2027届高三数学一轮复习练习课件：第2章　2.8　函数的模型及应用(含解析)

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2.8　函数的模型及应用
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1.★★(2021全国甲,文6,理4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为( ≈1.259)( )A.1.5　　    B.1.2　　    C.0.8　　    D.0.6
2.★★(2025北京,9,4分)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klg2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加 ( )A.2 h　　    B.4 h　　    C.20 h　　    D.40 h
解析　设三次训练的时间分别为T1 h,T2 h,T3 h,由题意得T1=klg2106,T2=klg21.024×109=k(lg21 024+lg2106)=k(lg2106+10),两式相减得T2-T1=10k=20,即k=2,则T3-T2=2lg24.096×109-2(lg2106+10)=2(lg2106+12)-2(lg2106+10)=4.故选B.
3.★★★(2022北京,7,4分)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 ( )
A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
解析　对于A,当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026=3+lg 1.026∈(3,4),由题图可知,二氧化碳处于固态,∴A错误.对于B,当T=270,P=128时,lg P=lg 128=2+lg 1.28∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于液态,∴B错误.对于C,当T=300,P=9 987时,lg P=3+lg 9.987≈3+1=4,由题图可知,二氧化碳处于固态,∴C错误.对于D,当T=360,P=729时,lg P=lg 729=2+lg 7.29∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于超临界状态,∴D正确.故选D.
4.★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,10,5分)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( )A.p1≥p2　　     B.p2>10p3C.p3=100p0　　    D.p1≤100p2
    ACD    
解析　对于C,由题意知20×lg =40,即lg =2,故p3=100p0,故C正确.对于A,由题意知 ≥ ,所以20×lg ≥20×lg ,所以p1≥p2,故A正确.对于B, =20×lg ∈[50,60],所以 ≤lg ≤3,所以p2∈[1 p0,103p0],即p2≤103p0=10p3,故B错误.对于D, =20×lg ∈[60,90],所以3≤lg ≤ ,所以p1∈[103p0,1 p0],因为100p2∈[1 p0,105p0],所以p1≤100p2,故D正确,故选ACD.
1.★★(2026届江苏盐城七校联盟检测,4)为了解决大尺度问题的压缩,物理学家、地震学家里克特设计了一种度量方式:里克特震级,简称里氏震级,后来经同行古登堡的改进和完善,得到了震级的计算公式M=lg ,其中A是被测地震的最大振幅,A0是标准地震的振幅,并通过研究得出了地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系lg E=4.8+1.5M.则10.0级地震释放的能量是6.0级地震的 ( )A.1 倍　　    B.103倍　　    C.106倍　　    D.109倍
2.★★(2025届吉林长春质量监测,4)某学校科技创新小组准备模拟东风-31弹道导弹的发射过程,假设该小组采用的飞行器的飞行高度y(单位:米)与飞行时间x(单位:秒)之间的关系可以近似用函数y=alg3x+b来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米,经过6秒时的高度为30米,欲达到50米的高度,需要 ( )A.15秒　　    B.16秒　　    C.18秒　　    D.20秒
3.★★(2026届广东揭阳联考,6)为了研究中学生远程网络学习的学习效率,某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化,通过调查研究发现,研究对象在40分钟的远程网络学习中,注意力指数y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线.当t∈[0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=lga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分,根据专家研究发现,当注意力指数不低于80时,学习效率最佳.据此可以判断,研究对象在40分钟的远程网络学习过程中,学习效率最佳的时间共有 ( )(参考数据: ≈1.414, ≈1.732,lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
 分钟　　    分钟分钟　　    分钟
解析　由题意可设f(t)=k(t-12)2+82,t∈[0,14],由题图得f(14)=81,所以k=- .又因为81=lga(14-5)+83,所以lga9=-2,解得a= ,要使学习效率最佳,需y≥80,所以 
或 解得12-2 ≤t≤14或14≤t≤32,所以12-2 ≤t≤32,因为32-(12-2 )=20+2 ≈22.828,所以学习效率最佳的时间共有22.828分钟.故选A.
4.★★(2026届湖北黄冈调研,5)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车.某天,驾驶员张某在家喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量达到了0.5 mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时40%的速度减少,那么他至少经过______小时才能安全驾驶?(结果取整数,参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) ( )A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4
解析　设经过x小时才能安全驾驶,由题意得50×(1-40%)x