2027届高三数学一轮复习练习课件：第3章　3.1　导数的概念及运算(含解析)

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3.1　导数的概念及运算
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考点1 导数的概念及运算考点2 曲线的切线
考点1　导数的概念及运算
1.★(2026届湘豫名校联盟摸底,6)已知f(x)在R上可导,则f '(1)= ( )A.  　　     B.  C.  　　    D.  
2.★★(2026届安徽五校第一次联考,4)下列求导运算正确的是 ( )A.(ln 2)'= B.(3x+lg3x)'=(3x+x)ln 3C.(ex )'= D. '= 
解析    (ln 2)'=0,A错误;(3x+lg3x)'=3xln 3+ ,B错误;(ex )'=ex + ,C错误; '= = ,D正确.故选D.
3.★★(2026届江西多校联考,4)已知函数f(x)的导函数为f '(x),若f(x)=-f '(-1)x3+2x2-2,则f(2)= ( )A.20　　    B.18　　    C.16　　    D.14
解析　由f(x)=- f '(-1)x3+2x2-2得f '(x)=-3f '(-1)x2+4x,所以f '(-1)=-3f '(-1)(-1)2+4×(-1),即f '(-1)=-3f '(-1)-4,解得f '(-1)=-1,所以f(x)=x3+2x2-2,则f(2)=23+2×22-2=14.故选D.
4.★★(2025届安徽肥东第一中学联考,2)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且f(x)=2xf ' +sin x,则f '  = ( )A.- 　　     B. 　　    C. 　　    D.- 
解析　因为f(x)=2xf ' +sin x,所以f '(x)=2f ' +cs x,令x= ,则f ' =2f ' +cs , 解得f ' =- ,则f '(x)=-1+cs x,则f ' =-1+cs =-1- =- .故选A.
5.★★(2026届广东湛江八校联考,7)某跳水运动员在10米高的跳台起跳后,其速度v(单位:米/秒)与时间t(单位:秒)之间的函数关系式为v(t)=-9.8t+4.7,则该运动员(身高忽略不计)在t=1秒时离水面的高度为 ( )A.9.6米　　    B.9.7米　　    C.9.8米　　    D.9.9米
解析　由h'(t)=v(t)=-9.8t+4.7,可设h(t)=-4.9t2+4.7t+k(该式表示高度与时间的关系式),因为h(0)=k=10,所以h(t)=-4.9t2+4.7t+10,则该运动员在t=1秒时离水面的高度为h(1)=-4.9+4.7+10=9.8米.故选C.
6.★★★(2026届山西晋中开学考,8)已知f '(x)为函数f(x)=x2+2cs 2x的导函数,则f '(x)的大致图象是( )    
7.★★★(2025届江西南昌模拟,7)我们知道一个常识:奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况:如果函数f(x)的图象有对称中心,那么其导函数f '(x)的图象会有对称轴;如果函数f(x)的图象有对称轴,那么其导函数f '(x)的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数f(x)=ln 的对称性,下列选项正确的是 ( )A.f(x)的图象有对称中心 B.f(x)的图象有对称中心 C.f(x)的图象有对称轴x=- D.f(x)的图象有对称轴x= 
解析　因为函数f(x)=ln ,定义域为(-2,3),所以f '(x)= · = · = ,其图象关于直线x= 对称,所以f(x)的图象关于 ,即 对称,故选B.
8.★★★(创新考法·估计三角函数值)(2025届陕西咸阳三模,8)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时, f(x)=f(0)+f '(0)x+ x2+ x3+…+ xn+….该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算sin 2的值为(精确到小数点后两位)( )注:f ″(x)表示f(x)的2阶导数,即为f '(x)的导数, f (n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数,即为f (n-1)(x)(n≥3)的导数.n!表示n的阶乘,即n!=1×2×3×…×　　    　　    　　    
解析　由题意知f(x)=sin x,知f(0)=0.f '(x)=cs x⇒f '(0)=1;f ″(x)=-sin x⇒f ″(0)=0;f (3)(x)=-cs x⇒f (3)(0)=-1;f (4)(x)=sin x⇒f (4)(0)=0;f (5)(x)=cs x⇒f (5)(0)=1;f (6)(x)=-sin x⇒f (6)(0)=0;f (7)(x)=-cs x⇒f (7)(0)=-1,
求出sin x=x- + - +…,令x=2,得sin 2=2- ×23+ ×25- ×27+…=2- + - +…≈0.91,故选C.
1.★★(2023全国甲文,8,5分)曲线y= 在点 处的切线方程为 ( )A.y= x　　     B.y= xC.y= x+ 　　    D.y= x+ 
2.★★(2024全国甲理,6,5分)设函数f(x)= ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )A. 　　    B. 　　    C. 　　    D. 
3.★★★(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )A.eb0,当x∈(1,+∞)时,p(x)0,当x∈(1,+∞)时,q(x)