2025-2026学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷（含解析），共5页。试卷主要包含了已知，则的值为　　 ，已知向量，，设等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效．
一、填空题（共10小题，满分52分）第1小题至第8小题每个空格填对得5分，第9、第10小题每个空格填对得6分．
1．若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则 ．
2．在复数集上，方程的根是 ．
3．化简： ．
4．某团体操队形由若干排组成，从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数．若第3排有7个人，第8排有17个人，则第10排有 个人．
5．已知，则的值为 ．
6．设数列为等比数列，已知，，则的值为 ．
7．已知，则的值为 ．
8．已知向量，，设．则函数的值域为 ．
9．已知正项数列的前项和为，且，，则 ．
10．如图，在平行四边形中，，，，是对角线的交点，点、满足．则的值为 ．
二、选择题（本大题共4小题，满分24分）每小题6分．每题有且仅有一个正确答案，应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
11．已知，，，则的值为（ ）
A．25B．7C．5D．1
12．在复平面上，为坐标原点，设复数、所对应的点分别为、，则△的面积为（ ）
A．6B．3C．2D．1
13．对于以下四个命题：
①如果是第一象限的角，那么也是第一象限的角；
②如果，且，那么；
③设、、，如果，且，那么；
④设，已知数列的前项和为，则数列为等比数列的充要条件是．
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
14．某实验室一天的温度（单位：随时间（单位：的变化近似满足函数关系，，，其中时表示凌晨0点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
15．已知数列的递推公式为
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求满足不等式的整数的最小值．
16．设复数，，其中、、、．
（1）若，且为纯虚数，求的值；
（2）若，，，，且的实部与虚部相等，求的值．
17．如图所示，在某寄宿高中，标准篮球场的宽，为学生宿舍楼的边沿，在篮球场与宿舍楼之间有一低矮建筑，使得人在篮球场上无法看到宿舍楼的底部处．
某班数学老师给本班同学布置了以下课外作业：在篮球场上测量学生宿舍楼的高，要求只能在以下两件测量工具中选择一件完成作业．
①测距仪：能够测量观测点与目标点间的直线距离；
②测角仪：能够测量观测点到目标点的仰角．
（1）甲利用测距仪测得，，并据此计算出宿舍楼的高．请你写出甲的计算过程（结果精确到；
（2）乙利用测角仪也完成了作业，请你写出乙的测量方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示宿舍楼的高．
18．设．
（1）请写出函数，的奇偶性、单调性、最大（小值、周期性；（不必证明）
（2）请画出该函数在一个周期内的大致图像，写出函数图像的所有垂直于轴对称轴方程，并说明理由．
19．（16分）（1）在平面直角坐标系中，已知向量，．
①若，求实数的值；
②若，求实数的值．
（2）现将平面直角坐标系中轴保持不动，轴以坐标原点为中心旋转一个角，使得且，这样，由平面向量基本定理，该平面内的任意向量都可以由轴与轴正方向上的单位向量与唯一地线性表示为，则我们称实数、所组成的有序实数对为向量在该斜坐标系下的斜坐标，并表示为．在以上平面斜坐标系中，已知向量，，，．
①若，求实数的值；
②若，求实数的值．
（3）请以（2）中的两个问题的条件为特例，写出两个更具一般性的结论．（不必证明）
参考答案
一、填空题（共10小题，满分52分）．
1．若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则 ．
解：由角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，
所以由正切函数定义可得，．
故答案为：．
2．在复数集上，方程的根是 ．
解：根据题意，：△
所以原方程的解为：是虚数单位）
整理，得，
故答案为：
3．化简： 1 ．
解：原式．
故答案为：1．
4．某团体操队形由若干排组成，从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数．若第3排有7个人，第8排有17个人，则第10排有 21 个人．
解：从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数，每排人数构成公差为的等差数列，
根据等差数列性质：，
已知，，则，解得，
因为，所以．
故答案为：21．
5．已知，则的值为 ．
解：由，得，
所以，可得．
故答案为：．
6．设数列为等比数列，已知，，则的值为 32 ．
解：设等比数列的公比为，
由，结合等比数列的性质得，得，
则，
所以．
故答案为：32．
7．已知，则的值为或，． ．
解：由，得，即，
所以或，，
解得或，．
故答案为：或，．
8．已知向量，，设．则函数的值域为 ．
解：，
所以当时，取得最小值，；当时，取得最大值，；
所以函数的值域为．
故答案为：．
9．已知正项数列的前项和为，且，，则 ．
解：设，，
，
将代入上面式子得到，
是等差数列，公差是2，
，求得
．
故答案为：．
10．如图，在平行四边形中，，，，是对角线的交点，点、满足．则的值为 ．
解：设，，由题意得，，，
所以．
因为四边形是平行四边形，是对角线的交点，
所以，，．
由，则．
由，则，
所以，
所以．
故答案为：．
二、选择题（本大题共4小题，满分24分）每小题6分．每题有且仅有一个正确答案，应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
11．已知，，，则的值为（ ）
A．25B．7C．5D．1
解：由，得，所以，
所以．
故选：．
12．在复平面上，为坐标原点，设复数、所对应的点分别为、，则△的面积为（ ）
A．6B．3C．2D．1
解：由复平面上，为坐标原点，设复数、所对应的点分别为、，
可得，，，
可得，，
，，，
所以，
因为，所以，
所以．
故选：．
13．对于以下四个命题：
①如果是第一象限的角，那么也是第一象限的角；
②如果，且，那么；
③设、、，如果，且，那么；
④设，已知数列的前项和为，则数列为等比数列的充要条件是．
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：对于①，是第一象限的角，则，
则，
当为奇数时，是第三象限角，
当为偶数时，是第一象限角，
因此是第一象限或第三象限角，故①是假命题；
对于②，由，可得，故与垂直，不能推出，
例如：，，，
满足，但，故②是假命题；
对于③，复数域满足非零元消去律，若，
对等式两边同时乘以的逆元，
可直接得到，③是真命题；
对于④，当时，；
当时，，
则，
要使数列为等比数列，则所有项满足通项，
故时也需满足，即，解得；
反之，若，则，
当时，则，
当时，满足上式，所以，
所以数列为首项3、公比4的等比数列，因此充要条件成立，④是真命题；
综上，真命题为③和④，共2个．
故选：．
14．某实验室一天的温度（单位：随时间（单位：的变化近似满足函数关系，，，其中时表示凌晨0点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
解：．
从上午10点到晚上8点期间，，，．
在上的取值是，，
所以，．
所以温度变化范围为，．
故选：．
三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
15．已知数列的递推公式为
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求满足不等式的整数的最小值．
【解答】（1）证明：由得．
由，显然，
故．
所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得．
由题意有，
，因，
又，则，
故满足不等式的整数的最小值为12．
16．设复数，，其中、、、．
（1）若，且为纯虚数，求的值；
（2）若，，，，且的实部与虚部相等，求的值．
解：（1）由已知得，为纯虚数，
则，解得；
（2）由题意：，，
则
，
因为的实部与虚部相等，
所以，
显然，得．
17．如图所示，在某寄宿高中，标准篮球场的宽，为学生宿舍楼的边沿，在篮球场与宿舍楼之间有一低矮建筑，使得人在篮球场上无法看到宿舍楼的底部处．
某班数学老师给本班同学布置了以下课外作业：在篮球场上测量学生宿舍楼的高，要求只能在以下两件测量工具中选择一件完成作业．
①测距仪：能够测量观测点与目标点间的直线距离；
②测角仪：能够测量观测点到目标点的仰角．
（1）甲利用测距仪测得，，并据此计算出宿舍楼的高．请你写出甲的计算过程（结果精确到；
（2）乙利用测角仪也完成了作业，请你写出乙的测量方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示宿舍楼的高．
解：（1）在△中，由余弦定理得
，
结合为锐角，可得，
在△中，，
可得；
（2）在点测得楼顶的仰角为，在点测得楼顶的仰角为，
在△中，由正弦定理得，
即，可得，
所以△中，．
18．设．
（1）请写出函数，的奇偶性、单调性、最大（小值、周期性；（不必证明）
（2）请画出该函数在一个周期内的大致图像，写出函数图像的所有垂直于轴对称轴方程，并说明理由．
解：（1）偶函数；在区间上单调递减；在区间上单调递增；
最大值为3，最小值为1；最小正周期为，
证明：因为，且，
故为偶函数；
因为，，，
又在，单调递增，且，
所以在单调递增，且，
故在上单调递减，
因为，，，
又在，单调递减，且，
所以在单调递减，且，
故在上单调递增；
由单调性可知，当，时，取得最小值1，
当时，取得最大值3；
由的最小正周期，
则，
故的最小正周期为周期函数；
（2）在一个周期内的大致图像如下：
对称轴为．
证明：方法
．
方法
．
所以直线为其对称轴．
19．（16分）（1）在平面直角坐标系中，已知向量，．
①若，求实数的值；
②若，求实数的值．
（2）现将平面直角坐标系中轴保持不动，轴以坐标原点为中心旋转一个角，使得且，这样，由平面向量基本定理，该平面内的任意向量都可以由轴与轴正方向上的单位向量与唯一地线性表示为，则我们称实数、所组成的有序实数对为向量在该斜坐标系下的斜坐标，并表示为．在以上平面斜坐标系中，已知向量，，，．
①若，求实数的值；
②若，求实数的值．
（3）请以（2）中的两个问题的条件为特例，写出两个更具一般性的结论．（不必证明）
解：（1）由题意，，，
①若，则有，解得；
②若，则有，解得；
（2）①由向量，，，
得，，
由，可知存在实数，使得，
即，
因是不共线向量，则解得；
②由，可得，
即，
即，
因，且，
由得，解得；
（3）已知斜坐标系下，，，轴的正向夹角为，
则有①；
②．