2027届高三数学一轮复习练习课件：第7章　7.5　空间角与空间距离、空间向量及其应用(含解析)

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7.5　空间角与空间距离、空间向量及其应用
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考点1 空间角考点2 空间距离
1.★★★(2022全国甲,文9,理7,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则 ( )A.AB=2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC=CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
解析　如图,连接BD.由题可知,BB1⊥平面ABCD,AD⊥平面AA1B1B, 易知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角分别为∠B1DB,∠AB1D,∴∠B1DB=∠AB1D=30°.设AD=1,则AB1= ,B1D=2,∴BB1=1,BD= ,∴AB= ,∴AB= AD,故A错误.
过B作BH⊥AB1,交AB1于H,易知∠HAB为AB与平面AB1C1D所成的角.∵BH= = ,∴sin∠HAB= = ,故B错误.易知AC= ,CB1= ,∴AC≠CB1,故C错误.易知∠DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角,∴sin∠DB1C= = ,∴∠DB1C=45°,故D正确.
2.★★★(2024新课标Ⅱ,7,5分)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为 ,AB=6,A1B1=2,则A1A与平面ABC所成角的正切值为 ( )A. 　　    B.1　　    C.2　　    D.3
解析　如图,延长AA1,BB1,CC1交于一点P,过P作PO⊥平面ABC,垂足为O,PO与平面A1B1C1交于点O1,连接O1A1,OA. ∵ABC-A1B1C1是正三棱台,∴三棱锥P-ABC是正三棱锥.设△A1B1C1,△ABC的面积分别为S1,S2,则 = (S1+S2+ )·O1O= .又∵S1= ×22× = ,S2= ×62× =9 ,
∴ ( +9 + )·O1O= ,∴O1O= .∵△PO1A1∽△POA,∴ = .又∵△PB1A1∽△PBA,∴ = = = ,∴ = ,∴PO=2 ,∵PO⊥平面ABC,∴∠PAO是AA1与平面ABC所成角.AO= × ×AB=2 ,在Rt△PAO中,tan∠PAO= = =1.故选B.
3.★★★(2023全国乙理,9,5分)已知△ABC为等腰直角三角形,AB为斜边,△ABD为等边三角形.若二面角C-AB-D为150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 ( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
解析　取AB的中点E,连接CE,DE,则CE⊥AB,DE⊥AB,所以∠DEC是二面角C-AB-D的平面角,所以∠DEC=150°,因为DE∩CE=E,所以AB⊥平面DCE,因为AB⊂平面ABC,所以平面DCE⊥平面ABC,易知∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角,设AB=a, 在等腰直角△ABC中,CE= a,在等边△ABD中,DE= a,
在△DCE中,由余弦定理,得DC2= + -2· a· a·cs 150°= a2,∴DC= a,则cs∠DCE= = ,∵0°