确的结论。
问题设计：问题设计：选项涉及相反数、绝对值、和差符号等，需要综合数轴上点的位置关系进行推理。
考查目标：考查目标：考查数形结合思想与实数运算符号的判断能力。
答案与解析
【答案】D
【分析】先利用数轴确定 a、b 的取值范围，然后逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可得： 0， < 0， < 0，
∴选项 A、B、C 说法错误；选项 D 说法正确．
知识总结
①核心概念：数轴上右边的数总比左边大；互为相反数的两数位于原点两侧且到原点距离相等。②解题要点：先由数轴确定 a、b 的取值范围，再逐项验证。③关联拓展：实数大小比较常与绝对值、算术平方根综合考查。
6．下列各点中，在函数 = 1图象上的点是（）
A．1,1B． 1,2C．2,1D． 2,2
命题透视
核心考点：核心考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，给出反比例函数解析式，判断四个点中哪个在函数图象上。
问题设计：问题设计：将各选项横坐标代入解析式，比较所得纵坐标与选项纵坐标是否一致。
考查目标：考查目标：考查对反比例函数概念的理解和代入求值能力。
答案与解析
【答案】A
【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式 = 1，将各选项点的横坐标代入解析式，计
算对应的 y 值，和点的纵坐标对比即可得出结论．
【详解】解：对于函数 = 1
∴点(2,2)不在函数 = 1的图象上，此选项不符合题意．
2
D、∵当 = 2 时， = 1 ≠ 2，
∴点(2,1)不在函数 = 1的图象上，此选项不符合题意；
2
C、∵当 = 2 时， = 1 ≠ 1，
∴点(1,2)不在函数 = 1的图象上，此选项不符合题意；
1
B、∵当 = 1 时， = 1 = 1 ≠ 2，
∴点(1,1)在函数 = 1的图象上，此选项符合题意；
1
A、∵当 = 1 时， = 1 = 1，
知识总结
①核心概念：反比例函数 y=k/x 图象上任意一点(x,y)满足 xy=k。②解题要点：将点横坐标代入解析式求 y，再与选项比较。③关联拓展：反比例函数常与矩形面积、三角形面积结合考查 k 的几何意义。
古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长? = 6 尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点?处，?与地面?垂直，踏板离地面的高度? = 1 尺．当踏板从?处绕点运动到处时，踏板离地面的高度? = 4 尺，则秋千的绳索荡过的∠?的大小为（）
0°B．45°C．60°D．75°
命题透视
核心考点：核心考点：解直角三角形的实际应用。
命题分析：
情境创设：情境创设：以古算诗词题“争荡秋千”为背景，将传统文化与解直角三角形结合。
问题设计：问题设计：已知绳索长、踏板起始高度和运动后高度，求绳索荡过的圆心角度数，需通过作垂线构造直角三角形并利用三角函数求解。
考查目标：考查目标：考查几何建模与三角函数计算能力，侧重几何直观与运算能力。
答案与解析
【答案】C
【分析】先通过作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段?的长度，再结合秋千绳索长度得到斜边，最后根据余弦函数值求出∠?的度数．
【详解】解：如图，过点作? ⊥ ，
由题意? ⊥ ?，? ⊥ ?，
∴四边形??是矩形，
∴ ? = ? = 4 尺，
= ? + ? = 6 + 1 = 7 尺，
∴ ? = − ? = 7 − 4 = 3 尺，
∵ = ? = 6 尺，在 Rt △ ?中：
cs∠? = ? = 3 = 1，
62
∴ ∠? = 60°．
知识总结
①核心概念：在直角三角形中，csA=邻边/斜边。②解题要点：过踏板作地面的垂线，利用矩形性质求铅直距离，再用余弦值求角度。③关联拓展：秋千、梯子靠墙、山坡坡度等问题均可转化为解直角三角形。
为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校 8 个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图所示．这 8 个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是（ ）
7，7B．7，7.5C．7.5，7D．7.5，7.5
命题透视
核心考点：核心考点：条形统计图、中位数、平均数。
命题分析：
情境创设：情境创设：以“中俄教育年”宣传图片数量为背景，给出 8 个班级图片数的条形统计图。
问题设计：问题设计：要求从条形统计图中读取数据，再分别计算中位数与平均数。
考查目标：考查目标：考查数据读取、统计量计算与图表分析能力。
答案与解析
【答案】B
【分析】根据条形统计图的数据分析，按照中位数和平均数的定义求解即可．
【详解】解：由 8 个班级分别制作了若干张宣传图片，
∴中位数为第 4、5 个班级的图片数，
从小到大排列后：第 4、5 个班级的图片数为 6,8，
∴中位数为：6+8 = 7；
2
平均数为：4×6+2×8+2×10 = 7.5．
8
知识总结
①核心概念：中位数是将数据排序后位于中间位置的数（偶数个时取中间两数平均）；平均数=总和÷个数。②解题要点：先从条形图读取 8 个数据，再排序求中位数、求和算平均数。③关联拓展：条形统计图还常与众数、方差等结合考查。
如图，? 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线，? 交⊙ 于点 D．若?? = ?，则 tan?的值是（）
2
2
C．
D．2
2
命题透视
核心考点：核心考点：圆的切线性质、圆周角定理与锐角三角函数。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，给出圆的切线、直径及相交弦构成的几何图形。
问题设计：问题设计：通过连接辅助线，利用切线性质、斜边中线性质、圆周角定理，最终用正切函数求值。
考查目标：考查目标：考查圆中几何关系的综合推理与计算能力。
答案与解析
【答案】B
【分析】连接?，根据切线的性质得出∠? = 90°，再由直角三角形斜边中线的性质确定?? = ? = ?，利用圆周角定理得出∠?? = 90°，得出∠? = ∠?? = 45°，再由正切函数即可求解．
【详解】解：连接?，如图所示：
∵ 是⊙ 的切线，
∴∠? = 90°，
∵?? = ?，
∴点 D 为?的中点，
∴?? = ? = ?，
∵? 是⊙ 的直径，
∴∠?? = 90°，
∴∠? = ∠?? = 45°，
∴tan? = 1．
知识总结
①核心概念：切线垂直于过切点的半径；直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等。②解题要点：连接 OC，利用切线得直角，再结合斜边中线与圆周角定理转化角。③关联拓展：圆的综合题常结合全等、相似、三角函数求线段或角度。
10．已知抛物线 = 2 − 2 经过点?3, ，5, ．若 < ，且 < 0 ，则的取值可以是（）
A．0B．1C．2D．3
命题透视
核心考点：核心考点：二次函数图象与性质。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，已知抛物线经过两点及函数值大小关系，判断参数取值。
问题设计：问题设计：将两点横坐标代入解析式，结合已知不等式列关于参数 n 的不等式组，求取值范围后判断选项。
考查目标：考查目标：考查代数推理与不等式求解能力，体现函数与方程思想。
答案与解析
【答案】C
【分析】先将 A、 B 两点横坐标代入抛物线解析式，得到, 关于 n 的表达式，再结合 < 和 < 0 的条件列不等式，求出 n 的取值范围，即可判断符合条件的选项．
【详解】解：∵ 抛物线 = 2 − 2 经过点?(3, ) ，(5, ) ，
∴将 = 3 代入解析式得 = 32 − 2·3 = 9 − 6 ，将 = 5 代入解析式得 = 52 − 2·5 = 25 − 10 ，
∵ < ， 且 < 0 ，
∴ < 0 < ，
∴
9 − 6 < 0
25 − 10 > 0
解得 1.5 < < 2.5
观察选项，只有 = 2 符合该范围．
知识总结
①核心概念：抛物线 y=ax^2+bx+c 上点的坐标满足解析式。②解题要点：代入坐标得到关于 n 的表达式，利用 y1 1①
3 − 5 < 2 + 1②
命题透视
核心考点：核心考点：一元一次不等式组。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学计算题，要求解不等式组。
问题设计：问题设计：分别解两个不等式，再取公共部分得到解集。
考查目标：考查目标：考查不等式求解与解集表示能力。
答案与解析
【答案】3 < < 7
【详解】解： − 2 > 1
3 − 5 < 2 + 1
①
②
解不等式①，得 > 3，解不等式②，得 < 7，
所以原不等式组的解集为 3 < < 7．
知识总结
①核心概念：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。②解题要点：分别解每个不等式，借助数轴确定公共部分。③关联拓展：常与方程组、一次函数图象、实际应用问题综合。
如图，四边形??是矩形，? < ，点?在??的延长线上．
求作点? ，使点? 在??边上，且∠?? = 2∠?；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若? = 4， = 6，?? = 2，求??的长．
命题透视
核心考点：核心考点：矩形性质、勾股定理与尺规作图。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯几何综合题，在矩形基础上进行尺规作图并计算线段长度。
问题设计：问题设计：第（1）问作满足角度条件的点；第（2）问利用矩形性质、平行线性质和勾股定理求线段长。
考查目标：考查目标：考查尺规作图能力、几何推理与计算能力。
答案与解析
【答案】(1)如图，点?即为所求．
(2)3
【分析】（1）利用尺规作图作∠?? = ∠?，∠??的边?与??的交点即为所求作的点?；
（2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得? = ??，即可求得??的长；设?? = ，则? = ?? = 8 − ，在 Rt △ ??中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：作∠?? = ∠?，∠??的边?与??的交点即为所求作的点?；
∵四边形??是矩形，
∴??∥，
∴∠?? = ∠?，
∵∠? = ∠?? + ∠? = 2∠?，
∴∠?? = 2∠?，即点?即为所求．
（2）解：∵四边形??是矩形， = 6，
∴ ??∥，?? = = 6．
∴ ∠? = ∠?，
∵ ∠?? = ∠?，
∴ ∠?? = ∠?，
∴ ? = ??．
∵ ?? = 2，
∴ ?? = ?? + ?? = 8，
设?? = ，则? = ?? = ?? − ?? = 8 − ，在 Rt △ ??中，∠? = 90°，? = 4，
由勾股定理得??2 + ?2 = ?2，
∴ 2 + 42 = 8 − 2，解得 = 3，即?? = 3．
知识总结
①核心概念：矩形对边平行且相等，四个角为直角；勾股定理 a²+b²=c²。②解题要点：作等角确定点 P 位置，设未知数利用勾股定理列方程求解。③关联拓展：矩形折叠、旋转问题也常结合勾股定理。
一个不透明的盒子中有 1 个标号为 0 的黄球0，2 个标号分别为 1，2 的红球1，2，1 个标号为 3 的白球3，这些球除颜色和标号外无其他差别．
从盒子中随机摸出 1 个球，求摸出的球是黄球的概率；
从盒子中随机摸出 1 个球，不放回，再从中随机摸出 1 个球．求摸出的 2 个球颜色不同且标号之和小于 4
的概率．
命题透视
核心考点：核心考点：简单概率与列表法求概率。
命题分析：
情境创设：情境创设：以不透明盒子中摸球为背景，考查两步随机试验的概率。
问题设计：问题设计：第（1）问用概率公式直接求摸出黄球的概率；第（2）问用列表法求两步不放回摸球满足特定条件的概率。
考查目标：考查目标：考查概率计算与有序列举能力。
答案与解析
【答案】(1)1
4
(2)1
2
【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：从盒子中随机摸出 1 个球共有 4 种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的
球是黄球（记为事件 A）的结果有 1 种，所以 A = 1；
4
（2）解：从盒子中随机摸出 1 个球，不放回，再从中随机摸出 1 个球，列表如下：
共有 12 种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出 2 个球的颜色不同且标号之和小于 4（记为事
件）的结果共有 6 种： 0, 1 ， 0, 2 ， 0, 3 ， 1, 0 ， 2, 0 ， 3, 0 ，所以 = 6 = 1．
122
知识总结
①核心概念：概率=所求结果数÷所有等可能结果数；两步试验常用列表法或树状图。②解题要点：第
（2）问注意“不放回”，列出所有 12 种等可能结果后筛选符合条件的结果。③关联拓展：放回与不放回试验的结果数不同，需特别注意。
如图，在四边形?? 中，? 是?上的一点，∠?? = ∠? = ∠?? = 90°，? = ??．四边形?′′?
第二次第一次
黄球0
红球1
红球2
白球3
黄球0
0, 1
0, 2
0, 3
红球1
1, 0
1, 2
1, 3
红球2
2, 0
2, 1
2, 3
白球3
3, 0
3, 1
3, 2
由四边形?? 沿?翻折得到，点? ， ，? 的对应点分别为?′，′，?′．?是??延长线上的一点，且??′∥ ?．
(1)求证：?′?′= ?′?；
(2)若?? = 2，?? = 4，求?′?的长．
命题透视
核心考点：核心考点：图形折叠与解直角三角形。
命题分析：
情境创设：情境创设：以四边形沿某边翻折得到新四边形为背景，结合平行线与等腰直角三角形。
问题设计：问题设计：第（1）问利用平行和折叠性质证明线段相等；第（2）问通过作垂线构造直角三角形求线段长。
考查目标：考查目标：考查折叠变换性质、平行线性质及解三角形能力。
答案与解析
【答案】(1)证明：∵ ??′ ∥ ?，
∴ ∠? + ∠? = 180°．
∵四边形?′′?由四边形?? 翻折得到，点? 的对应点为?′，
∴ ∠? = ∠??′?′．
∵ ∠??′?′+ ∠??′?′ = 180°，
∴ ∠? = ∠??′?′．
∴ ?′?′= ?′?．
(2)2 2
【分析】（1）利用平行和折叠的性质证明∠? = ∠??′?′，即可得出结论；
（2）根据△ ??是等腰直角三角形可求∠?′??′ = ∠??? = 45°，过点?′作?′ ⊥ ?′?，垂足为，再解三角形 即可．
【详解】（1）略
（2）解：过点?′作?′ ⊥ ?′?，垂足为 ．
∵ ? = ??，∠?? = 90°，
∴ ∠?? = ∠?? = 45°．
∵ ∠?? = 90°，
∴ ∠??? = 45°．
∵四边形?′′?由四边形?? 翻折得到，点? 的对应点为?′，
∴ ∠?′??′= ∠??? = 45°，?′? = ?? = 2，??′= ?? = 4． 在 Rt △ ??′中，? = ??′⋅ cs∠?′? = 4cs45° = 2 2，
∴ ?′ = ? − ?′? = 2．
∵ ?′?′= ?′?，?′ ⊥ ?′?，
∴ ?′? = 2?′ = 2 2．
知识总结
①核心概念：折叠前后对应边相等、对应角相等；平行线内错角相等。②解题要点：第（2）问常过关键点作垂线，利用等腰直角三角形和三角函数求线段。③关联拓展：折叠问题核心是找对应关系，常与勾股定理、相似结合。
阅读下列材料，回答问题．
主题
探究形如 2 + 2的数的整数部分与小数部分的特征
提出问题
学过“二次根式”，我们知道许多二次根式 为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即
= + ，其中为整数，0 < < 1．如 2 = 1 +2 − 1 ，1 − 5 =− 2 + 3 − 5 ．那么形
2
如 2 + 的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？
探究发现
小华对此展开研究，其探究过程如下：
22
（1） 2 − 1= 0 + 3 − 2 2 ；（2） 2 + 1= 3 + 2 2 = ① + 2 2 − 2 ；
补全①②③④所缺的内容；
解决问题 1；
解决问题 2．
命题透视
核心考点：核心考点：整式运算与整数奇偶性探究。
命题分析：
情境创设：情境创设：阅读理解型问题，通过材料给出代数恒等式，要求补全、证明并探究
22
（3） 2 2 − 2= 0 + 12 − 8 2 ；（4） 2 2 + 2= 12 + 8 2 = 23 + ② ；
（5） 3 2 − 4 2 = 0 + 34 − 24 2 ；（6） 3 2 + 4 2 = 34 + 24 2 = 67 + 24 2 − 33 ．
据此，小华提出并证明了以下命题．
命题：若整数，满足 0