2026年中考数学真题完全解读（河北卷）

这是一份2026年中考数学真题完全解读（河北卷），共9页。

试题分析
2026 年河北省中考数学试卷总分 120 分，考试时间 120 分钟，共设 24 题，题型包括选择题（12 题，
36 分)、填空题（4 题，12 分)和解答题（8 题，72 分) 。全卷立足课标、回归教材，注重基础性与综合性并 重，在保持稳定结构的同时，突出了对数学核心素养和关键能力的考查。试卷覆盖了数与式、方程与不等式、函数、图形的性质、图形的变化、统计与概率等全部主干知识模块，其中函数与几何综合题占据较大分值，体现了中考数学‘重基础、强综合、显应用’的命题导向。选择题第 1 至 8 题侧重基础概念和基本运算，第 9
至 12 题开始融入几何直观与数形结合；填空题第 13 至 16 题考查基本技能，第 16 题以旅游路线方案设计
为载体，渗透了优化思想；解答题第 17 至 19 题分别考查方程不等式、乘法公式和尺规作图与相似，难度
适中；第 20 题以家务劳动时长统计为背景，考查数据分析观念；第 21 题融合数学文化（会圆术），体现
了河北卷对传统文化的关注；第 22 题以登山模型考查一次函数应用；第 23 题二次函数综合题和第 24 题几何综合题作为压轴题，区分度明显。整体而言，本卷注重思维过程考查，强调在真实情境中运用数学知识分析和解决问题的能力。
试题亮点
河北文化情境与数学建模深度融合，彰显地方卷育人底色：第 4 题以河北博物院藏‘错金铜博山炉’为素材考
查三视图，将地方文物资源与空间几何知识有机结合；第 21 题引入北宋沈括《梦溪笔谈》中的‘会圆术’， 以学校铅球场地为实践场景，考查弧长计算和数学文化理解，体现了河北卷立足本土、传承文化的命题特色。
这类题目不仅考查了学生的空间观念和数学建模能力，也增强了试卷的文化厚度和地域辨识度。
真实情境贯穿全卷，应用意识考查常态化：第 5 题以美术课调配颜料为背景考查比和比例，第 16 题以游客
旅游路线选择为载体考查方案优化与最短路径，第 20 题以‘家长家务劳动时长’调查活动为背景考查统计图
表分析与平均数计算，第 22 题以登山爱好者预估用时模型为背景考查一次函数的实际应用。这些题目均来源于现实生活，要求学生从具体情境中提取数学信息、建立数学模型并求解，体现了‘数学源于生活、服务于生活’的课程理念，也反映了河北卷在真实情境命题上的持续深化。
压轴题思维含量提升，几何与函数综合仍是区分核心：第 23 题以二次函数 y=(x−t)(x−3t)为载体，综合考查
坐标系中的旋转、对称、最值等问题，涉及分类讨论和参数思想，对学生的数形结合和代数推理能力提出了较高要求；第 24 题在等腰三角形中动态变化正方形，考查相似、全等、勾股定理和动点问题，第(4)问以
‘点G 移动 1 个单位时点 E 移动 d 个单位’为设问，将几何直观与代数运算深度融合。两道题均注重思维过程而非机械计算，有效区分了不同层次学生的数学素养。
命题趋势
地方文化情境持续入题，传统文化与学科育人双线并进：河北卷近年持续将地方文化、传统科技融入数学试题，如 2026 年第 4 题河北博物院文物、第 21 题北宋‘会圆术’。预计未来几年，以河北本土文物、历史名迹、科技成就为背景的试题将继续保持，且情境与知识点的结合将更加紧密，不仅考查知识本身，更考查学生在文化情境中理解和应用数学的能力。
真实情境应用题占比稳中有升，模型观念和应用意识考查将进一步强化：本卷第 5 、16 、20 、22 题均设置了生活化情境，从美术调配颜料到登山用时模型，涵盖了比例、优化、统计、函数等多个知识领域。未来命题将继续从学生熟悉的生活场景、社会热点和地方产业中选取素材，引导学生经历‘发现问题—建立模型
—求解验证—反思优化’的完整过程，强化数学建模和应用意识的核心素养考查。
基础题‘送分到位’但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：本卷选择题前 8 题和填空题前 3 题总体难度不高，但第 2 题以‘点 P 在直线 AB 外’的图形为背景考查邻补角，需要学生准确识别图形关系；第 6 题分式化简虽然计算量不大，但涉及因式分解和通分技巧，要求学生真正理解分式运算的本质而非死记步骤。未来命题将继续以基础题为基本盘，但通过图形识别、概念辨析和‘反套路’设计，检验学生是否真正理解数学概念的本质。
函数与几何综合仍是压轴主流，动态探究和参数讨论要求更高：本卷第 23 题二次函数综合和第 24 题几何动态综合延续了河北卷压轴题的传统风格，涉及参数t 的讨论、动点轨迹分析、最值求解等高阶思维。预计未来河北卷将继续以函数图像性质与几何变换综合为压轴方向，强化数形结合、分类讨论和从特殊到一般的探究路径，思维过程考查将继续成为顶尖区分度的重要载体。
考点细目表
题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
单选
3
数与式→整式→合并同类项
运算能力
2
单选
3
图形的性质→相交线与平行线→邻补角
几何直观
3
单选
3
数与式→二次根式→二次根式的乘法
运算能力
4
单选
3
图形的变化→投影与视图
→三视图
空间观念
5
单选
3
数与式→ 比和比例→ 比例的应用
数据观念
6
单选
3
数与式→分式→分式的加减
运算能力
7
单选
3
图形的性质→ 四边形→正方形与矩形的周长
几何直观、运算能力
8
单选
3
统计与概率→概率→古典概型
数据分析
9
单选
3
图形的变化→ 图形的翻折
→相似三角形的判定与性
质
推理能力、几何直观
10
单选
3
图形的性质→圆→圆心
角、圆周角、圆内接四边形
推理能力
11
单选
3
函数→反比例函数→反比例函数的图象与性质
推理能力
12
单选
3
函数→一次函数→一次函数与面积
推理能力、运算能力
13
填空
3
数与式→有理数→有理数的减法
运算能力
14
填空
3
图形的性质→平行四边形
→平行四边形的判定与性
质、解直角三角形
推理能力、运算能力
15
填空
3
方程与不等式→一元二次方程→根与系数的关系
运算能力、推理能力
16
填空
3
综合与实践→方案设计→最短路径与方案优化
模型观念、推理能力
17
解答
7
方程与不等式→一元一次
方程、一元一次不等式→解一元一次方程与不等式
运算能力
18
解答
8
数与式→乘法公式→平方差公式的应用
运算能力
19
解答
8
图形的性质→三角形→尺
规作图、相似三角形的判定与性质
推理能力、几何直观
20
解答
8
统计与概率→统计→频数
分布直方图、平均数、样本代表性
数据观念
21
解答
9
综合与实践→ 圆的综合→
弧长公式、数学文化（会圆术）
模型观念、应用意识
22
解答
9
函数→一次函数→一次函数的实际应用
模型观念、应用意识
23
解答
11
函数→二次函数→二次函 数综合（旋转、对称、最值）
推理能力、运算能力
24
解答
12
综合与实践→几何综合→
正方形、相似、全等、动点
推理能力、几何直观
考点模块占比分析
数与式模块（约 19%，23 分）：重点考查整式加减、二次根式运算、分式化简、乘法公式及有理数运算等基础代数内容，对应第 1、3、5、6、13、18 题。
函数模块（约22%，26 分）：重点考查一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质及综合应用，对应第 11、
12、22、23 题。
图形的性质模块（约 17%，20 分）：重点考查三角形、四边形、圆等几何图形的性质与推理，对应第 2、7、 10、14、19 题。
图形的变化与综合实践模块（约 25%，30 分）：重点考查投影与视图、图形的翻折与相似、方案设计、弧长计算及几何综合探究，对应第 4 、9、16、21、24 题。
统计与概率模块（约 9%，11 分）：重点考查概率计算、统计图表分析与平均数，对应第 8、20 题。
核心复习策略
回归教材，夯实基础概念与运算技能
优先巩固数与式、方程不等式、函数图象等核心概念，做到概念清晰、运算准确、表达规范。选择题和填空题的前半部分占分较多，基础扎实即可稳定得分。
重视课本例题和课后习题的变式训练，尤其是整式运算、分式化简、解方程不等式、二次根式运算等高频考点，确保基本计算不丢分。
专题突破几何与函数综合，建立解题模型
针对图形的变化（翻折、旋转、平移）和相似全等专题，归纳常见辅助线作法（如作高、作平行线、构造全等三角形），建立‘条件—模型—结论’的关联路径。
对函数综合题（尤其是二次函数），重点训练待定系数法、数形结合、分类讨论和最值分析，掌握参数问题的处理策略。
强化真实情境题训练，提升数学建模与应用意识
多关注以生活实际、传统文化、地方特色为背景的统计与概率、方案设计、函数应用题，培养从情境中提取信息、建立模型、求解验证的能力。
注重规范表达和步骤完整性，尤其是解答题要写出关键依据（如定理、公式、性质），避免因步骤缺失或表述不清而失分。
问题
避坑提醒（考试最易踩的雷）
×运算符号出错：分式化简和根式运算中，符号处理（负号、括号）是常见失分点，建议分步书写、及时检验。
×忽视题目条件限制：如第 15 题求 m 的值后忘记验证判别式；第 23 题分类讨论时忽略参数 t 的取值范围。
×几何证明跳步漏条件：相似、全等三角形的判定条件要一一对应，避免‘想当然’地跳过关键步骤。
×统计题忽略样本代表性：第 20 题分析原因时要指出样本特殊性（学生家长的劳动时长），不能泛泛而谈。
单选题
计算： ()
A．B．C．D．
命题透视
核心考点：合并同类项
命题分析：
情境创设：以代数式化简为背景，直接考查同类项的识别与合并运算。
问题设计：（1）情境创设：直接给出代数式a+a+b+b，不设生活情境，回归代数运算本质；（2）问题设计：要求将同类项合并，选项设置包含 2ab、2a+2b 等易混淆项；（3）考查目标：考查学生 对同类项概念的理解和基本代数运算能力。
考查目标：考查运算能力和代数符号意识，要求学生准确识别同类项并正确合并。
答案与解析
【答案】B
【详解】解：
．
知识总结
①核心概念：同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，系数相加，
字母及指数不变。②解题方法：直接合并a 的系数得 2a，合并b 的系数得 2b，结果为 2a+2b。③拓展关联：合并同类项是整式加减运算的基础，后续学习整式乘除、因式分解时均需熟练运用。
2 ．如图，点 P 在直线外，点 C 是直线上的动点，则与的关系一定成立的是 ()
B．
C．D．
命题透视
核心考点：邻补角（平角）
命题分析：
情境创设：以点P 在直线 AB 外、点 C 在直线 AB 上为背景，考查角的位置关系。
问题设计：（1）情境创设：以简单的几何图形为背景，突出对基本图形中角关系的识别；（2）问题设计：通过图形给出∠1和∠2，要求判断它们之间的数量关系；（3）考查目标：考查学生对 邻补角、平角概念的理解和几何直观能力。
考查目标：考查几何直观和推理能力，要求学生能从图形中发现∠1+∠2=180 ° 的关系。
答案与解析
【答案】D
【详解】解： 点 是直线上的点，
是平角，即
，
由图可知，与组成了平角
，
.
知识总结
①核心概念：如果两个角有一条公共边，且另一边互为反向延长线，则这两个角互为邻补角，和为 180
° 。②解题方法：点 C 在直线 AB 上，则∠ACB 为平角， ∠1 与∠2 组成平角，故∠1+∠2=180° 。③拓展关联：邻补角是研究相交线、平行线性质的基础，后续学习平行线的性质与判定时常需利用邻补角关系。
3 ．计算： ()
A．B．C．D ．
命题透视
核心考点：二次根式的乘法
命题分析：
情境创设：直接给出根式乘法算式，考查二次根式乘法法则。
问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境，回归运算本质；（2）问题设计：计算 √30× √ (1/6)，选项设计包含 √5、5、5 √6、6 √5 等，考查学生对根式运算法则的掌握；（3）考查目标：考查二次根式乘法运算和化简能力。
考查目标：考查运算能力，要求学生熟练运用 √a · √b= √ (ab)（a≥0,b≥0）进行计算。
答案与解析
【答案】A
【详解】解：
．
知识总结
①核心概念：二次根式乘法法则√a · √b= √ (ab)（a≥0,b≥0）。②解题方法： √30× √ (1/6)= √ (30
×1/6)= √5。③拓展关联：二次根式乘除是实数运算的重要组成部分，与分母有理化、根式化简密切相关。
河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图 1 所示）是汉代颇具代表性的香薰器物．将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图 2 所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是 ()
A．三角形B ．矩形C．半圆D．菱形
命题透视
核心考点：三视图
命题分析：
情境创设：以河北博物院藏‘错金铜博山炉’为素材，将其近似为由圆锥、半球和圆柱组成的几何体，考查主视图。
问题设计：（1）情境创设：将河北地方文物资源融入试题，增强文化认同感；（2）问题设计：判断主视图中没有出现的图形，需要分别分析圆锥、半球、圆柱的主视图；（3）考查目标：考查 空间观念和三视图知识。
考查目标：考查空间观念和几何直观能力，要求学生能准确判断简单组合体的三视图。
答案与解析
【答案】D
【分析】根据三视图的定义，分别分析圆锥、半球、圆柱的主视图形状，即可得出结论．
【详解】解：该几何体上部是圆锥，中部是半球，下部是圆柱
∴ 圆锥的主视图是三角形，半球的主视图是半圆，圆柱的主视图是矩形
∴ 这个几何体的主视图中出现的图形有三角形、半圆、矩形，没有菱形．
知识总结
①核心概念：主视图是从前向后观察物体所得的视图。圆锥的主视图是三角形，半球的主视图是半圆，圆柱的主视图是矩形。②解题方法：分别判断三种几何体的主视图，然后找出未出现的图形。③拓展关联：三视图是空间几何体与平面图形之间的桥梁，是培养空间观念的重要载体。
5 ．嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于
()
①类B．②类C．③类D．④类
命题透视
核心考点：比和比例的应用
命题分析：
情境创设：以美术课调配颜料为背景，给出红色和黄色颜料的质量，要求判断调配出的颜色类别。
问题设计：（1）情境创设：美术课调配颜料，贴近学生生活；（2）问题设计：先计算红色颜
料占比，再结合数轴上的分类范围判断类别；（3）考查目标：考查比例计算和数据观念。
考查目标：考查数据观念和运算能力，要求学生能正确计算比例并结合分类标准进行判断。
【答案】C
【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断．
【详解】解：∵ 红色颜料质量为，黄色颜料质量为
∴ 调配出的颜料总质量为
∴ 红色颜料的占比为
∵
∴ 该颜色属于③类 ．
答案与解析
知识总结
①核心概念：比例=部分量÷总量×100%。②解题方法：红色颜料质量 6g，黄色颜料 4g，总质量 10g，红色占比60%，结合分类范围判断为③类。③拓展关联：比例应用广泛存在于化学配比、地图比例尺、统计图表等领域。
计算： ()
A．B．C．D．
命题透视
核心考点：分式的加减
命题分析：
情境创设：直接给出分式减法算式，考查分式化简能力。
问题设计：（1）情境创设：纯代数运算情境；（2）问题设计：计算 x/
(x-1)-(2x-1)/(x^2-x)，需要先因式分解、通分，再化简；（3）考查目标：考查分式加减运算和因式分解能力。
考查目标：考查运算能力，要求学生掌握分式加减的通分技巧和因式分解方法。
答案与解析
【答案】A
【详解】解：．
知识总结
①核心概念：分式加减需先通分，最简公分母为各分母因式的最高次幂的积。②解题方法：x/
(x-1)-(2x-1)/(x(x-1))=[x^2-(2x-1)]/[x(x-1)]=(x-1)^2/[x(x-1)]=(x-1)/x。③拓展关联：分式化简是后续学习分式方程、函数化简的基础。
如图，将一个边长为的正方形分成 6 个全等的矩形，若这 6 个矩形周长之和比原正方形的周长多 48，则的值为 ( )
B ．8C ．12D．16
命题透视
核心考点：正方形与矩形的周长
命题分析：
情境创设：以正方形切割为 6 个全等矩形为背景，通过周长关系求正方形边长。
问题设计：（1）情境创设：图形分割问题，直观形象；（2）问题设计：已知切割后总周长增加 48，求原正方形边长a；（3）考查目标：考查几何直观和方程建模能力。
考查目标：考查几何直观和运算能力，要求学生能根据切割特点建立周长变化的方程。
答案与解析
【答案】B
【分析】根据图形切割的特点，每切一刀，总周长增加两个切线长度，据此建立方程求解即可．
【详解】解：根据题意可知正方形的边长为 ，由图可知，将正方形分成 6 个全等矩形，需要横向切 2 刀，
纵向切 1 刀，
每切一刀，周长之和增加 ，
6 个矩形的周长之和比原正方形周长多
6 个矩形周长之和比原正方形的周长多 48，
，
,
解得：．
知识总结
①核心概念：每切一刀，总周长增加两个切线长度。②解题方法：横向切 2 刀、纵向切 1 刀，共增加 2a×3=6a=48，解得a=8。③拓展联想：图形切割问题常考查‘每切一刀增加两条边长’的规律。
掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有 1 到 6 的点数），若向上一面的点数之和为 2 的概率与点数之和为的概率相等，则 ()
B ．4C ．11D．12
命题透视
核心考点：古典概型（概率计算）
命题分析：
情境创设：掷两枚质地均匀的骰子，已知点数之和为 2 的概率与点数之和为 n 的概率相等，求n。
问题设计：（1）情境创设：经典概率模型，通过列表或树状图分析；（2）问题设计：先计算点数之和为 2 的概率，再逐一验证各选项；（3）考查目标：考查概率计算和数据分析能力。
考查目标：考查数据分析能力，要求学生能利用列表法求出各种和出现的概率。
答案与解析
【答案】D
【分析】通过列表法计算各选项概率即可得解．
【详解】解：列表如下：
和
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
∴掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能结果共有
种，点数之和为 的结果只有 种，
∴ 点数之和为 2 的概率为 ．
对各选项逐一验证：当
时，共 种，
，排除A；
当
时，共 种，
，排除 B；
当
时，共 种，
，排除 C；
当
时，共 种，
，与点数和为 2 的概率相等．
∴.
知识总结
①核心概念：古典概型中，P(A)=事件 A 包含的基本结果数÷总结果数。②解题方法：列表可知点数之和为 2 的概率为 1/36，点数之和为 12 的概率也为 1/36，故 n=12。③拓展关联：列表法和树状图是解决两步及以上随机试验概率问题的常用工具。
如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到 ．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为 ()
B．C．D．
命题透视
核心考点：图形的翻折与相似三角形
命题分析：
情境创设：在四边形 ABCD 中，AD∥BC，将△ABE 沿 AE 翻折得到△AB'E，考查面积之比。
问题设计：（1）情境创设：以四边形和翻折变换为背景，考查动态几何中的不变关系；（2）问题设计：通过平行、翻折、相似三个层次递进，最终求面积比；（3）考查目标：考查推理能力和几何直观。
6
7
8
9
10
11
12
考查目标：考查推理能力，要求学生能通过平行四边形、翻折性质和相似三角形综合求解。
答案与解析
，
.
∴
∴
∴
,
∴
∵
∴
∴
∴
∴
,
∴
∵
由折叠得，
,
是平行四边形
【详解】解：∵
∴ 四边形
∴
∴
∴
，
三角形的性质求解．
，然后利用相似
，证明
, 得到
,
，
，由折叠得，
，推出
是平行四边形，得到
【答案】C
【分析】首先证明四边形
知识总结
①核心概念：翻折变换保持图形的形状和大小不变，对应边相等、对应角相等；相似三角形的面积比等于相似比的平方。②解题方法：先证四边形 AECD 为平行四边形，得 BE=2EC；由翻折得 BE=B'E，再证△ B'MN∽△B'AE，利用相似比为 1/2，得面积比为 1/4。③拓展关联：翻折与相似是动态几何中的常见组合，
常与平行四边形、菱形、正方形等结合考查。
如图，在中，所对的圆心角为 ，点在上．若 ，则 ()
B． C．D．
命题透视
核心考点：圆心角、圆周角、圆内接四边形
命题分析：
情境创设：在圆中，已知弧ACB 所对的圆心角为 150°, ∠CBO=n°, 求∠ADC。
问题设计：（1）情境创设：以圆为背景，综合考查圆心角、圆周角、圆内接四边形等知识；
问题设计：通过连接辅助线，利用等腰三角形性质和圆内接四边形对角互补求解；（3）考查目标：考查推理能力。
考查目标：考查推理能力，要求学生能综合运用圆的有关性质进行角度计算。
答案与解析
【分析】如图，连接并延长交
于点 E，连接，首先利用等边对等角得到
, 然后利用三角形内角和定理求出
，然后结合圆周角定理
和圆内接四边形对角互补求解即可．
【详解】解：如图，连接并延长交
于点 E ，连接
∵
∴
【答案】C
∴
∴
∴
∴
.
知识总结
，
，
①核心概念：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形对角互补。②解题方法：连接OA、OB、 OC，由等腰三角形性质求∠BOC，再由圆心角与圆周角关系及圆内接四边形性质求解。③拓展关联：圆中角 度计算常需添加辅助线，构造等腰三角形或直角三角形。
平面直角坐标系中有
三点．若直线经过原点，则点 一定在 ()
A ．函数的图象上
B ．函数 的图象上
C ．函数的图象上
D ．函数的图象上
命题透视
核心考点：反比例函数的图象与性质
命题分析：
情境创设：已知三点 A(1,n)、B(m,6)、C(m,n)，直线 AB 经过原点，判断点 C 所在函数图象。
问题设计：（1）情境创设：坐标系中三点位置关系，考查函数与坐标的关联；（2）问题设计：先由A、B 在过原点的直线上求出mn=6，再判断 C(m,n)满足的关系；（3）考查目标：考查推理能力。
考查目标：考查推理能力，要求学生能通过坐标关系建立数量联系。
答案与解析
【答案】B
【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入 A 、B 坐标得到 与 的乘积，再根据 C 点坐标判断其满足哪个函数解析式．
【详解】解：∵ 直线经过原点，
∴ 设直线的解析式为
，
把
代入解析式得
，即
，
的图象上．
∴ 点 一定在函数
，满足点 的坐标特征，
变形可得
对函数
，
∴ 点 横纵坐标的乘积为
，
∵ 点 的坐标为
，
，即
得
把
，
的解析式为
∴ 直线
代入
知识总结
①核心概念：反比例函数 y=k/x 中，xy=k。②解题方法：由 A、B 在过原点的直线上，得 n=k ·1，6=k · m，故 mn=6，点 C 在 y=6/x 上。③拓展关联：反比例函数图象上点的横纵坐标之积为定值，这是判断点是否 在反比例函数图象上的重要依据。
如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则 ()
B．C．D．
命题透视
核心考点：一次函数与面积
命题分析：
情境创设：在平面直角坐标系中，四条直线围成两个阴影部分，面积分别为m、n，求 m −n。
问题设计：（1）情境创设：坐标系中直线围成的图形面积，综合性较强；（2）问题设计：先求出四条直线的解析式，再分别计算两个阴影部分的面积；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。
考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能准确求出直线方程并计算多边形面积。
答案与解析
【答案】B
【分析】首先利用待定系数法求出四条直线的解析式，分别为，，
,, 求出阴影部分 和 各个顶点的坐标，观察图形可知，阴影部分 和
均可分割为一个平行四边形和一个三角形，分别计算面积，再计算面积差即可求解．
【详解】解：如图，过点 作轴交直线 于点 ，过点 作轴交直线 于点 ，
∵轴，轴，
∴,,
由图可知， 过，； 过，； 过，；
设 的直线解析式为，
过， ，
将 代入上式，则，
∴ 的直线解析式为；
同理可得另外三条直线的解析式分别为：
，，
,
∵ 直线
∴ 四边形
当时，
与 的斜率均为 ，
∴ ,
是平行四边形，
，解得 ，则 ；
当时， 当时，
当时，
∴
与得：
∴
，解得 ，则；
，解得 ，则 ；
，解得，则；
,
，解得： ，则
;
联立
，
联立 与得：
.
∴
．
阴影部分 的面积
．
∴ 阴影部分 的面积
;
∴
，
，则
，解得：
联立 与得：
;
∴
，
，则
，解得：
联立 与 得：
;
∴
，
，则
，解得：
知识总结
①核心概念：待定系数法求直线解析式；平行四边形和三角形面积计算。②解题方法：分别求出四条直线的解析式，确定阴影部分的顶点坐标，将阴影部分分割为平行四边形和三角形计算面积。③拓展关联：
坐标系中的面积问题常需用‘割补法’或‘坐标公式’求解。
填空题
13 ．计算： ．
命题透视
核心考点：有理数的减法
命题分析：
情境创设：直接计算 4 − (−6)。
问题设计：（1）情境创设：纯计算题；（2）问题设计：直接考查有理数减法法则；（3）考查目标：考查运算能力。
考查目标：考查运算能力，要求学生掌握‘减去一个数等于加上它的相反数’的法则。
答案与解析
【答案】10
【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握减法法则是解题的关键． 根据减去一个数等于加上它的相反数
将减法变加法计算即可．
【详解】解 ∶
,
故答案为 ∶10．
知识总结
①核心概念：有理数减法法则：a− (−b)=a+b。②解题方法：4 − (−6)=4+6=10。③拓展关联：有理数运算是整个初中数学运算的基础。
某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中 ，于点 ，于点，若
, , 则 ．
命题透视
核心考点：平行四边形的判定与性质、解直角三角形
命题分析：
情境创设：楼梯护栏侧面图，AB∥CD，BD⊥DE，AC⊥DE， ∠BAC=60 °, AB=4m，求 CE。
问题设计：（1）情境创设：以楼梯护栏为背景，将几何问题融入生活场景；（2）问题设计：通过平行和垂直条件判定平行四边形，再利用三角函数求解；（3）考查目标：考查推理能力和运算能力。
考查目标：考查推理能力和运算能力，要求学生能综合运用平行四边形性质和三角函数求解。
答案与解析
，
，
【详解】解：
角函数求解的长，即可求解．
中利用三
，最后在
；利用平行线的性质得出
平行四边形，从而得出
为
可判定四边形
，结合已知
【答案】
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得
,
又
，
四边形
是平行四边形，
,
,
,
在
中，
，
，
.
知识总结
①核心概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形对边相等；cs60 °=1/2。②解题方法：由 BD∥AC，AB∥CD，得四边形 ABDC 为平行四边形，CD=AB=4m；在 Rt△CDE 中，CE=CD ·cs60 °=2m。
③拓展关联：解直角三角形是解决实际问题的重要工具，关键在于构造或识别直角三角形。
15 ．已知关于的一元二次方程 有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则
.
命题透视
核心考点：一元二次方程根与系数的关系
命题分析：
情境创设：已知一元二次方程 x^2+(1/4)x+m=0 有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，求m。
问题设计：（1）情境创设：纯代数问题，考查根与系数关系；（2）问题设计：设两根为 t 和 t^2，利用韦达定理建立方程求解；（3）考查目标：考查运算能力和推理能力。
考查目标：考查运算能力和推理能力，要求学生能灵活运用根与系数关系建立方程。
答案与解析
【答案】
【分析】设方程的两根分别为 和 ，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解 的值，再计算 ，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可．
，符合题意．
验证判别式：
．
得
代入
将
．
解得
．
．变形得
得
整理
．
，
根据根与系数的关系可得
的两根分别为 ， ．
【详解】解：设一元二次方程
知识总结
①核心概念：若一元二次方程 ax^2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，则 x1+x2=−b/a，x1x2=c/a。②解题方法：设两根为 t 和 t^2，由韦达定理得 t+t^2=−1/4，t^3=m，解得 t=−1/2，m=−1/8，验证判别式Δ>0。③拓展 关联：根与系数关系（韦达定理）是处理一元二次方程根的问题的重要工具。
一游客计划从 A 地出发到 B ，C，D 三地旅游，然后回到 A 地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到 1 次，如 ．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为百元．
命题透视
核心考点：最短路径与方案优化
命题分析：
情境创设：游客从 A 地出发到 B、C、D 三地旅游后回到 A 地，求最少交通费用。
问题设计：（1）情境创设：旅游路线选择，贴近生活实际；（2）问题设计：列举所有可能的路线方案，计算费用后比较大小；（3）考查目标：考查模型观念和推理能力。
考查目标：考查模型观念和推理能力，要求学生能有序列举并比较各种方案。
答案与解析
【答案】
【分析】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值．
【详解】解：根据题意，从 地出发到 ， ， 三地旅游，然后回到 地，且每个地方只到 1 次，共有以下
不同的路线方案：
方案一：路线为
，交通费用为：
（百元）；
方案二：路线为
，交通费用为：
（百元）；
方案三：路线为
，交通费用为：
（百元）；
方案四：路线为
，交通费用为：
（百元）；
方案五：路线为
，交通费用为：
（百元）；
方案六：路线为
，交通费用为：
（百元）；
因为
，
所以此次旅游的交通费用最少为 21 百元．
知识总结
①核心概念：通过列举所有可能的方案，利用加法计算各方案总费用，再比较大小找出最优方案。②解题方法：列出6 种路线方案，分别计算费用，最小值为21 百元。③拓展关联：方案设计与优化是综合与实践领域的核心内容，常涉及最短路径、最小费用等问题。
解答题
解方程、解不等式：
(1)；
(2)．
命题透视
核心考点：解一元一次方程与一元一次不等式
命题分析：
情境创设：解方程 3x=12+x 和解不等式 x−3>(x−1)/2。
问题设计：（1）情境创设：基础运算题，考查基本技能；（2）问题设计：分别考查方程和不等式的解法；（3）考查目标：考查运算能力。
考查目标：考查运算能力，要求学生掌握解方程和不等式的基本步骤。
答案与解析
．
合并同类项，得
，
移项，得
，
去括号，得
，
去分母，得
，
（2）解：
；
系数化为 ，得
，
移项，得
合并同类项，得
，
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
知识总结
①核心概念：解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1；解不等式时不等号方向变化规则。②解题方法：（1）3x=12+x→2x=12→x=6；（2）x−3>(x−1)/2→2x−6>x − 1→x>5。③拓展关联：一元一次方程和不等式是后续学习二元一次方程组、分式方程的基础。
．用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：
.
证明，并用以上方法计算；
计算： ．
命题透视
核心考点：平方差公式的应用
命题分析：
情境创设：用运算律或乘法公式简化运算，以 98^2=98^2−2^2+2^2=(98+2)(98−2)+2^2 为例，计算 99^2 和(−105)^2。
问题设计：（1）情境创设：以‘简便运算’为背景，考查乘法公式的灵活运用；（2）问题设计：通过例题引导，要求学生模仿方法完成计算；（3）考查目标：考查运算能力和创新意识。
考查目标：考查运算能力和创新意识，要求学生能理解并迁移平方差公式的简便运算方法。
答案与解析
【答案】(1)
证明：∵右边
左边，
∴,
;
(2)
【详解】（1）证明见答案
解：
;
（2）解：
.
知识总结
①核心概念：平方差公式 a^2−b^2=(a+b)(a−b)。②解题方法：99^2=(99+1)(99−1)+1=9800+1=9801； (−105)^2=(−105+5)(−105−5)+25=(−100)× (−110)+25=11025。③拓展联想：平方差公式和完全平方公式
是代数运算的重要工具，灵活运用可简化计算。
．按要求解答下列问题：
尺规作图：如图 1 ，在 中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
如图 2 ，在 中， ，点在边上，且 ．若 ， ，求线段
的长．
命题透视
核心考点：尺规作图、相似三角形的判定与性质
命题分析：
情境创设：(1)在△ABC 中作出AB 边的垂直平分线；(2)在△ABC 中，∠BAC=2∠B，DA=DB，AC=6， BC=9，求 CD。
问题设计：（1）情境创设：尺规作图与几何证明相结合；（2）问题设计：第(1)问考查基本作图，第(2)问通过等边对等角和外角性质证明相似，进而求解；（3）考查目标：考查几何直观和推理能力。
考查目标：考查几何直观和推理能力，要求学生掌握尺规作图和相似三角形的判定与性质。
答案与解析
【答案】(1)如图 1 ，直线 即为所求；
(2)
【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明，即可证明
，即可求
解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
,
∴
∴
解得
．
知识总结
①核心概念：垂直平分线的作法；等边对等角；三角形外角等于不相邻两内角之和；两角对应相等则两三角形相似。②解题方法：由DA=DB 得∠B=∠BAD，则∠CDA=2∠B=∠BAC，故△CDA∽△CAB，由CD/CA=CA/CB得 CD=4。③拓展关联：相似三角形是初中几何的核心内容，常与勾股定理、圆的性质综合考查。
20．为培养学生的劳动观念和家庭责任意识，某中学开展了“家长家务劳动时长”调查活动．在某一周，每名学生统计自己家长每天整理收纳、烧菜做饭、洗衣清扫等家务劳动时间，计算出家长日均家务劳动时长（单
位：h）并提交．（计算方法：）
【收集数据】
淇淇随机抽取了40 名同学提交的数据，如下：
知识总结
①核心概念：频数分布直方图是用小长方形的高度表示频数的统计图；平均数=各组中值×频数之和÷总数；样本代表性指样本能否反映总体特征。②解题方法：由数据得 1.25