上海市静安区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份上海市静安区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共6页。
1. 若角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则______．
【答案】
【解析】
【详解】由角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，
得.
2. 在复数集上，方程的根是______．
【答案】
【解析】
【分析】将方程配方得出，由此得出该方程的虚根.
【详解】将方程配方变形得，即，解得.
因此，方程的根是.
故答案为.
本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题，当根的判别式小于时，方程有一对共轭的虚数根.
3. 化简：______．
【答案】1
【解析】
【详解】
4. 某团体操队形由若干排组成，从第2排起，每一排都比前一排多相等数目的人数．若第3排有7个人，第8排有17个人，则第10排有______个人．
【答案】21
【解析】
【详解】由题意，每排人数构成公差为的等差数列，
根据等差数列性质：an−am=(n−m)d ，
已知a3=7 ，a8=17 ，则a8−a3=5d=17−7=10 ，解得，
因为a10=a8+2d ，所以a10=17+2×2=21
5. 已知，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】使用同角三角函数关系计算正切值，再使用二倍角公式求解.
【详解】因为，所以，
则，可得.
6. 设数列为等比数列，已知，，则的值为______．
【答案】32
【解析】
【分析】根据给定条件，求出数列首项及公比，再利用所有项和公式求解.
【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，
，所以.
7. 已知，则的值为______．
【答案】π12+2kπ 或5π12+2kπ ，
【解析】
【分析】先利用辅助角公式将合并为2sinx+π4，化简得到sinx+π4=32，再根据正弦函数的通解写出x+π4的两种取值，移项计算得到的值．
【详解】由，得2sinx+π4=62，即sinx+π4=32，
所以x+π4=π3+2kπ 或x+π4=2π3+2kπ ，，
解得x=π12+2kπ 或x=5π12+2kπ ，．
8. 已知向量，，设．则函数的值域为________．
【答案】
【解析】
【详解】，
所以当时，f(x) 取得最小值，fxmin=−32；当时，f(x) 取得最大值，fxmax=92−32=3 ；
所以函数的值域为.
9. 已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______．
【答案】
【解析】
【详解】当n=1 时，，因此，
则，则，
同时，当n≥2 时，，
因此，
所以，
而因为，所以，
即，
所以是首项，公差的等差数列，
因此，
当n=1 时，满足条件，
因此数列的通项公式为.
10. 如图，在平行四边形中，AB=2 ，，∠BAD=60∘，E 是对角线的交点，点M 、满足DM=13DE,EN=13EC．则AM⋅MN的值为________．
【答案】712
【解析】
【分析】先选取合适的基底向量AB和AD，将题目中未知的向量AM和MN用基底向量表示出来，再运用向量数量积计算公式进行计算即可.
【详解】设AB=a，AD=b，由题意得a=2 ，b=1 ，∠BAD=60∘，
由平面向量数量积公式，则a⋅b=abcs60°=2×1×12=1 .
∵四边形是平行四边形，E 是对角线的交点，
∴DE=12DB=12a−b，EC=12AC=12a+b，AE=12a+b.
由DM=13DE，则AM=AD+DM=b+13×12a−b=16a+56b.
由EN=13EC，则AN=AE+EN=12a+b+13×12a+b=23a+23b，
∴MN=AN−AM=23a+23b−16a+56b=12a−16b，
∴AM→⋅MN→=16a→+56b→⋅12a→−16b→=712.
二、选择题（本大题共4小题，满分24分）每小题6分．每题有且仅有一个正确答案，应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
11. 已知， ， ，则 的值为（ ）．
A. 25B. 7
C. 5D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】因为，所以a⋅b=0 .
所以
.
12. 在复平面上，O 为坐标原点，设复数、所对应的点分别为A 、B ，则的面积为 （ ）．
A. B. 3
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据复数与复平面点的对应关系得到的坐标，写出向量，利用数量积公式求出夹角余弦，再由同角平方关系算出夹角正弦，最后代入三角形面积公式求出面积．
【详解】由题可得，，，则 ，，
，，，
所以，
因为，所以，
所以．
13. 对于以下四个命题：
① 如果是第一象限的角，那么也是第一象限的角；
② 如果，且，那么；
③ 设，如果，且，那么；
④ 设，已知数列 的前项和为，则数列 为等比数列的充要条件是 ．
其中真命题的个数是 （ ）．
A. 0B. 1
C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】①是第一象限的角，则2kπ2026 ，
n>1+lg22025 ,因10=lg22100 ，
故在kπ−π2,kπ(k∈Z) 上单调递减，
因为x∈kπ,kπ+π2(k∈Z) ，2x∈2kπ,2kπ+π(k∈Z) ，
又在2kπ,2kπ+π(k∈Z) 单调递减，且2+cst>0 ，
所以y=2+cs2x 在kπ,kπ+π2(k∈Z) 单调递减，且y=2+cs2x>0 ，
故在kπ,kπ+π2(k∈Z) 上单调递增；
由单调性可知，当x=kπ,k∈Z 时，取得最小值1，
当x=kπ+π2,k∈Z 时，取得最大值3；
由的最小正周期T=2π2=π ，
则fx+π=32+cs2x+2π=32+cs2x=fx，
故的最小正周期为π 周期函数；
（2）在一个周期内的大致图像如下：
对称轴为(k∈Z) ．
证明 方法1：fkπ2−x=32+cs2kπ2−x=32+cskπ−2x
=32+cskπ−2x−2kπ=32+cs−kπ−2x
=32+cskπ+2x=32+cs2kπ2+x=fkπ2+x．
方法2：f(kπ−x)=32+cs2(kπ−x)=32+cs(2kπ−2x)
=32+cs(−2x)=32+cs2x=f(x) ．
所以，直线，(k∈Z) 为其对称轴．
【解析】
【分析】（1）由奇偶性的定义，即可判断奇偶性，结合余弦函数的单调性和周期性可判断的单调性和周期性，进而确定最值；
（2）法一：由fkπ2−x=fkπ2+x确定对称性，法二：由f(kπ−x)=fx确定对称性.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
19. （1）在平面直角坐标系中，已知向量a=−3,4，b=k,12．
① 若，求实数k 的值；
② 若，求实数k 的值．
（2）现将平面直角坐标系中轴保持不动，y 轴以坐标原点O 为中心旋转一个角，使得∠xOy=θ (0