2026年中考数学真题完全解读（湖南省卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（湖南省卷），共9页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。

试题分析
2026 年湖南省中考数学试卷总分 120 分，考试时间 120 分钟，共 24 道题。试卷结构为：选择题 10 道
（30 分）、填空题 6 道（18 分）、解答题 8 道（72 分），分值依次为 6、6、8、8、10、10、12、12。全卷以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，对初中数学核心知识与关键能力进行了较全面覆盖。选择题第 1-10 题侧重基础概念与简单运算，填空题第 11-16 题强化代数变形与几何直观，解答题第 17-24 题
逐步提升综合推理与建模要求。整卷突出湖南地方文化、科技实践与跨学科情境，第 7 题以湖南“湘剧”等非
遗知识为背景考查概率，第 19 题以我国三代治沙人科学治沙为背景考查一元一次方程建模，第 21 题以校
园科技节调查为背景考查统计综合，第 23 题以乡村河道开发生态放牧为背景考查抛物线与一次函数综合，
第 24 题以平行四边形拼接等腰三角形为探究对象考查几何综合。模块分布上，图形的性质与函数占比突出，统计与概率、综合与实践稳定呈现，整体难度梯度合理，符合湖南中考命题导向。
试题亮点
湖湘非遗与家国情怀交相辉映，真实情境彰显育人底色：第 7 题以“湘剧、花鼓戏、阳戏、祁剧”四种湖南非
遗剧种为背景考查简单概率；第 19 题以三代治沙人科学治沙、绿色发展成就为背景考查一元一次方程应用；
第 21 题以校园科技节活动调查为背景考查统计图分析。三题分别对应地方文化、生态文明、校园实践，体现湖南卷在真实情境中落实立德树人、关注社会发展的命题追求。
几何推理与图形变换深度融合，中高档题成为能力区分主战场：第 8 题利用平行四边形与三角形内角和进
行角度关系推理；第 10 题以门吸结构为背景，将矩形与解直角三角形结合；第 14 题以两个正六边形公共
边为载体考查对称性与角度计算；第 20 题将尺规作图（角平分线）、等腰三角形性质与圆的切线判定综合；
第 24 题通过平行四边形拼接等腰三角形，探究角度、线段关系与二次函数最值。几何题覆盖选择、填空、解答各层级，推理链条逐步加长，对空间观念、逻辑推理和直观想象提出较高要求。
函数建模与跨学科实践并重，压轴题突出思维过程与探究能力：第 9 题以直角三角形斜边过原点为背景，
结合等腰三角形与全等求坐标；第 12 题以反比例函数图象上三点及外接圆、中点问题综合考查函数与几何；第 16 题分两问探究反比例函数 k 值与相似三角形；第 22 题以阅读室桌椅摆放为背景，将正方形、等腰直 角三角形、勾股定理与不等式建模结合；第 23 题以抛物线型河岸生态放牧为背景，考查二次函数、一次函
数与实际造价问题；第 24 题则在平行四边形与新构等腰三角形中探究线段关系与最值。函数与代数推理强调建模、探究与迁移，淡化机械计算。
命题趋势
湖湘文化、家国成就与校园生活将持续入题，应用意识考查常态化：第 7 题湖南非遗剧种、第 19 题治沙成
就、第 21 题校园科技节、第 22 题阅读室改造、第 23 题乡村振兴生态放牧，均体现湖南卷对地方文化、国家发展、校园实践的高度关注。未来命题会继续选取具有湖南辨识度或时代背景的素材，引导学生在真实情境中建模、计算与解释。
几何综合题单题承载量持续增大，尺规作图、圆、折叠与变换仍是区分核心：第 10 题门吸结构、第 14 题
正六边形对称、第 20 题角平分线作图与切线、第 24 题平行四边形拼接探究，几何模块占比近三成。中高档几何题跨知识点融合趋势明显，预计未来将继续强化“作图—识图—推理—计算—最值”的完整能力链。函数与实际问题的结合将更加紧密，建模与探究成为压轴主旋律：第 12 题反比例函数与圆、第 22 题桌椅
摆放不等式建模、第 23 题抛物线型河岸开发、第 24 题平行四边形中的二次函数最值，均要求学生将现实
情境抽象为函数或方程模型。未来命题将继续淡化套路化计算，强化建模、推理、探究等高阶思维过程。
基础题重视概念本质与跨学科理解，反机械刷题导向鲜明：第 2 题电池主视图、第 3 题化学化合价计算、
第 4 题数轴估算、第 5 题幂运算、第 11 题二次根式化简等题目看似简单，但需要真正理解概念本质或跨学科知识。预计未来湖南卷将继续通过概念辨析、图象识读和简单综合来检验基础，拒绝仅靠题型记忆得分。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
3
数与式→代数式→列代数式
运算能力
2
单选
3
图形的变化与综合实践→投影与视图→简单几何体的主视图
空间观念
3
单选
3
数与式→实数→有理数的混合运算
运算能力
4
单选
3
数与式→实数→实数与数轴
运算能力
5
单选
3
数与式→整式→幂的运算
运算能力
6
单选
3
数与式→分式→分式方程的解
运算能力
7
单选
3
统计与概率→概率→简单概率
数据分析
8
单选
3
图形的性质→四边形→平行四边形性质、三角形内角和
推理能力
9
单选
3
函数→平面直角坐标系→等腰三角形、全等三角形、坐标特征
推理能力、运算
能力
10
单选
3
图形的性质→四边形→矩形性质、解直角三角形
几何直观、运算
考点模块占比分析
数与式模块（约 34%，41 分）：重点考查列代数式、有理数混合运算、实数与数轴、幂的运算、分式方程的解、二次根式化简、因式分解、实数混合运算、不等式组、一元一次方程应用。对应第 1、3、4、5、6、 11、13、17、18、19 题。
函数模块（约 18%，21 分）：重点考查平面直角坐标系中的等腰三角形与全等、反比例函数性质及 k 的几何意义、二次函数与一次函数综合应用。对应第 9、12、16、23 题。
图形的性质模块（约 29%，35 分）：重点考查简单几何体视图、平行四边形性质、矩形与解直角三角形、正六边形性质、圆与扇形、尺规作图与切线、平行四边形与相似三角形综合。对应第 2、8、10、14、15、
20、24 题。
图形的变化与综合实践模块（约 8%，10 分）：重点考查综合实践活动中的几何建模、桌椅摆放方案设计与不等式应用。对应第 22 题。
能力
11
填空
3
数与式→二次根式→二次根式化简
运算能力
12
填空
3
函数→反比例函数→反比例函数性质、三角形外接圆
推理能力、运算
能力
13
填空
3
数与式→整式→因式分解
运算能力
14
填空
3
图形的性质→多边形→正六边形内角与轴对称性
几何直观、推理
能力
15
填空
3
图形的性质→圆→弧长、扇形面积
运算能力
16
填空
3
函数→反比例函数→反比例函数 k 的几何意义、相似三角形
推理能力、运算
能力
17
解答
6
数与式→实数→实数的混合运算
运算能力
18
解答
6
数与式→方程与不等式→一元一次不等式组
运算能力
19
解答
8
数与式→方程与不等式→一元一次方程的实际应用
模型观念、应用
意识
20
解答
8
图形的性质→圆→尺规作图、角平分线、切线判定、勾股定理
推理能力、运算
能力
21
解答
10
统计与概率→数据分析→条形统计图、扇形统计图、样本估计
总体
数据分析
22
解答
10
图形的变化与综合实践→综合实践→正方形、等腰直角三角形、
勾股定理、不等式建模
模型观念、应用
意识
23
解答
12
函数→二次函数→二次函数与一次函数综合、实际应用
模型观念、运算
能力
24
解答
12
图形的性质→四边形→平行四边形、等腰三角形、相似三角形、
二次函数最值
推理能力、创新
意识
统计与概率模块（约 11%，13 分）：重点考查简单概率、条形统计图与扇形统计图、样本估计总体、按比例分配。对应第 7、21 题。
核心复习策略
回归教材，夯实四基
系统梳理数与式、方程不等式核心概念，确保列代数式、幂运算、因式分解、二次根式、分式方程、不等式组、一元一次方程等基础题不丢分；重视教材例题变式，理解概念本质而非死记题型。
建立“数—式—方程—函数”一体化复习框架，对反比例函数、二次函数图象性质及综合应用进行针对性训练，提升数形结合与建模能力。
强化几何推理，提升直观想象
以平行四边形、矩形、圆、正多边形为主线，规范几何证明书写；重点突破尺规作图、切线判定、圆中角度与弧长计算、相似三角形综合题。
加强解直角三角形、图形变换、拼接探究等操作性几何问题的训练，学会通过添加辅助线、构造基本图形来建立已知与未知的联系。
关注情境与探究，提升应用意识
多关注湖湘文化、国家成就、校园生活、乡村振兴等真实情境，练习从文字、图表中提取关键信息并建立数学模型。
重视综合实践、阅读理解型、探究型问题，培养“阅读—理解—建模—求解—解释”的解题习惯，提升代数推理、几何探究与创新思维能力。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×统计图表信息读取不细：第 21 题条形图与扇形图结合，容易忽略“总人数=某项目人数÷对应百分比”这一桥梁，导致后续圆心角、补全图形、样本估计出错。
×跨学科或实际情境题建模不当：第 3 题化学化合价计算、第 19 题治沙面积、第 22 题桌椅摆放、第 23 题河岸开发，需仔细梳理数量关系与单位，避免漏条件或列错等量关系。
×几何探究题只记结论不重过程：第 24 题平行四边形拼接等腰三角形涉及角度推导、线段关系证明与二次函数最值，必须紧扣已知条件逐步推理，不能凭感觉套用相似或全等结论。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
单选题
某品牌三角板的售价是每副 3 元，则买副这样的三角板需要（）
3元B．（3 + ）元C．3元D．元
3
命题透视
核心考点：核心考点：列代数式。
命题分析：
情境创设：情境创设：以购买三角板为背景，根据单价与数量表示总费用。
问题设计：问题设计：已知单价为每副 m 元，购买 n 副，要求用代数式表示总费用。
考查目标：考查目标：考查从实际问题中抽象代数式的能力。
答案与解析
【答案】A
【详解】解：总费用为 3 × = 3元．
知识总结
①核心概念：总费用=单价×数量。②解题要点：直接列出 m×n。③关联拓展：列代数式是方程与函数学习的基础。
如图，该电池的主视图是（）
B．C．D．
命题透视
核心考点：核心考点：简单几何体的主视图。
命题分析：
情境创设：情境创设：以电池为背景，判断其主视图。
问题设计：问题设计：给出电池实物图及四个选项，要求选择正确主视图。
考查目标：考查目标：考查空间观念与三视图识别能力。
答案与解析
【答案】D
【详解】
解：该电池的主视图是
．
知识总结
①核心概念：主视图是从物体正面观察得到的平面图形。②解题要点：圆柱形电池的主视图是矩形。
③关联拓展：三视图是工程制图与空间想象的基础。
水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是−2．计算+1 × 2 + −2的结果是
（）
A．−1B．0C．1D．2
命题透视
核心考点：核心考点：有理数的混合运算。
命题分析：
情境创设：情境创设：以水的化学式中氢、氧元素化合价计算为背景，体现跨学科融合。
问题设计：问题设计：给出氢、氧化合价，计算表达式结果。
考查目标：考查目标：考查有理数运算能力。
答案与解析
【答案】B
【详解】解： +1 × 2 + −2 = 2 − 2 = 0．
知识总结
①核心概念：有理数混合运算遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序。②解题要点：将化合价代入表达
式，按运算顺序计算。③关联拓展：跨学科情境题需准确提取数学信息。
已知点在数轴上的位置如图所示，则点表示的数可能是（）
A．4
3
B．
D．
5
2
2
命题透视
核心考点：核心考点：实数与数轴。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，根据点在数轴上的位置判断该点可能表示的数。
问题设计：问题设计：给出数轴上点的大致位置，从四个无理数或有理数中选择最可能的值。
考查目标：考查目标：考查数形结合与无理数估算能力。
答案与解析
【答案】D
【分析】设点表示的数为 a，由数轴可知，2 < < 3，根据4 ≈ 1.333， 2 ≈ 1.414，3 = 1.5， 5 ≈ 2.236
3
2
即可得出答案，
【详解】解：设点表示的数为 a，由数轴可知，2 < < 3，
∵4 ≈ 1.333， 2 ≈ 1.414，3 = 1.5， 5 ≈ 2.236，
3
2
∴点表示的数可能是 5．
知识总结
①核心概念：数轴上右边的数大于左边的数；常见无理数如√2≈1.414，√3≈1.732。②解题要点：先确定点所在区间，再估算各选项数值。③关联拓展：实数估算常与平方根、立方根综合。
已知 > 0， > 0，且() = 22，则的值是（）
A．−2B．2C．3D．4
命题透视
核心考点：核心考点：幂的运算。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯代数情境，已知幂的等式求参数。
问题设计：问题设计：利用积的乘方法则将等式左边变形，根据指数对应相等求出参数。
考查目标：考查目标：考查幂运算法则与指数方程思想。
答案与解析
【答案】B
【分析】利用积的乘方法则计算左边，对比等式两边对应指数即可求出的值．
【详解】解：∵根据积的乘方运算法则，可得() = ，又∵() = 22，且 > 0， > 0，
∴ = 22，对应指数相等，可得 = 2．
知识总结
①核心概念：积的乘方(ab)^n=a^n b^n；同底数幂相等则指数相等。②解题要点：将已知等式两边化为同底数幂形式，对比指数。③关联拓展：幂运算常与整式乘除、因式分解结合。
6．若 = 1 是分式方程2+ = 3 的解，则的值是（）
A．−1B．0C．1D．2
命题透视
核心考点：核心考点：分式方程的解。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯代数情境，已知分式方程的解，求参数值。
问题设计：问题设计：将方程的解代入原分式方程，得到关于参数的一元一次方程并求解。
考查目标：考查目标：考查分式方程解法与代入求值能力。
答案与解析
【答案】C
【分析】将方程的解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】∵ = 1 是分式方程2+ = 3 的解，
∴将 = 1 代入原方程，可得2×1+ = 3，
1
整理得 2 + = 3，
解得 = 1．
知识总结
①核心概念：分式方程的解使方程左右两边相等。②解题要点：代入解后化简，注意检验是否为增根。
③关联拓展：分式方程常与参数讨论、增根问题结合。
7．在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．3
4
命题透视
核心考点：核心考点：简单概率。
命题分析：
情境创设：情境创设：以湖南四种非遗剧种卡片为背景，考查随机抽取的概率。
问题设计：问题设计：四张卡片中随机抽一张，求抽到“湘剧”的概率。
考查目标：考查目标：考查概率基本概念与文化情境下的应用。
答案与解析
【答案】C
【详解】解：∵ 共有 4 张完全相同的卡片，
∴所有等可能的抽取结果总数为 4，
∵抽中“湘剧”卡片的结果数为 1，
∴ 恰好抽中“湘剧”卡片的概率为 = 1．
4
知识总结
①核心概念：等可能事件概率=所求结果数÷总结果数。②解题要点：总结果数为 4，抽到湘剧的结果数为 1。③关联拓展：概率问题常结合传统文化、体育比赛等情境。
8．如图，在四边形??中，连接??．若∠ = ∠?? = 90°，∠ = 30°，? = ?，则下列说法正确的是
（）
A．? = 2?B．∠? = 135°C．? ∥ ?D．??平分∠?
命题透视
核心考点：核心考点：平行四边形性质与三角形内角和。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯几何情境，在四边形中连接对角线，判断四个结论的正确性。
问题设计：问题设计：利用平行四边形对角相等、邻角互补及三角形内角和进行推理判断。
考查目标：考查目标：考查平行四边形性质与角度推理能力。
答案与解析
【答案】B
【分析】因为∠ = ∠?? = 90°，∠ = 30°，? = ?，可得? = 2??，∠?? = 90° − 30° = 60°，∠?? =
∠?? = 45°，逐项判断即可．
【详解】解：∵∠ = ∠?? = 90°，∠ = 30°，? = ?，
∴? = 2??，∠?? = 90° − 30° = 60°，∠?? = ∠?? = 45°，
∴∠? = 90° + 45° = 135°，故 B 选项正确；
∵∠?? ≠ ∠??，∴??不平分∠?，故 D 选项错误；
∵∠?? ≠ ∠??，∴?与?不平行，故 C 选项错误；
∵? = 2?? ≠ 2?，故 A 选项错误．
知识总结
①核心概念：平行四边形对角相等、邻角互补；三角形内角和为 180°。②解题要点：根据已知角度推导其他角，再逐项判断。③关联拓展：平行四边形常与全等、相似、特殊四边形综合。
9．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形?的斜边?经过原点，连接．已知 = ，若点的坐标为1,0，则点?的坐标为（）
A．−1,0B． 0, − 1C．0,1D． − 2, 0
命题透视
核心考点：核心考点：平面直角坐标系中的等腰三角形与全等。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，直角三角形斜边经过原点，已知一角和一点坐标，求另一点坐标。
问题设计：问题设计：利用等腰三角形性质证明三角形全等，从而得到线段长度关系，确定点坐标。
考查目标：考查目标：考查坐标几何与全等三角形综合推理能力。
答案与解析
【答案】A
【分析】由等腰三角形的性质得到∠ = ∠，可证明∠? = ∠?，得到? = ，则可证明? = ，再根据点 A 的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵ = ，
∴∠ = ∠，
由题意得∠? = 90°，
∴∠ + ∠? = 90°，∠ + ∠? = 90°，
∴∠? = ∠?，
∴? = ，
∴? = ，
∵若点的坐标为 1,0 ，
∴ = 1，
∴? = 1，
∴点?的坐标为 −1,0 ．
知识总结
①核心概念：等腰三角形两底角相等；全等三角形对应边相等。②解题要点：通过角度关系证明全等，再利用坐标对称性求未知点坐标。③关联拓展：坐标系中的几何问题常结合对称、旋转、相似。
门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与? 垂直，门?可绕旋转，是门?与门吸的接触点
（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， ⊥ ? 于点．已知 = ， = ，∠ = ，且 > ，则门吸离墙的距离为（）
A． ⋅ tanB． − sinC． − csD． − tan
命题透视
核心考点：核心考点：矩形性质与解直角三角形。
命题分析：
情境创设：情境创设：以门与门吸的平面示意图为背景，将实际问题抽象为几何问题。
问题设计：问题设计：通过作垂线构造矩形与直角三角形，利用已知角度和边长求门吸离墙的距离。
考查目标：考查目标：考查几何建模与解直角三角形能力。
答案与解析
【答案】D
【分析】过点作? ⊥ 于点 G，证明四边形?是矩形，得到 = ?, ? = = ,则? = − ,根据
tan = ?得到? = ?tan = − tan，即可求出．
?
【详解】解：过点作? ⊥ 于点 G，
∵ ⊥ ?, ⊥ ?, ? ⊥ ，
∴四边形?是矩形，
∴ = ?, ? = = ,
∵ = ，
∴? = − ? = − ,
在 Rt △ ?中，∠? = ∠ = ，
∴tan = ?，
?
∴? = ?tan = − tan，
∴ = ? = − tan．
知识总结
①核心概念：矩形对边相等、四角为直角；解直角三角形可利用三角函数。②解题要点：过关键点作垂线，将斜向距离转化为水平和竖直距离。③关联拓展：解直角三角形常用于测量、建筑、生活器物结构问题。
填空题
11．化简：3 + 2 =
命题透视
核心考点：核心考点：二次根式化简。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学情境，化简二次根式。
问题设计：问题设计：将被开方数分解因数，提取完全平方数进行化简。
考查目标：考查目标：考查二次根式化简能力。
答案与解析
【答案】5
【详解】解：3 + 2 = 5．
知识总结
①核心概念：√(a²b)=a√b（a≥0）。②解题要点：将被开方数写成完全平方数与另一数乘积的形式。
③关联拓展：二次根式化简常与分母有理化、二次根式运算结合。
因式分解：2 − 25 =
命题透视
核心考点：核心考点：反比例函数性质与三角形外接圆。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯函数几何情境，反比例函数图象上的点与三角形外接圆结合。
问题设计：问题设计：利用同弧所对圆周角相等，将圆中角转化为三角形中角求解。
考查目标：考查目标：考查反比例函数与圆的综合推理能力。
答案与解析
【答案】 + 5 − 5
【分析】利用平方差公式：2 − 2 = + − 进行因式分解．
【详解】2 − 25 = + 5 − 5 ．
知识总结
①核心概念：同弧所对圆周角相等；反比例函数 y=k/x 中 k=xy。②解题要点：利用圆的性质将角度关系转化，再代入坐标求 k。③关联拓展：反比例函数常与圆、相似、面积综合考查。
已知2 − 4 = 0，则代数式 22 − 8 + 2026 的值是．
命题透视
核心考点：核心考点：因式分解。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯代数情境，对多项式进行因式分解。
问题设计：问题设计：直接利用平方差公式进行因式分解。
考查目标：考查目标：考查因式分解基本方法。
答案与解析
【答案】2026
【分析】将代数式前两项提取 2 进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵2 − 4 = 0，
∴22 − 8 + 2026 = 2 2 − 4 + 2026 = 2 × 0 + 2026 = 2026．
知识总结
①核心概念：平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b)。②解题要点：识别平方差结构后直接套用公式。③关联拓展：因式分解是解方程、化简分式的重要工具。
14．如图，??是两个正六边形的公共边，和是离?最远的顶点，则∠? =°．
命题透视
核心考点：核心考点：正六边形内角与轴对称性。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯几何情境，两个正六边形共用一条边，求某角度数。
问题设计：问题设计：利用正六边形内角和轴对称性确定角度关系。
考查目标：考查目标：考查正多边形性质与对称性推理能力。
答案与解析
【答案】120
【详解】解：∵图是两个正六边形，
∴每个内角为 6−2 ×180° = 120°，
6
由正六边形的轴对称性可知，∠?? = 1 ∠?? = 60°，
2
同理可得∠?? = 60°，
∴∠? = 60° + 60° = 120°．
知识总结
①核心概念：正六边形每个内角为 120°；正六边形具有多条对称轴。②解题要点：根据公共边对称性，确定相关角的度数，再求目标角。③关联拓展：正多边形内角、外角、对称性是常考知识点。
如图，⊙ 的半径为 6，若它的周长等于弧?的长的 6 倍，则阴影部分的面积为．
命题透视
核心考点：核心考点：弧长与扇形面积。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯几何情境，已知圆的半径及其周长与某弧长的倍数关系，求阴影部分面积。
问题设计：问题设计：先求圆周长，再根据倍数关系求弧长，进而确定圆心角，最后用扇形面积公式求解。
考查目标：考查目标：考查弧长、扇形面积公式及计算能力。
答案与解析
【答案】6
【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧?的长，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵⊙ 的半径为 6，
∴⊙ 的周长为 2π × 6 = 12π，
∵⊙ 的周长等于弧?的长的 6 倍，
∴弧?的长为 2π，
∴阴影部分的面积= 1 × 2π × 6 = 6π．
2
知识总结
①核心概念：圆周长 C=2πr；弧长 l=nπr/180；扇形面积 S=nπr²/360。②解题要点：由周长与弧长关系求圆心角 n，再代入扇形面积公式。③关联拓展：扇形面积常与三角形面积组合求阴影面积。
16．如图，，?，是反比例函数 = ( > 0, > 0)图象上三个不同的点，? ⊥ 轴于点 D．
若在△ ?的外接圆上，且点的坐标是4,2，则 tan∠? =；
设是线段的中点，且? ∥ 轴．若? = ?，则 =．
命题透视
核心考点：核心考点：反比例函数 k 的几何意义与相似三角形。
命题分析：
情境创设：情境创设：反比例函数图象上三点，结合外接圆、中点和相似三角形进行探究。
问题设计：问题设计：分两小问，第（1）问利用圆中角与三角函数求 k；第（2）问利用中点、平行关系和相似比求参数。
考查目标：考查目标：考查反比例函数、圆、相似三角形综合推理能力。
答案与解析
【答案】
2
3
2
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，得∠? = ∠?，在 Rt △ ?中求 tan∠?即可；
（2）连接?并延长，交轴于点，先根据平行关系得出? ∥ ?，根据, ?, 三点坐标关系得出? = 2?，
再根据相似三角形的相似比得出 = 1 ?，即可求出? = ? − = 3 ?．
2
2
【详解】解：（1）∵ ? ⊥ 轴，
∴ ∠? = 90°，? = 4, ? = 2，
⏜
∵ 在△ ?的外接圆上，∠?, ∠?所对圆弧均为?，
∴ tan∠? = tan∠? = ? = 2．
?
（2）如图，连接?并延长，交轴于点，
2
∴ = 3．
2
∴ ? = 3 ?，
2
∵ ? = ? + = ? + 1 ? = 2?，
?2
∴ = = 1，
∵ ? ∥ ?，
∴△ ∽△ ?，
2
∴ 1 = 1 2，即? = 2?，
∵ , ?都在反比例函数上，
∴ 11 = 22 = ，
2
∴ 1 = 2，即1 = 22
∵ ? ⊥ 轴，? ∥ 轴，
∴ ? ∥ ?，
∴ ?, 两点横坐标相同，
2 2
设 1, 1 , ? 2, 2 ，由是线段的中点得 1 , 2 ，
知识总结
①核心概念：反比例函数图象上点坐标满足 xy=k；相似三角形对应边成比例。②解题要点：设点坐标，利用中点和平行关系建立比例式，结合反比例函数性质求解。③关联拓展：k 的几何意义常与相似、中点、面积综合。
解答题
17．计算：2sin30° + −3 + 22．
命题透视
核心考点：核心考点：实数的混合运算。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学计算题，涉及零指数幂、负指数幂、算术平方根、绝对值等。
问题设计：问题设计：按照实数混合运算顺序逐步计算。
考查目标：考查目标：考查基本运算能力与运算准确性。
答案与解析
【答案】8
【分析】分别计算出算式中每一项的结果，再进行加法运算即可得到最终答案．
【详解】解：2sin30° + −3 + 22
= 2 × 1 + 3 + 4
2
= 1 + 3 + 4
= 8．
知识总结
①核心概念：实数混合运算按优先级进行；特殊值如 a⁰=1（a≠0）、a⁻ ⁿ=1/aⁿ。②解题要点：分别化简各项，再进行加减。③关联拓展：常与特殊角三角函数值、二次根式综合。
解不等式组： − 2 > 1①
2 + 1 > 4②
命题透视
核心考点：核心考点：一元一次不等式组。
命题分析：
情境创设：情境创设：纯数学计算题，解一元一次不等式组。
问题设计：问题设计：分别解两个不等式，再取公共部分。
考查目标：考查目标：考查不等式求解与解集表示能力。
答案与解析
【答案】 > 3
【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终
解集．
【详解】解：解 − 2 > 1
移项得 > 1 + 2
解得 > 3
解 2 + 1 > 4
两边同时除以 2 得 + 1 > 2
移项得 > 2 − 1
解得 > 1
根据“同大取大”，取两个解集的公共部分得 > 3
因此原不等式组的解集为 > 3．
知识总结
①核心概念：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。②解题要点：分别解每个不等式，借助数轴确定公共部分。③关联拓展：常与方程组、一次函数图象、实际应用综合。
我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积 29 万亩，比第一代治沙人治沙面积的 3 倍还多 5 万亩，求第一代治沙人的治沙面积．
命题透视
核心考点：核心考点：一元一次方程的实际应用。
命题分析：
情境创设：情境创设：以我国三代治沙人科学治沙为背景，考查一元一次方程建模。
问题设计：问题设计：设第一代治沙面积为未知数，根据“总面积是第一代的 3 倍还多 5 万亩”列方程求解。
考查目标：考查目标：考查方程建模与应用意识。
答案与解析
【答案】第一代治沙人的治沙面积为 8 万亩
【分析】设第一代治沙人的治沙面积为 x 万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的 3 倍还多 5 万亩”，列方程求解即可．
【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为 x 万亩，根据题意得
3 + 5 = 29，
解得 = 8，
答：第一代治沙人的治沙面积为 8 万亩．
知识总结
①核心概念：列方程解应用题关键是找等量关系。②解题要点：设第一代治沙面积为 x 万亩，根据题意列方程 3x+5=总面积。③关联拓展：工程、行程、利润问题常通过一元一次方程解决。
如图，在等腰△ ?中， = ?．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交?于点；
分别以，为圆心，大于1 的长为半径画弧，在∠?内两弧交于点；作射线交?于点；以为圆
2
心，的长为半径作⊙ ．
求证：?与⊙相切；
(2)已知 = 10，? = 12，求⊙的半径．
命题透视
核心考点：核心考点：尺规作图、角平分线、切线判定与勾股定理。
命题分析：
情境创设：情境创设：在等腰三角形中通过尺规作图作角平分线，再以某半径作圆，证明切线并求半径。
问题设计：问题设计：第（1）问利用等腰三角形三线合一证明垂直，从而证切线；第（2）问利用勾股定理求半径。
考查目标：考查目标：考查尺规作图、圆的性质与几何推理能力。
答案与解析
【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线是∠?的角平分线，
∵ = ?，
∴△ ?是等腰三角形，
∴ ⊥ ?，
又∵是⊙ 的半径，且点在?上，
∴?与⊙ 相切；
(2)⊙ 的半径为 8
【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线平分∠?；又 = ?，△ ?为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得 ⊥ ?．因是⊙ 的半径，且点在直线?上，即可证?与⊙ 相切；
（2）由 = ?、 ⊥ ?，根据三线合一可知是底边?的中线，则可得 = 6．在 Rt △ 中，运用勾股定理即可求出⊙ 的半径．
【详解】（1）略
（2）解：∵△ ?是等腰三角形，且 ⊥ ?，
∴是底边?的中线，
∴ = 1 ? = 1 × 12 = 6，
2
2
在 Rt △ 中， = 2 − 2 = 102 − 62 = 8，
∴⊙ 的半径为 8．
知识总结
①核心概念：角平分线作图；等腰三角形三线合一；切线判定需证半径与直线垂直；勾股定理 a²+b²=c²。
②解题要点：由尺规作图得角平分线，结合等腰三角形性质证垂直，再用勾股定理求半径。③关联拓展：切线证明常与等腰三角形、直角三角形、勾股定理结合。
调查问卷
整理与描述
学生选择参与的科技活动项 目调查问卷你选择参与的科 技活动项目是（）（单选题）
A．小发明B．小制作
学生选择参与的科技活动项目统计图
科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下：
请根据上述信息，回答下列问题：
本次问卷调查中，参与调查的学生有人；
在扇形统计图中，项目 C 对应的圆心角的度数为；
请补全条形统计图；
若该校有 1200 名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数；
该学校准备给四个科技活动项目设置 80 个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额．
命题透视
核心考点：核心考点：条形统计图、扇形统计图与样本估计总体。
命题分析：
情境创设：情境创设：以校园科技节活动调查为背景，综合考查统计图表分析。
问题设计：问题设计：第（1）问求总人数；第（2）问求圆心角度数；第（3）问补全条形图；第（4）问用样本估计总体；第（5）问按比例分配奖励名额。
考查目标：考查目标：考查统计图信息提取、数据分析与应用意识。
答案与解析
【答案】(1)100 (2)90°
(3)
(4)该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生有 180 人
C．小实验D．小论文
答：小发明分配 8 个名额，小制作分配 40 个名额，小实验分配 20 个名额，小论文分配 12 个名额．
100
D 项目的奖励名额为：80 × 15 = 12（个），
100
C 项目的奖励名额为：80 × 25 = 20（个）；
100
B 项目的奖励名额为：80 × 50 = 40（个）；
100
∴A 项目的奖励名额为：80 × 10 = 8（个）；
（5）解：由题意得，按各项目参与人数占总人数的比例，分配 80 个奖励名额，
100
（4）解：由题意得，选择小论文的人数约为：1200 × 15 = 180（人）；
（3）解：由题意得，A 项目的人数为 100 − 50 − 25 − 15 = 10（人）；
100
∴其圆心角度数为 360° × 25 = 90°；
(5)小发明分配 8 个名额，小制作分配 40 个名额，小实验分配 20 个名额，小论文分配 12 个名额
【分析】（1）联合条形统计图和扇形统计图进行求解即可；
由项目 C 占总人数的百分比即可求出其圆心角；
先求出项目 A 的人数，再进行补全即可；
根据样本估计总体，即可得出科技活动宣传员的学生人数；
根据样本中每个项目的所占百分比进行分配奖励名额即可．
【详解】（1）解：由条形统计图可知，选择 B 项目的学生有 50 人；由扇形统计图可知，B 项目人数占总人数的 50%，
∴总人数为 50 ÷ 50% = 100（人）；
（2）解：由条形统计图可知，选择 C 项目的学生有 25 人，
知识总结
①核心概念：扇形圆心角=360°×该部分百分比；样本估计总体用样本比例推断总体。②解题要点：先由已知项目人数和百分比求总人数，再依次求解各问。③关联拓展：统计综合题常与概率、决策分析结合。
某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整．
【数据收集】
图 1 是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为 1.2 米的正方形??，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边
的等腰直角三角形．如图 2，该阅读室摆放了 5 行 8 列共 40 套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），
桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为 0.6 米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙．
2
如图 1，连接?，则? =米，取
求阅读室的长与宽；
≈ 1.414，? ≈米（结果保留一位小数）；
【问题解决】
调整桌椅摆放方向如图 3 所示（?平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图 4，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为 0.6 米，靠墙过道的宽度不低于 0.5 米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下 60套桌椅，并说明理由．
命题透视
核心考点：核心考点：正方形、等腰直角三角形、勾股定理与不等式建模。
命题分析：
情境创设：情境创设：以阅读室桌椅摆放调整为背景，设计容纳更多桌椅的方案。
问题设计：问题设计：第（1）问求线段长；第（2）问求阅读室长宽；第（3）问通过不等式建模判断能否摆下 60 套桌椅。
考查目标：考查目标：考查综合实践中的数学建模与不等式应用能力。
答案与解析
【答案】(1)2.4，1.7
长为 23.4 米，宽为 14.4 米
解：可以摆下
理由：设横向摆放 x 套桌椅，纵向摆放 y 套桌椅，根据题意，得 1.7 + 0.6 − 1 ≤ 23.4 − 0.5 × 2，解得 ≤ 10，
∴最大整数 x 为 10，
根据题意，得 1.7 + 0.6 − 1 ≤ 14.4 − 0.5 × 2，
解得 ≤ 6 2 ，
23
∴最大整数 y 为 6，
∵10 × 6 = 60，
∴可以摆下．
【分析】（1）根据三角形中位线定理求出?，根据勾股定理求?即可；
根据长为 8 个?的长加上 7 个过道；宽为 5 个?的长加上 4 个过道求解即可；
设横向摆放 x 套桌椅，纵向摆放 y 套桌椅，根据 x 个?的长加上 − 1 个过道不超过总长度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数 x 的最大值，根据 y 个?的长加上 − 1 个过道不超过总宽度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数一的最大值，则可求出的最大值，然后与 60 比较，即可得出结论．
【详解】（1）解∶∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形，
∴ = = ? = ??，∠ = 90°，
∴? = 2? = 2.4（米）， = ?，
∴2 + ?2 = 2?2 = ?2 = 2.42，
∴? = 2.4 ≈ 1.7（米）；
2
解∶阅读室的长为 2.4 × 8 + 0.6 × 8 − 1 = 23.4（米），宽为 2.4 × 5 + 0.6 × 5 − 1 = 14.4（米）
略
知识总结
①核心概念：等腰直角三角形斜边与直角边关系；勾股定理；不等式整数解。②解题要点：先求单套桌椅所需空间尺寸，再列不等式求最大摆放数量。③关联拓展：实际方案设计问题常需结合几何、方程、不等式与整数约束。
如图 1，公路1与铁路2垂直交汇于河岸点处，公路1与河岸的另一交点为，其中河岸?段为抛物
线的一部分，?段为线段， = 7 km，? = 5 km，点?到公路1的距离?? = 3 km，抛物线的顶点到公路1与铁路2的距离分别为 4 km 与 2 km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图 2，栅栏紧挨公路1（与公路1 的距离忽略不计），栅栏? ⊥ ，点?在该段抛物线上；栅栏? ⊥ ，点?在线段?上．以点为坐标原点，直线1与2分别为轴与轴，规定 1 个单位长度为 1 km，建立平面直角坐标系．
请直接写出点?的坐标；
分别求直线?与抛物线?的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
点到铁路2的距离小于 1.5 km，? = 2?，已知建 1 km 长栅栏的各项开支为 2 万元，建完栅栏需花费
17 万元．求栅栏?到铁路2的距离．
命题透视
核心考点：核心考点：二次函数与一次函数综合的实际应用。
命题分析：
情境创设：情境创设：以乡村河道开发生态放牧为背景，抛物线型河岸与线段河岸围成区域，用栅栏围成封闭区域并计算造价。
问题设计：问题设计：第（1）问求点坐标；第（2）问用待定系数法求直线和抛物线表达式；第（3）问根据总造价求栅栏长度，再列方程求栅栏到铁路的距离。
考查目标：考查目标：考查函数建模、方程求解与实际应用能力。
答案与解析
【答案】(1)?(3,3)
(2)直线?的函数表达式为： =− 3 + 21；抛物线?的函数表达式为： =− 2 + 4
44
(3)1 km
【分析】（1）由 = 7km 确定(7,0)，利用勾股定理由? = 5km、?? = 3km 求点?的横坐标．
（2）用待定系数法分别求直线?和抛物线?的解析式．
先由总造价与单价求出栅栏总长为17 km，即? + + ? = 17 km；设(, 0)，利用抛物线解析式写
22
出?(, − 2 + 4)，利用直线?解析式写出?(, − 3 + 21 )；由? = 2?把用表示，再得到关于的一元
44
二次方程，结合 < 1.5 取根，即可得到栅栏?到铁路2（轴）的距离．
【详解】（1）解：∵ 为原点，1为轴， = 7km，
∴ (7,0)，
∵点?到1的距离?? = 3km，? = 5km，
∴? = ?2 − ??2 = 52 − 32 = 4km，
∴? = − ? = 7 − 4 = 3km，
∴ ?(3,3)．
（2）解：设直线?的函数表达式为： = + ，
将(7,0)、?(3,3)代入得： 7 + = 0 ，
3 + = 3
=− 3
解得4 ，
= 21
4
∴直线?的函数表达式为： =− 3 + 21．
44
∵顶点到1的距离为 4km，到2的距离为 2km，
∴ (2,4)，
∴设抛物线?的函数表达式为 = ( − 2)2 + 4，将(0,0)代入得 0 = 4 + 4，
解得： =− 1，
∴ =− ( − 2)2 + 4 =− 2 + 4，
∴抛物线?的函数表达式为： =− 2 + 4．
（3）解：∵建 1 km 长栅栏的各项开支为 2 万元，建完栅栏需花费 17 万元，
∴栅栏总长为17 km，
2
∴ ? + + ? = 17，
2
设点的坐标为(, 0)，且 0 < < 3，
∵点到铁路2的距离小于 1.5km，
∴ < 1.5，
∵点?在抛物线 =− 2 + 4上，
∴ = 1，
∴栅栏?到铁路2的距离为 1 km．
5
∴ = 9不合题意，舍去，
∵ < 1.5，
5
解得：1 = 1，2 = 9，
3
将 = 22−8+21代入，整理得：52 − 14 + 9 = 0，
442
∴ ? + + ? = ( − 2 + 4) + ( − ) + ( − 3 + 21 ) = 17，
又∵ = − ，
3
整理得： = 22−8+21，
44
∴− 2 + 4 = 2( − 3 + 21 )，
∵ ? = 2?，
44
∴ ? =− 3 + 21，
44
∴ ?(, − 3 + 21 )，
44
∵点?在直线?: =− 3 + 21上，
∴ ?(, − 2 + 4)，
∴ ? =− 2 + 4，
设点的坐标为(, 0)，且 > ，
知识总结
①核心概念：待定系数法求一次函数、二次函数表达式；抛物线顶点式；一元二次方程求解。②解题要点：建立坐标系后，利用已知点坐标求解析式，再根据造价条件列方程。③关联拓展：二次函数实际应用常与最值、面积、造价、抛物线形建筑结合。
【问题背景】
如图 1 ，给定平行四边形??，点是?边上不与，?重合的一动点．如图 2 ，作△ ?，使得? = ?，且当点运动时，保持∠ = ∠?，∠? = ∠?．
【动手操作】
将△ ?拼接于平行四边形??的上方：
操作一：如图 3，使点与重合，点?与?重合，将此时的点记为，作? ∥ ?交?于点?；操作二：如图 4，使点与?重合，点?与重合，将此时的点记为，连接．
【问题解决】
如图 1 ，当∠? = 80°时，∠? + ∠? =°；
如图 3，从结论①，②中选一个给出证明；
①△ ? ∽△ ?，②△ ?? ∽△ ?；
如图 3，在点运动过程中，探究线段与线段??的数量关系，并说明理由；
如图 4，设? = 4，? = 3，当点运动时，求 + ?的最大值．
命题透视
核心考点：核心考点：平行四边形、等腰三角形、相似三角形与二次函数最值。
命题分析：
情境创设：情境创设：新构等腰三角形拼接于平行四边形上方，通过操作探究角度、线段关系与最值。
问题设计：问题设计：第（1）问求角度；第（2）问证明两条线段关系；第（3）问探究线段数量关系；第（4）问利用相似与二次函数求最大值。
考查目标：考查目标：考查几何探究、推理能力与二次函数最值综合，是全卷压轴题。
答案与解析
【答案】(1)100
(2)解：选择①△ ? ∽△ ?，
证明：∵?∥?，
∴∠? = ∠?，又∠? = ∠?，
∴△ ? ∽△ ?；
选择②△ ?? ∽△ ?，
证明：∵四边形??是平行四边形，
∴?∥?，? = ?，又?∥?，
∴?∥?，
∴∠?? = ∠?，又∠?? = ∠?，
∴△ ?? ∽△ ?；
(3)解： = ??，
理由：∵△ ? ∽△ ?，△ ?? ∽△ ?，
∴? = ?①，? = ??，
?
?
?
∵? = ?，
∴? = ??②，
??
由①得? ⋅ ? = ⋅ ?，由②得? ⋅ ? = ? ⋅ ??，
∴ ⋅ ? = ? ⋅ ??，
∴ ⋅ ? − ?? = ? − ⋅ ??，
∴ ⋅ ? − ⋅ ?? = ? ⋅ ?? − ⋅ ??，
∴ ⋅ ? = ? ⋅ ??，
∴ = ??；
(4)49
12
【分析】（1）根据平角定义求解即可；
（2）选择①：根据平行线的性质得出∠? = ∠?，结合∠? = ∠?即可得证；选择②：根据平行四边形的性质和平行线的传递性得出?∥?，根据平行线的性质得出∠?? = ∠?，结合∠?? = ∠?即可
得证；
根据（2）中∵△ ? ∽△ ?，△ ?? ∽△ ?，可得出? ⋅ ? = ⋅ ?，? ⋅ ? = ? ⋅ ??，则 ⋅
? = ? ⋅ ??，变形为 ⋅ ? − ?? = ? − ⋅ ??，则 ⋅ ? − ⋅ ?? = ? ⋅ ?? − ⋅ ??，得出 ⋅
? = ?·??，然后根据等式的性质即可得出结论；
根据题意，得图 3 中△ ?和图 4 中△ ?全等，得出? = ，由图 3 中△ ?? ∽△ ?，得出? = ??，
?
结合 = ??，得出 = ，则可证明△ ∽△ ?，设? = ，则 = 4 − ，根据相似三角形的性质
?
求出 = 4−2，则 + ? = 4−2 + ，然后根据二次函数的性质求解即可．
33
【详解】（1）解：∵∠? = 80°，
∴∠? + ∠? = 180° − ∠? = 100°；
略
略
解：根据题意，得图 3 中△ ?和图 4 中△ ?全等，
∴? = ，
∵图 3 中△ ?? ∽△ ?，
∴? = ??，
?
由（3）知： = ??，
∴ = ，
?
又∠ = ∠?，
∴△ ∽△ ?，
∴ = = ，
??
设? = ，则 = 4 − ，
∴4− = ，
3
解得 = 4−2，
3
∴ + ? = 4−2 +
3
1 27
=− 3 + 3
=− 1
3
− 7
2
2 + 49，
12
∴当 = 7时， + ?取最大值为49．
212
知识总结
①核心概念：平行四边形对边平行且相等；等腰三角形两腰相等、两底角相等；相似三角形对应边成比例；二次函数最值可用配方法或顶点公式求。②解题要点：紧扣平行四边形与等腰三角形性质，通过全等、相似建立线段关系，再设变量用二次函数求最值。③关联拓展：几何探究压轴题常涉及操作发现、猜想证明、最值计算，需要耐心推导与数形结合。