2026年中考数学真题完全解读（陕西卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（陕西卷），共9页。

试题分析
2026 年陕西省中考数学试题延续“素养立意、能力为重、面向全体”的命题导向，全卷共 26 题，满分 120
分，考试时间 120 分钟。试卷结构保持稳定：选择题 8 题、填空题 6 题、解答题 12 题，分值分布由易到难、梯度明显。选择题第 1~8 题侧重基础运算、概念理解和简单推理，覆盖实数运算、轴对称、代数式、正比 例函数、二次函数、正方形性质、概率等核心知识；填空题第 9~14 题综合度逐步提升，涉及实数比较、三视图、一元一次方程应用、弧长计算、反比例函数 k 值以及旋转与面积；解答题第 15~21 题聚焦运算、化 简、不等式组、尺规作图、等边三角形证明、概率计算、解直角三角形应用与一次函数建模，强调规范表 达与数学建模；第 22~25 题以人机共跑、健身竞赛统计、圆综合、二次函数图象与平移为载体，考查函数 分析、统计推断和综合推理；第 26 题以农田小路规划与蓄水池最短路径为项目背景，将角平分线、旋转、最短路径与面积比融为一体，承担压轴区分功能。试题素材紧贴生活、文化与科技前沿：秦腔脸谱助力乡 村振兴、渭河河道测量、人机共跑测试、健身技能竞赛、农田小路规划等，既体现了陕西地域文化特色， 又落实了数学建模、应用意识、创新意识等核心素养。全卷基础题约占 70%，中档题与压轴题约占 30%，兼顾了毕业水平检测与升学选拔功能。
试题亮点
秦腔脸谱与渭河测量，陕西文化生态双入题：第 11 题以“爱心助力乡村振兴”绘制秦腔脸谱为背景，将一
元一次方程与传统文化、公益捐赠结合；第 21 题以渭河河道宽度测量为实践活动任务，通过解直角三角形或相似三角形完成方案设计与计算。两题一文一理，将陕西文化符号与黄河最大支流的生态实践自然融入数学考查，体现陕西卷的育人厚度。
人机共跑与智能科技，真实情境激活函数建模：第 22 题以运动员与人形机器人“人机共跑测试”为情境，
利用一次函数图象分析两者出发时间差、速度关系及到达终点时的距离差；第 8 题以鱼捕食时射出的水流抛物线为背景求最大高度。两题分别将一次函数与二次函数置于体育、人工智能和生物捕食情境中，展现数学建模的广泛应用。
农田规划与最短路径，压轴探究凸显思维品质：第 26 题以平整农田内修建两条笔直小路、在交汇处建蓄水池并铺设最短地下输水管道为项目背景，综合角平分线、图形旋转、点到直线最短距离与面积比，要求
学生从复杂实际问题中抽象数学模型、进行综合分析与合理决策，是对推理能力、创新意识与几何直观的综合检验。
命题趋势
陕西文化符号与生态资源将持续入题：秦腔脸谱、渭河测量等素材表明陕西卷将继续挖掘本土文化、生态与科技资源，复习中应关注具有陕西辨识度的素材，培养从地域情境中抽象数学模型的能力。
函数图象分析成为中高档题的重要区分点：第 5、8、13、22、25 题覆盖正比例函数、二次函数最值、反比例函数 k 值、一次函数行程问题与二次函数图象性质，未来函数图象的识读、关键信息提取、参数讨论和实际建模能力要求将进一步提升。
统计决策与概率意义贴近真实生活：第 11 题秦腔脸谱利润计算、第 20 题读书分享概率、第 23 题健身竞赛统计分析，均要求学生从数据中提取信息、计算统计量并做出解释或决策，数据观念与应用意识的考查将更加常态化。
几何综合与项目探究保持压轴区分功能：第 14、24、26 题涉及旋转、圆综合、角平分线与最短路径，未来几何压轴题将继续淡化复杂计算、强化辅助线构造、图形转化和思维过程呈现，复习中应注重通性通法与一题多解。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
3
数与式→实数运算→实数混合运算
运算能力
2
单选
3
图形的性质→对称性→轴对称图形的识别
几何直观
3
单选
3
数与式→代数式→列代数式与整式加减
模型观念
4
单选
3
图形的性质→相交线与平行线→垂线定义与邻补角
几何直观
5
单选
3
函数→正比例函数→待定系数法求解析式
运算能力
6
单选
3
图形的性质→三角形→垂直平分线性质与解直角三角形
推理能力
7
单选
3
图形的性质→正方形→正方形性质与锐角三角函数
几何直观
8
单选
3
函数→二次函数→二次函数最值（顶点式）
运算能力
9
填空
3
数与式→实数比较→实数大小比较
运算能力
10
填空
3
图形的性质→视图→三视图的识别
空间观念
11
填空
3
方程与不等式→一元一次方程→一元一次方程的实际应用
模型观念
12
填空
3
图形的性质→圆→弧长公式与圆周角定理
推理能力
13
填空
3
函数→反比例函数→反比例函数 k 的几何意义
运算能力
考点模块占比分析
数与式模块（约 22%，27 分）：对应第 1、3、9、11、15、16、17 题。本模块以实数运算、代数式、分式化简、方程与不等式为核心，基础题与简单应用题并重，强调运算能力与模型观念。
函数模块（约 20%，24 分）：对应第 5、8、13、22、25 题。涵盖正比例函数、二次函数最值、反比例函数 k 值、一次函数应用及二次函数综合，突出函数图象分析与实际建模。
图形的性质模块（约 30%，36 分）：对应第 2、4、6、7、10、12、18、19、24 题。涉及轴对称、相交线与平行线、三角形、正方形、圆、三视图、尺规作图等，考查几何直观与推理能力。
图形的变化与综合实践模块（约 18%，21 分）：对应第 14、21、26 题。聚焦旋转、测量方案设计、农田规划等实践性、综合性问题，强调空间观念、应用意识与创新意识。
统计与概率模块（约 10%，12 分）：对应第 20、23 题。包括概率计算与统计分析，突出数据观念与用样本估计总体思想。
核心复习策略
回归教材，搭建结构化知识体系
优先夯实核心概念。对实数运算、整式与分式、方程不等式、函数图象与性质、三角形与圆的性质、统计概率等核心知识，要准确理解定义、公式和定理，避免一知半解。
14
填空
3
图形的变化→旋转→旋转性质与面积计算
空间观念
15
解答
5
数与式→实数运算→实数混合运算
运算能力
16
解答
5
数与式→分式→分式的化简
运算能力
17
解答
5
方程与不等式→不等式组→一元一次不等式组的解法
运算能力
18
解答
5
图形的性质→尺规作图→菱形的判定与尺规作图
几何直观
19
解答
5
图形的性质→三角形→等边三角形与平行线性质
推理能力
20
解答
5
统计与概率→概率→列表法与树状图求概率
数据观念
21
解答
6
图形的变化→解直角三角形→测量方案设计与解直角三角形应用
应用意识
22
解答
7
函数→一次函数→一次函数图象与行程问题
模型观念
23
解答
7
统计与概率→统计→频数分布表、中位数、方差与用样本估计总体
数据观念
24
解答
8
图形的性质→圆综合→切线性质、垂径定理与相似三角形
推理能力
25
解答
8
函数→二次函数→二次函数图象、性质与平移
运算能力
26
解答
12
综合与实践→几何综合→角平分线、旋转、最短路径与面积计算
创新意识
按模块梳理知识网络。将数与式、函数、图形性质、图形变化、统计概率五大模块用思维导图或表格串联，形成知识间的横向联系，便于综合题的快速定位。
专项突破综合题型，掌握通用解题方法
分类型训练。针对函数应用题、圆的综合证明、解直角三角形测量、统计方案设计、几何压轴探究等高频题型，总结审题步骤、解题模板和易错点。
强化图文转换。对几何题要勤画图、标注已知条件；对函数题要学会从图象中提取关键点；对统计题要能从表格和图表中获取有效信息。
建立学科思维，规范答题表达
重视分类讨论、数形结合、方程与函数、转化与化归等数学思想。在解题中主动思考“能否用方程建模”“是否需要分类讨论”“能否构造辅助线或函数”。
将题目信息转化为数学语言后，严格按照步骤书写，保证推理依据充分、计算过程清晰、单位答语完整，减少过程性失分。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×只刷难题忽视基础：选择、填空和基础解答题占近 70 分，基础题失分最不划算。
×只背模板不理解原理：情境题和综合题常变式呈现，新情境下必须依靠理解迁移而非机械套模板。
×做题不复盘：错题要分析错因、回归知识点、定期重做，错题复盘的价值远大于机械刷题。
×表达不规范：几何证明缺少依据、计算步骤跳步、统计题漏写单位或答语，都会造成不必要失分。
单选题
计算： −6 =（）
A．6B．−6C．1
6
命题透视
核心考点：实数混合运算
命题分析：
情境创设：以基础计算为背景
D．− 1
6
问题设计：直接运用有理数、乘方、开方等运算法则，按正确运算顺序计算
考查目标：考查运算能力与基本计算技能
答案与解析
【答案】A
【详解】解： −6 = 6．
知识总结
第 1 题：① 核心概念：实数混合运算包括有理数的加减、乘除、乘方、开方及绝对值，运算顺序为“先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右”。② 解题方法：先识别算式中的运算种类，按顺序分步计算；特别注意负数的乘方、绝对值符号和根号化简，避免跳步和符号错误。③ 拓展关联：实数混合运算是整式、分式、方程、不等式计算的基础，与第 15 题共同覆盖数与式模块的基本运算能力。
下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
命题透视
核心考点：轴对称图形的识别
命题分析：
情境创设：以全等三角形组合图形为背景
问题设计：依据轴对称图形定义，沿某直线折叠后两侧重合即为轴对称图形
考查目标：考查几何直观与概念理解
答案与解析
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、B、D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴
对称图形．
知识总结
第 2 题：① 核心概念：轴对称图形是指沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴。② 解题方法：观察图形能否找到一条直线，使图形沿该直线对折后两侧完全重合；对组合图形可尝试沿水平、竖直或斜向直线进行折叠验证。③ 拓展关联：轴对称与中心对称是初中几何两种常见对称形式，常与全等三角形、等腰三角形、图形翻折等知识综合考查。
在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少 3 个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ）
A． + 3B． − 3C．2 + 3D．2 − 3
命题透视
核心考点：列代数式与整式加减
命题分析：
情境创设：以劳动实践采摘西红柿为情境
问题设计：设小欢采摘 a 个，小乐采摘(a-3)个，求和并化简
考查目标：考查模型观念与代数表达能力
答案与解析
【答案】D
【分析】先根据题意表示出小乐采摘西红柿的个数，再将两人采摘个数相加，化简后得到结果即可．
【详解】解：∵小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的个数比小欢少 3 个，
∴小乐采摘西红柿的个数为 − 3 个，
∵ + − 3 = + − 3 = 2 − 3，
∴两人一共采摘的个数为 2 − 3 个．
知识总结
第 3 题：① 核心概念：用字母表示实际问题中的数量，根据数量关系列出代数式，再通过合并同类项进行整式加减化简。② 解题方法：先明确未知量（如小欢采摘 a 个），再用含未知量的式子表示其他量（小乐采摘(a-3)个），最后根据“一共”等关键词列出和式并合并同类项。③ 拓展关联：列代数式是方程建模
的基础，与第 11 题一元一次方程应用、第 22 题一次函数建模共同体现用代数语言描述现实情境的能力。
如图，? ⊥ ?，垂足为，直线?经过点．若∠1 = 52°，则∠2 的度数为（）
A．152°B．142°C．132°D．128°
命题透视
核心考点：垂线与邻补角
命题分析：
情境创设：以相交线、垂线为背景
问题设计：利用垂线定义得 90 度，再由邻补角互补求未知角
考查目标：考查几何直观与推理能力
答案与解析
【答案】B
【分析】根据垂线的定义和已知条件求出∠??的度数，再由邻补角互补可得∠2 的度数．
【详解】解：∵? ⊥ ?，
∴∠?? = 90°，
∴∠?? = ∠?? − ∠1 = 38°，
∵直线?经过点，
∴∠2 = 180° − ∠?? = 142°．
知识总结
第 4 题：① 核心概念：垂线是指两条直线相交成 90°角时互相垂直；邻补角是指有公共顶点和一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角，和为 180°。② 解题方法：由垂线定义得 90°角，再结合已知角利用互余或互补关系求解未知角；注意图中直线经过的交点，准确确定邻补角关系。③ 拓展关联：垂线与邻补角是相交线中最基本的角度关系，常与对顶角、平行线性质、三角形内角和等结合出现。
一个正比例函数的图象经过点−2,3，则该函数图象经过的点的坐标还可以是（ ）
A．2,3B． −3, − 2C．3, − 2D． 2, − 3
命题透视
核心考点：正比例函数解析式
命题分析：
情境创设：以函数图象过定点为背景
问题设计：设 y=kx，代入已知点求 k，再验证选项中的点是否满足解析式
考查目标：考查运算能力与函数观念
答案与解析
2
D 选项，? = 2 时， =− 3 × 2 =− 3，符合解析式要求．
2
2
C 选项，? = 3 时， =− 3 × 3 =− 9 ≠− 2，不符合；
2
2
B 选项，? =− 3 时， =− 3 × −3 = 9 ≠− 2，不符合；
2
A 选项，? = 2 时， =− 3 × 2 =− 3 ≠ 3，不符合；
2
∴该正比例函数解析式为 =− 3 ?，
2
解得 =− 3，
【答案】D
【分析】先设正比例函数的一般解析式，代入已知点求出解析式，再将选项中点坐标代入验证，即可得到正确结果．
【详解】解：设该正比例函数解析式为 = ? ≠ 0 ，
∵函数图象经过点 −2,3 ，
∴将? =− 2, = 3 代入解析式得 3 =− 2，
知识总结
第 5 题：① 核心概念：正比例函数的一般形式为 y=kx（k≠0），其图象是过原点的一条直线，k 决定直线的倾斜方向和程度。② 解题方法：已知函数图象经过一点，先代入 y=kx 求出 k，得到解析式；再将选项中的点坐标代入验证，或利用 y/x=k 判断各点是否在同一直线上。③ 拓展关联：正比例函数是一次函数 y=kx+b 的特例，与第 22 题一次函数行程问题共同构成函数模块的基础内容；待定系数法是求函数解析式的
通法。
如图，在 Rt △ ??中，∠? = 90°，∠? = 60°，?? = 6．?的垂直平分线交?于点?，交?于点，则?
的长为（）
A．2B．3C．2D．4
3
3
命题透视
核心考点：垂直平分线性质与解直角三角形
命题分析：
情境创设：以直角三角形与垂直平分线为背景
问题设计：先求锐角，再由垂直平分线得等腰三角形，最后解直角三角形求线段长
考查目标：考查推理能力与几何直观
答案与解析
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠ = 30°，则? = 2?? = 12，根据题意可得∠? = 90°，? =
1 ? = 6，解直角三角形即可得到答案．
2
【详解】解：∵在 Rt △ ??中，∠? = 90°，∠? = 60°，
∴∠ = 90° − ∠? = 30°，
∴? = 2?? = 12；
∵?的垂直平分线交?于点?，交?于点，
∴∠? = 90°，? = 1 ? = 6，
2
∴? = ? ⋅ tan = 6 ⋅ tan30° = 2 3．
知识总结
第 6 题：① 核心概念：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；解直角三角形是利用锐角三角函数和勾股定理，由已知元素求未知元素。② 解题方法：先由直角三角形两锐角互余求锐角，再由垂直平分
线性质得到等腰三角形，最后利用 30°、45°、60°等特殊角的三角函数值求线段长。③ 拓展关联：垂直平分线常与等腰三角形、外心、轴对称等结合；解直角三角形是测量高度、距离等实际问题的核心工具（如第 21 题渭河测量）。
7．如图，正方形???和正方形?，点在?的延长线上．若 = 2?，则 tan∠?的值为（ ）
A．2B．1
2
C． 5
5
D．2 5
5
命题透视
核心考点：正方形性质与锐角三角函数
命题分析：
情境创设：以两个正方形拼接为背景
问题设计：设边长，利用正方形对角线性质和正切定义求比值
考查目标：考查几何直观与运算能力
答案与解析
【答案】B
【分析】设正方形???的边长为，则 = 2，利用正方形性质求出?、的长及∠? = 90°，在 Rt △ ?
中利用正切定义求解．
【详解】解：连接?，如图：
设? = ，
∵四边形???和?是正方形， = 2?，
∴?? = ? = ? = ?? = ， = = ? = ? = 2，∠? = ∠ = 90°，
∴? = ??2 + ?2 = 2， = 2 + 2 = 2 2，
∵?、分别是正方形???、?的对角线，
∴∠?? = 45°，∠? = 45°，
∴∠? = ∠?? + ∠? = 45° + 45° = 90°，
∴在 Rt △ ?中，tan∠? = ? =
2 22
2 = 1．
知识总结
第 7 题：① 核心概念：正方形四边相等、四角为 90°，对角线相等、互相垂直平分且平分一组对角；锐角三角函数包括正弦、余弦、正切，反映直角三角形中边角关系。② 解题方法：设正方形边长为参数，利用正方形对角线与边长的关系（对角线=边长×√2）求出相关线段，再在含目标角的直角三角形中用正切定义求比值。③ 拓展关联：正方形与等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形联系紧密，是几何综合题中常见的基本图形；三角函数值常转化为线段比进行计算。
某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度cm与水平距离?cm的关系可以表示为 =− 0.1?2 + 6?，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ）
A．9 cmB．30 cmC．90 cmD．360 cm
命题透视
核心考点：二次函数最值
命题分析：
情境创设：以鱼捕食射出水流为抛物线情境
问题设计：将二次函数解析式化为顶点式，求顶点纵坐标
考查目标：考查运算能力与模型观念
答案与解析
【答案】C
【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案．
【详解】解： =− 0.1?2 + 6? =− 0.1 ?2 − 60? =− 0.1 ? − 30 2 + 90，
∵−0.1 < 0，
∴当? = 30 时，y 有最大值，最大值为 90，
∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是 90 cm．
知识总结
第 8 题：① 核心概念：二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，当 a负数”；两个正数比较，绝对值大的数大；两个负数比较，绝对值大的反而小。② 解题方法：先判断各数的正负性，排除负数和 0；再对剩下的正数进行具体比较（如平方、估算、作差等），确定最大或最小数。③ 拓展关联：实数比较常与数轴、绝对值、无理数估算结合，是数感培养的基础，与第 1 题、第 15 题共同构成数与式模块的基础运算。
在一个几何体的主视图、左视图和俯视图中，至少有一个视图中存在圆，则这个几何体可以是
（写出一个符合题意的几何体即可）．
命题透视
核心考点：三视图的识别
命题分析：
情境创设：以几何体视图为背景
问题设计：球的三视图均为圆，满足至少有一个视图存在圆的要求
考查目标：考查空间观念
答案与解析
【答案】
球（答案不唯一）
【分析】本题要求找出三视图中至少有一个视图存在圆的几何体，结合常见几何体的三视图特征即可作答，答案不唯一．
【详解】解：常见几何体中，球的主视图、左视图、俯视图均为圆，满足“至少有一个视图中存在圆”的要求，
符合题意．因此这个几何体可以是球．
知识总结
第 10 题：① 核心概念：三视图包括主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看），是描述几何体形状的重要手段。② 解题方法：熟悉常见几何体（球、圆柱、圆锥、圆台、棱柱等）的三视图特征；球的三视图均为圆，圆柱的主视图和左视图是矩形、俯视图是圆，圆锥的主视图和左视图是三角形、俯视图是带圆心的圆。③ 拓展关联：三视图与展开图、立体图形的表面积和体积计算密切相关，是空间观念考查的重要形式。
某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了 480 元购买原材料，全部用于绘制秦腔
脸谱．他们把所绘制的秦腔脸谱以每个 25 元的价格全部售出，将共获得的 170 元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设．则他们绘制的秦腔脸谱的个数为．
命题透视
核心考点：一元一次方程的实际应用
命题分析：
情境创设：以秦腔脸谱绘制和乡村振兴为情境
问题设计：根据利润等于售价减去成本，设个数列方程求解
考查目标：考查模型观念与应用意识
答案与解析
【答案】26
【分析】根据“数量=（成本+利润）÷单价”列式求解即可．
【详解】解：480+170 = 26，
25
∴他们绘制的秦腔脸谱的个数为 26．
知识总结
第 11 题：① 核心概念：利润=售价-成本，或利润=单个利润×数量；一元一次方程是只含一个未知数且未知数次数为 1 的方程。② 解题方法：找等量关系（如总利润=单个利润×数量），设未知数（秦腔脸谱个数），根据题意列方程，解方程并检验答案是否符合实际意义。③ 拓展关联：一元一次方程应用是方程
与不等式模块的基础，与第 22 题一次函数建模、第 21 题解直角三角形测量共同体现数学建模素养。
如图，??为⊙ 的直径，点在⊙ 上，∠??的平分线交⊙ 于点?．若?? = 4，则?-?的长为．
命题透视
核心考点：弧长公式与圆周角定理
命题分析：
情境创设：以圆、直径、角平分线为背景
问题设计：连接半径，利用直径所对圆周角为直角、角平分线及弧长公式
考查目标：考查推理能力与运算能力
答案与解析
【答案】π
【分析】连接?，根据直径所对的圆周角是直角得到∠?? = 90°，由角平分线的定义和圆周角定理得到
∠?? = 90°，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接?，
∵??为⊙ 的直径，
∴∠?? = 90°，
∵∠??的平分线交⊙ 于点?，
∴∠?? = 1 ∠?? = 45°，
2
∴∠?? = 2∠?? = 90°，
∵?? = 4，
∴? = ? = 2，
∴?-?的长为90π×2 = π．
180
知识总结
第 12 题：① 核心概念：弧长公式 l=(nπr)/180（n 为圆心角度数，r 为半径）；直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等。② 解题方法：连接半径，利用直径所对圆周角为 90°构造直角三角形；由角平分线得到相等的圆周角，进而得到圆心角，最后代入弧长公式计算。③ 拓展关联：弧长与扇形面积、圆锥侧面展开、圆心角与圆周角关系密切，常与垂径定理、切线性质综合考查（如第 24 题）。
13．如图，矩形??的顶点?，分别在?轴，轴上，点?在第一象限，反比例函数 = 的图象经过矩形??
?
的对称中心?．若矩形??的面积为 12，则的值为．
命题透视
核心考点：反比例函数k 的几何意义
命题分析：
情境创设：以矩形与反比例函数图象为背景
问题设计：利用矩形对称中心在双曲线上，结合面积建立 k 与边长的关系
考查目标：考查运算能力与函数观念
答案与解析
【答案】3
【分析】设矩形边长，表示出对称中心 D 的坐标，利用点 D 在反比例函数图象上建立 k 与边长的关系，结合矩形面积求解．
【详解】解：设矩形??的边? = ， = ，
则点 B 的坐标为 , ，矩形?? = ? ⋅ = = 12，
∵点 D 是矩形??的对称中心，
∴点 D 是对角线?的中点，
∴点 D 的坐标为 , ，
2 2
∵反比例函数 = 的图象经过点 D，
?
∴ = ，
2
2
∴ = = 12 = 3．
44
知识总结
第 13 题：① 核心概念：反比例函数 y=k/x（k≠0）中，k 的几何意义是：过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形面积等于|k|。② 解题方法：设矩形边长，表示出对称中心（对角线交点）坐标；利用该点在双曲线上得到 xy=k，再结合矩形面积建立方程求解 k。③ 拓展关联：反比例函数 k 的几何意义常与矩形、三角形面积、相似三角形结合，是反比例函数综合题的核心切入点。
14．如图，在▱???中，∠? = 60°，?? = 4，? = 6．点为?的中点，连接?，将?绕点?逆时针旋转
60°至?，连接?，则△ ??的面积为．
命题透视
核心考点：旋转性质与面积计算
命题分析：
情境创设：以三角形旋转为背景
问题设计：利用旋转性质构造等边三角形和全等，解直角三角形求高，再算面积
考查目标：考查空间观念与推理能力
答案与解析
【答案】3 3
2
【分析】连接，延长到点?，使? = ??，连接?，过点作?的垂线，交?于点，交??于点，过点?作?? ⊥ ?交?于点?，根据旋转的性质得到△ ?为等边三角形，从而得到∠?? = ∠?，再证得
△ ?? ≌△ ?，得到对应边的长度，再解直角三角形求出??, 的长度，根据平行线间垂线段相等求出
的长度，从而算出△ ??的高进行求解．
【详解】解：如图所示，连接，延长到点?，使? = ??，连接?，过点作?的垂线，交?于点，交??于点，过点?作?? ⊥ ?交?于点?；
，
3 = 3 3．
22
2
2
∴△?? = 1 ?? ⋅ = 1 × 6 ×
3，
22
则 = − = 2 3 − 3 3 =
∵四边形???是平行四边形，?? ⊥ ?, ⊥ ?，
∴ = ?? = 2 3，?? = ? = 6，
??4
∴sin60° = ?? = ??，解得?? = 2 3，
在 Rt △ ???中，?? = 4, ∠? = 60°，
2
?3
∴sin60° = = ，解得 = 3 3，
∴在 Rt △ ?中，? = 3, ∠? = 60°，
2
∴? = ?? = 4, ? = ? = 1 ? = 3，
∵?绕点?逆时针旋转 60°至?，
∴? = ?, ∠? = 60°，
∴△ ?为等边三角形，
∴? = , ∠? = 60°，又∵∠? = 60°，
∴∠?? + ∠?? = 120°, ∠? + ∠?? = 120°，
∴∠?? = ∠?，
?? = ?
在△ ??和△ ?中， ∠?? = ∠? ，
? =
∴△ ?? ≌△ ? SAS ，
∴? = ?, ∠? = ∠? = 60°；
∵?? = 4，? = 6．点为?的中点，
知识总结
第 14 题：① 核心概念：旋转不改变图形的形状和大小，对应线段相等、对应角相等，对应点到旋转 中心的距离相等；旋转角相等。② 解题方法：利用旋转性质构造等边三角形和全等三角形，通过解直角三角形求出相关高和底，最后用三角形面积公式计算；常用辅助线包括连接旋转中心、延长构造等边三角形 等。③ 拓展关联：旋转与平移、轴对称、位似是初中几何变换的四大内容，常与等边三角形、全等、相似、
面积计算综合，是几何压轴题的常见设问方式。
三、解答题
计算： −32 +
0
1
4
2
−
× 8．
命题透视
核心考点：实数混合运算
命题分析：
情境创设：以基础计算为背景
问题设计：按运算顺序进行乘方、开方、乘除、加减运算
考查目标：考查运算能力
答案与解析
【答案】6
【详解】解： −3 2 +
1 0 −
4
2 × 8
= 9 + 1 − 4
= 6．
知识总结
2
?+3
第 15 题：① 核心概念：实数混合运算包括有理数的加减、乘除、乘方、开方及绝对值，运算顺序为 “先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”。② 解题方法：分步计算，先乘方开方，再乘除，最后加减；注意符号法则、绝对值化简、根式运算；写出“解：原式=”等规范格式。③ 拓展关联：作为 解答题第一题，实数运算考查计算基本功，是后续方程、不等式、函数计算的前提。
化简：
+
?2−2?+1．
1
?−3
÷
?2−9
命题透视
核心考点：分式的化简
命题分析：
情境创设：以分式运算为背景
问题设计：通分、约分，按分式加减乘除法则化简
考查目标：考查运算能力
答案与解析
?−1
= 3 ．
? − 1 2
3 ? − 1⋅ ? + 3 ? − 3
? + 3 ? − 3
=
? − 1 2
3? − 3
? + 3 ? − 3 ÷ ? + 3 ? − 3
=
÷?2 − 9
? + 3 ? − 3
2? − 6 + ? + 3?2 − 2? + 1
=
2
÷ ? − 2? + 1
?2 − 9
? + 3
2 ? − 3
? + 3 ? − 3 + ? + 3 ? − 3
=
21÷ ?2−2?+1
?+3?−3?2−9
【详解】解：+
?−1
【答案】 3
知识总结
第 16 题：① 核心概念：分式是形如 A/B（B≠0）的代数式，其中 A、B 为整式；分式化简通过因式分解、约分、通分等运算化为最简形式。② 解题方法：先将分子分母因式分解，确定最简公分母进行通分，按同分母分式加减法则合并，最后约分化为最简分式；注意分母不为零的隐含条件。③ 拓展关联：分式化简与分式方程、分式求值、二次根式化简共同构成代数运算的核心内容，是分式方程求解的基础。
? − 2 < 3
解不等式组： 3?+1 > ?−1
42
命题透视
核心考点：一元一次不等式组的解法
命题分析：
情境创设：以不等式组求解为背景
问题设计：分别求每个不等式的解集，再取公共部分
考查目标：考查运算能力
答案与解析
【答案】−3 < ? < 5
? − 2 < 3①
【详解】解： 3?+1 > ?−1 ②
4
2
解不等式①得? < 5，解不等式②得? >− 3，
∴原不等式组的解集为−3 < ? < 5．
知识总结
第 17 题：① 核心概念：由几个一元一次不等式组成的不等式组，其解集是各不等式解集的公共部分；可用数轴表示解集。② 解题方法：分别求出每个不等式的解集，再在数轴上找公共部分；口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”可辅助判断。③ 拓展关联：不等式组与一元一次方程、一次函数、方案选择问题联系密切，是不等式应用的基础。
如图，已知△ ??，?? = ?．请用尺规作图法，求作一点?，使得四边形???为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
命题透视
核心考点：尺规作图与菱形判定
命题分析：
情境创设：以格点或线段为背景作菱形
问题设计：以 A、B 为圆心，AB 为半径作弧，交点 P 使四边形 APBQ 四边相等
考查目标：考查几何直观与操作能力
答案与解析
【答案】如图，点?即为所求．
【分析】由作图可得，?? = ? = ?? = ?，则四边形???是菱形
【详解】解：分别以点?, 为圆心，??长为半径作弧，两弧在?右侧相交，交点即为点?．
知识总结
第 18 题：① 核心概念：菱形是四边相等的平行四边形；四条边相等的四边形是菱形。尺规作图是用无刻度直尺和圆规进行几何作图。② 解题方法：以已知线段 AB 为边，分别以 A、B 为圆心、AB 长为半径画弧，交点 P 使 AP=BP=AB，从而保证四边形 APBQ 四边相等。③ 拓展关联：尺规作图常与垂直平分线、角平分线、等腰三角形、菱形、正方形等知识结合，是几何操作与推理能力的重要考查形式。
如图，△ ??为等边三角形，点?在?的延长线上， ∥ ??， = ??．求证：△ ??? ≌△ ?．
命题透视
核心考点：等边三角形与平行线性质
命题分析：
情境创设：以等边三角形和延长线为背景
问题设计：利用等边三角形内角为 60 度，结合平行线性质和外角定理证明角相等
考查目标：考查推理能力
答案与解析
【答案】证明：∵△ ??为等边三角形，
∴?? = ?，∠? = ∠?? = 60°
∵ ∥ ??
∴∠? = ∠?? = 60°
∴∠? = ∠?
∵ = ??
∴△ ??? ≌△ ? SAS ．
【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，?? = ?，∠? = ∠?，再由 = ??，结合 SAS
即可证明．
【详解】略
知识总结
第 19 题：① 核心概念：等边三角形三边相等、三角均为 60°；平行线性质包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。② 解题方法：利用等边三角形内角为 60°，结合平行线性质转化角，再利用外角定理或等量代换证明角相等；几何证明需写明每一步依据。③ 拓展关联：等边三角形与平行线、全等三角形、相似三角形是几何证明的基础组合，常与旋转、折叠等变换综合。
某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上 A，B，C，D（字母 A，B，C，D 分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书．
将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为；
将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率．
命题透视
核心考点：概率计算
命题分析：
情境创设：以读书分享会摸球为背景
问题设计：第一问直接用概率公式，第二问用列表或画树状图求至少一人分享指定书的概率
考查目标：考查数据观念与推理能力
答案与解析
【答案】(1)1
4
(2) 7
16
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能的结果，再得出小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同，
∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为1；
4
（2）解：列表如下：
由表格可知，一共有 16 种等可能的结果，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》
的结果有 7 种，
∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为 7 ．
16
知识总结
第 20 题：① 核心概念：概率 P(A)=事件 A 发生的结果数/所有等可能结果总数；列表法和树状图是枚举两步或两步以上试验结果的工具。② 解题方法：第一问直接用概率公式；第二问用列表或画树状图列出所有等可能结果，再用“至少有一位”可通过“1-两位都没有”或直接枚举符合条件的 7 种结果。③ 拓展关联：概率与统计图表、频率估计概率、游戏公平性等共同构成统计与概率模块，与生活决策（抽奖、风险估计）密切相关。
活动主题
测量渭河某段河道的宽度
活动方案
方案一
方案二
测量示意图
渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达 502 km．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：
小慧小智
A
B
C
D
A
A,A
B,A
C,A
D,A
B
A,B
B,B
C,B
D,B
C
A,C
B,C
C,C
D,C
D
A,D
B,D
C,D
D,D
请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点?到?的距离）．
命题透视
核心考点：解直角三角形的实际应用
命题分析：
情境创设：以渭河河道测量为综合实践活动背景
问题设计：选择方案一可构造两个直角三角形，利用正弦、正切求河道宽度；选择方案二可利用相似三角形对应高之比求解
考查目标：考查应用意识与模型观念
答案与解析
【答案】这段河道的宽度为 80m
【分析】方案一：过点?作? ⊥ ?于点，解 Rt △ ??和 Rt △ ?求解即可；方案二：过点?作?? ⊥ ?
于点?，交?于点，可得△ ?? ∽△ ??，根据相似三角形的相似比等于对应高之比求解即可．
测量过程
在河道一侧的岸边选取两个观测点?，；
测量∠??，∠??的度数；
测量?，两点之间的距离．
在河道一侧的岸边选取两个观测点?，，分别在??，?的延长线上选取点?，，使得? ∥ ?； 2．测量?，两点之间的距离，?，
两点之间的距离，?与?之间
的距离ℎ．
测量数据
∠?? = 45°，∠?? = 63.4°，
? = 120 m．
? = 120 m，? = 150 m，ℎ = 20 m．
备注
点?是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点；
图中所有点均在同一平面内；
参考数据：sin63.4° ≈ 0.89，cs63.4° ≈ 0.45，tan63.4° ≈ 2.00．
∴? = 100 − 20 = 80m
答：这段河道的宽度为 80m．
150??
∴120 = ??−20，解得?? = 100m
∵? = 120m，? = 150m，ℎ = ? = 20m
???
∴? = ?
∵? ∥ ?
∴△ ?? ∽△ ??，? ⊥ ?
∴这段河道的宽度为 80m；
方案二：过点?作?? ⊥ ?于点?，交?于点，
2
∴? + 1 ? = 120，解得? = 80m
∵? + = ?，? = 120m
= ?，
tan∠??2
?
在 Rt △ ?中， =
∵∠?? = 45°，∠?? = 63.4°
∴在 Rt △ ??中，? = ? × tan∠?? = ?，
【详解】解：方案一：过点?作? ⊥ ?于点，
知识总结
第 21 题：① 核心概念：解直角三角形是利用已知边和角（至少一条边），利用三角函数和勾股定理求其他边和角；相似三角形对应边成比例、对应高之比等于相似比。② 解题方法：方案一：构造含已知角的直角三角形，用正弦、正切求河道宽度；方案二：利用相似三角形对应高之比等于相似比建立方程求解。注意实际问题中单位统一和答语完整。③ 拓展关联：解直角三角形与相似三角形是测量不可直接到达距离的核心方法，广泛应用于高度测量、宽度测量、航海定位、工程勘测等领域。
在人形机器人半程马拉松比赛前，运动员和人形机器人在并行的直线型赛道上进行了“人机共跑测试”．测试赛道总长为 800 m，运动员和机器人均从赛道起点出发，匀速前行，到达终点后停止．机器人出发 1 min后运动员才出发，运动员出发 1 min 后追上机器人．如图，1，2分别表示运动员、机器人距起点的距离 m与时间?min之间的关系．
求1对应的函数表达式；
求当运动员到达终点时，机器人距终点的距离．
命题透视
核心考点：一次函数与行程问题
命题分析：
情境创设：以人机共跑测试为科技情境
问题设计：由机器人速度及追及条件确定交点，用待定系数法求一次函数表达式，再求到达时间
考查目标：考查模型观念与运算能力
答案与解析
【答案】(1) = 200? − 200 1 ≤ ? ≤ 5
(2)300m
【分析】（1）先求出1，2的交点为 2,200 ，再由待定系数法求解1对应的函数表达式；
（2）可求运动员在第 5min 时到达终点，然后求出机器人行驶的路程，即可求解机器人距终点的距离．
【详解】（1）解：由题意得，机器人的速度为 800 ÷ 8 = 100m/min，
由题意得，运动员 2min 时追上机器人，此时机器人跑了 100 × 2 = 200m
∴1，2的交点为 2,200
设1对应的函数表达式为 = ? + ，代入点 1,0 ， 2,200 ，
则
+ = 0 2 + = 200
解得
= 200
=− 200
∴ = 200? − 200，当 = 800 时，则 200? − 200 = 800，解得? = 5，
∴1对应的函数表达式为 = 200? − 200 1 ≤ ? ≤ 5 ；
（2）解：对于 = 200? − 200，当 = 800 时，则 200? − 200 = 800，
解得? = 5，
∴800 − 100 × 5 = 300m
∴当运动员到达终点时，机器人距终点的距离为 300m．
知识总结
第 22 题：① 核心概念：一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，k 表示变化率（速度），b 表示初始值；行程问题中路程=速度×时间。② 解题方法：从图象中读取关键点（如追上点、终点），用待定系数法求函数解析式；分析两条直线的交点（相遇）和到达时间，注意时间轴上的起点差异。③ 拓展关联：一次函数建模与正比例函数、方程、不等式联系紧密，是解决行程、工程、费用等实际问题的基本工具，体现模型观念。
项
成绩频数分布（?表示成绩）
成绩数据分析
目年级
60 ≤ ? < 70
70 ≤ ? < 80
80 ≤ ? < 90
90 ≤ ?
≤ 100
平均数
方差
七年级
10
16
10
14
80.3
138.5
八年
9
13
17
11
80.3
148.7
为深入落实“健康第一”教育理念，某校在七、八年级中开展科学健身技能竞赛．竞赛结束后，分别从七、八年级竞赛成绩（单位：分，满分 100 分，均不低于 60 分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行了整理分析，绘制了如下统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
若将所抽取的七年级的成绩分布情况制作成扇形统计图，则“60 ≤ ? < 70”对应的扇形的圆心角度数为
；
对于所抽取的七、八年级的成绩，中位数落在“80 ≤ ? < 90”内的是年级，更为整齐的是
年级；
学校决定对本次竞赛成绩 90 分及以上的学生进行奖励，七、八年级分别有 500 名和 600 名学生参加竞赛，请估计本次竞赛中这两个年级获奖的总人数．
命题透视
核心考点：统计图表分析
命题分析：
情境创设：以七、八年级健身竞赛为情境
问题设计：用频数除以总数再乘 360 度求圆心角，定位中位数所在区间，比较方差判断整齐度，用样本比例估计总体获奖人数
考查目标：考查数据观念与应用意识
答案与解析
【答案】(1)72°
八；七
272 人
【分析】本题考查频数分布表、扇形圆心角、中位数、方差、用样本估计总体的统计知识，解题关键是先算出各年级抽样总人数，再结合对应统计公式分步计算、对比分析．
求出七年级抽样总人数，用对应组频数除以总人数再乘 360°得到扇形圆心角；
分别累加两组频数定位中位数所在区间，依据方差越小数据越整齐判断整齐年级；
先算出样本中 90 分及以上人数占比，再分别乘对应年级总参赛人数，相加得到获奖总人数估计值．
【详解】（1）解：10 + 16 + 10 + 14 = 50 (人)
圆心角度数公式∶ 该组频数 × 360°
总人数
∴ 10 × 360° = 72°
50
级
（2）七年级总人数 50，中位数是第 25、26 个数；
累计∶ 10 (60 ≤ ? < 70) + 16 (70 ≤ ? < 80) = 26 ，第 25、26 落在 70 ≤ ? < 80；
八年级总人数∶ 9 + 13 + 17 + 11 = 50，中位数是第 25、26 个数；
累计∶ 9 + 13 = 22，前两组只有 22 个，第 25、26 落在 80 ≤ ? < 90．
方差越小，数据越整齐∶ 七年级方差 138.5 0；②2 − 4 > 0；③当? = 1 时，有最小值为−4；④当? > 0 时，的值随?值的增大而增大
若将该二次函数的图象沿轴向下平移 6 个单位长度，交?轴于?，?两点，求??的长．
命题透视
核心考点：二次函数图象与性质
命题分析：
情境创设：以二次函数表格为背景
问题设计：描点连线作图，根据开口方向、交点、最值、增减性判断，平移后令 y 等于 0 求交点并用两点距离公式
考查目标：考查运算能力与函数观念
答案与解析
【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求：
(2)①②③
(3)2 10
【分析】（1）先描点，再连线即可作图象；
（2）根据函数图象分析即可；
（3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令 = 0，求出其与?轴的两个交点坐标，即可求解??．
【详解】（1）略
解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故 > 0，①正确；抛物线与?轴有两个交点，故2 − 4 > 0，②正确；
由图象可得，当? = 1 时，有最小值为−4，③正确；
由图象可得，当? > 1 时，的值随?值的增大而增大，④错误，
∴正确的有①②③；
解：根据函数图象可得，顶点坐标为 1, − 4 ，故设表达式为 = ? − 1 2 − 4
将点 0, − 3 代入得， − 4 =− 3，
解得 = 1
∴抛物线表达式为 = ? − 1 2 − 4
∴沿轴向下平移 6 个单位长度后的抛物线表达式为 = ? − 1 2 − 4 − 6，即为 = ? − 1 2 − 10，
令 = 0，则 ? − 1 2 − 10 = 0
解得?1 = 10 + 1, ?2 =− 10 + 1
∴抛物线 = ? − 1 2 − 10 与?轴的交点为 10 + 1,0 , − 10 + 1,0 ，
∴?? = 10 + 1 − − 10 + 1 = 2 10．
知识总结
第 25 题：① 核心概念：二次函数 y=ax²+bx+c 的图象是抛物线，a 决定开口方向，对称轴 x=-b/(2a)，顶点坐标；平移规律“上加下减、左加右减”。② 解题方法：先根据表格描点、连线作图；结合开口方向、与 x 轴交点、顶点、增减性判断四个结论；平移后令 y=0 求与 x 轴交点，再用两点距离公式求 AB 长。③ 拓展关联：二次函数与一元二次方程、不等式、几何图形（如面积、线段最值）联系密切，是函数模块的核 心与压轴载体。
26．问题探究
如图①，??是△ ??的角平分线，若△???: △?? = 3: 2，则??: ?的值为；
如图②，在△ ??中，?? = ?，∠?? = 80°，点?，在边?上．若? ⋅ ? = ??2，求∠??的度数；问题解决
为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．
如图③所示，四边形???区域为农田，?，??为小路，小路的出口?，分别在农田边界??，?上，?与??相交于点，点为蓄水池，点?为水源接入口，?为地下输水管道．根据种植需求，△ ???区域与
△ ??区域的面积之比为 25: 36，为了节约成本，还需使地下输水管道?最短．
已知?? ∥ ?，?? ⊥ ?，?? = 400 m，?? = 480 m，? = 720 m，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道?最短时，四边形??区域的面积．（结果精确到 1 m2．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计）
命题透视
核心考点：几何综合探究与最短路径
命题分析：
情境创设：以角平分线、旋转和农田小路规划为综合实践背景
问题设计：利用角平分线性质和面积比，构造全等、等腰三角形求角度；证明三角形相似，利用轨迹圆和三点共线求最短路径，再求面积
考查目标：考查创新意识、推理能力、几何直观和模型观念
答案与解析
【答案】(1)3
2
(2)50° (3)155077m2
【分析】（1）过点?作? ⊥ ??, ?? ⊥ ?，垂足为点, ?，根据角平分线性质定理得到? = ??，再由三角
形面积公式求解即可；
证明△ ?? ∽△ ??，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；
先证明△ ??? ∽△ ??，得到∠?? = 90°，取??的中点，连接, ?，则? = 1 ?? = 200，则点
2
的轨迹为以为圆心，??为直径的一段圆弧， = ? = 200，故当点?, , 三点共线时，?取得最小
值，过点作 ⊥ ??交??, ?于点, ?，然后由△ ? ∽△ ?，求出? = 320， = 2400，再证明四
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边形??是平行四边形，最后由四边形?? = ▱?? − △??求解．
【详解】（1）解：过点?作? ⊥ ??, ?? ⊥ ?，垂足为点, ?，
∵??是△ ??的角平分线，
∴? = ??
1×??×?3
∴ △??? = 2 =
2
△??1×?×??2
∴?? = 3；
?2
（2）解：∵∠?? = 80°, ?? = ?
∴∠? = ∠ = 180°−∠?? = 50°
2
∵? ⋅ ? = ??2，
∴? ⋅ ? = ?? ⋅ ?，
∴? = ??，
??
∴△ ?? ∽△ ??
∴∠?? = ∠??
∴∠?? − ∠? = ∠?? − ∠?
∴∠ = ∠?? = 50°；
（3）解：∵?? ⊥ ?，
∴∠?? = 90°
∵?? ∥ ?
∴∠??? = 180° − ∠?? = 90°，
1??×??
400??25
∴ △??? = 2 ==，
2
△??1??×?480?36
∴?? = 5
?6
∵?? = 400 = 5
??4806
∴?? = ??
???
∵∠??? = ∠?? = 90°
∴△ ??? ∽△ ??
∴∠??? = ∠??
∴∠??? + ∠?? = ∠?? + ∠?? = ∠??? = 90°
∴∠?? = 90°
取??的中点，连接, ?，则? = 1 ?? = 200
2
∴点的轨迹为以为圆心，??为直径的一段圆弧， = ? = 200，
∵? + ≥ ?，
∴? ≥ ? − ，
∴当点?, , 三点共线时，?取得最小值，如图：
过点作 ⊥ ??交??, ?于点, ?，
∵∠??? = 90°
∴? = ?2 + ??2 = 2002 + 4802 = 520，
∴此时? = ? − = 520 − 200 = 320，
答：当地下输水管道?最短时，四边形??区域的面积为155077m2．
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13
2
= 400 × 480 − 1 × 400 × 2400 = 2016000 ≈ 155077m2，
∴? = ? − ? = 720 − 320 = 400 = ??
∵?? ∥ ?
∴四边形??是平行四边形，
∴四边形?? = ▱?? − △??
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∴? = 320， = 2400
?320480−
∴200 = 200 =
???
∴? = = ，
∵?? ∥ ?， ⊥ ??
∴? ⊥ ?
∴四边形???是矩形，
∴? = ?? = 480，
∵?? ∥ ?，
∴△ ? ∽△ ?，
知识总结
第 26 题：① 核心概念：角平分线上的点到角两边距离相等；旋转不改变图形大小和形状；点到直线 的最短距离是垂线段；点的轨迹是在满足特定条件下的路径，最短路径常利用“垂线段最短”或“两点之 间线段最短”。② 解题方法：利用角平分线性质和面积比得到边长关系；通过旋转构造全等、等腰三角形；利用轨迹圆和三点共线确定最短路径位置；最后结合平行四边形性质和面积公式求解。③ 拓展关联：几何综合探究题融合角平分线、旋转、最短路径、面积计算等多个知识点，是中考压轴题的主要形式，强调创 新意识、推理能力和几何直观。