第三章 整式及其加减 - 初中数学七年级上册 单元测试卷（北师大版2024）

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第三章 整式及其加减（单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列代数式中，①；②；③；④千米．符合代数式书写要求的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查代数书写方法，解题的关键是掌握代数式的书写规范：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．据此依次分析进行判断． 【详解】解：①：带分数应转化为假分数，正确写法为； ②：在含有字母的除法中，一般写成分数形式，正确写法为； ③：该代数式书写符合规范； ④千米：单位应加在整个表达式后，需用括号括起，正确写法为千米； 综上所述，符合书写要求的只有③，共个． 故选：A． 2．若与是同类项，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，以及有理数的乘方运算，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数相同的项是同类项，据此求出，即可求解的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故选：A． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号，合并同类项，根据去括号法则，合并同类项法则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A． ，本选项的计算错误； B． 与b不是同类项，不能合并，本选项的计算错误； C． ，本选项的计算正确； D． ，本选项的计算错误． 故选：C． 4．在代数式中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查整式，根据整式的定义（单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母），逐一判断各代数式是否为整式． 【详解】解：是多项式，属于整式； 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单项式，属于整式； 的分母含字母，不是整式； 是单项式，属于整式． 综上，整式共有5个． 故选：C． 5．下列说法正确的是（   ） A．多项式的二次项是 B．单项式的次数是 C．不是整式 D．多项式是三次三项式 【答案】A 【分析】本题考查了多项式、单项式和整式，根据多项式的概念、单项式次数的定义以及整式的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、多项式的二次项是，该选项说法正确，符合题意； 、单项式的次数是，该选项说法错误，不合题意； 、是整式，该选项说法错误，不合题意； 、多项式是二次三项式，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 6．已知a，b为有理数，且，则的值为（    ） A．4 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，求代数式的值，熟练掌握绝对值的非负性及求代数式的值是解题的关键．由绝对值的非负性可知，，，将 a和b的值代入计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， 原式． 故选：D． 7．按照一定规律排列的式子：，，，……，第个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式有规律排列问题，关键是明白单项式的分母是奇数，x的指数是偶数．由单项式排列的规律，分母是奇数，x的指数是偶数，即可求解． 【详解】解：按照一定规律排列的式子：，，，，，，则第个式子是， 故选：B． 8．若，则的值为（   ） A．或 B． C．或0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的混合运算，分类讨论是解答本题的关键．由得，代入，然后分两种情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式， 当时，原式． 故选B． 9．嘉嘉和淇淇对5个正整数进行规律探究，嘉嘉写出三个连续偶数：，淇祺写出两个连续奇数：，若，则的值一定能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的加减运算的应用，将三个连续偶数和两个连续奇数用代数式表示，利用已知条件建立方程，化简目标表达式，结合奇偶性分析得出结果. 【详解】解：∵三个连续偶数：，两个连续奇数： 则 ，， ， ∴， ∴， ∴ ， 设，为奇数，则为正奇数， ∴， ∴的值一定能被整除， 故选：B 10．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”如图（1），该幻方中每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图（2）所示的“幻方”，其中正方形顶点上有两个数和2，则与的乘积为（   ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用幻方“每个三角形的三个顶点数字之和与中间正方形四个顶点数字之和相等”这一条件，列出等式，通过等式变形求出和的值，进而计算乘积．本题主要考查等式性质与代数式求值，利用幻方条件列等式，通过移项变形求、是解题关键． 【详解】解：由含、、相关的三角形与正方形得， , ； 由含、、相关的三角形与正方形得， ， ； ∴. 故选： ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式的系数．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为： 12．列式表示“x的3倍与y的4倍的和”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据先说先算的原则列式求解． 【详解】解：x的3倍与y的4倍的和表示为：， 故答案为：． 13．将多项式按字母进行降幂排列： 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，从左往右把原多项式按照b的指数从大到小排列即可． 【详解】解：将多项式按字母进行降幂排列为， 故答案为：． 14．如果多项式与多项式的差不含二次项，那么常数 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，多项式不含某项的问题，先列式求出两个多项式的差，再根据多项式不含二次项可得二次项的系数等于，解之即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵差不含二次项， ∴， ∴， 故答案为：． 15．某同学在做一个整式加上时，把加上误看成了减去，结果做出的答案是，那么正确的答案是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减法运算，需正确去括号并合并同类项是解决本题的关键． 先根据错误运算计算出原整式，再根据正确计算作加法求解即可． 【详解】解：设原整式为A， ∵把加上误看成了减去， ∴， 解得， 则正确计算应为： ． 故答案为： ． 16．有理数和在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果为 【答案】 【分析】此题考查了利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式加减等知识，数形结合是解题的关键．根据题意得到，则，，据此化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握去括号法则及合并同类项法则． （1）去掉括号后，合并同类项即可； （2）去掉括号后，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减中的化简求值，先利用整式的加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， ，， 原式． 19．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，n是单项式的系数． (1)填空：_____，_____，______，______； (2)求的值． 【答案】(1)0，1，， (2) 【分析】本题主要考查代数式的值、相反数、倒数、绝对值及单项式，熟练掌握各个概念是解题的关键； （1）根据相反数、倒数、绝对值及单项式的系数可进行求解； （2）把（1）中的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为0，1，，； （2）解：∵，，，， ∴， ∴ ． 20．如图，这是一个数值运算程序： (1)若输入的是，经历程序运算2次，求第2次输出的结果． (2)若输入的是，经历程序运算2025次，求第2025次输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求代数式的值，数字类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意列式计算得出规律运算每次一个循环，即可得解． 【详解】（1）解：若输入的是，运算次后结果为， 运算次后结果为，即第2次输出的结果为； （2）解：若输入的是， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， …， 故运算每次一个循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为． 21．某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价180元，运动袜每双定价30元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．（客户选择一种方案购买） 方案：买一双运动鞋送一双运动袜； 方案：运动鞋和运动袜都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买运动鞋6双和运动袜双． (1)若按方案购买，需付款___________元，若按方案购买，需付款___________元； (2)当时，通过计算说明该客户选择哪种方案购买更省钱？ 【答案】(1) (2)该客户选择方案购买更省钱 【分析】本题考查代数式求值及列代数式，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键． （1）根据题意列得对应的代数式即可； （2）将代入（1）中求得的代数式中比较结果的大小即可． 【详解】（1）解：按方案购买，需付款元， 若按方案购买，需付款元， 故答案为：； （2）解：当时，选择方案需要付款（元）， 选择方案需要付款（元）． ∵， ∴该客户选择方案购买更省钱． 22．数学上，我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例：，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： (1)______； (2)计算：； (3)已知实数a，b满足行列式，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由=，可得，再计算可得答案； （2）先推导规律：，再利用规律进行计算即可得到答案； （3）由，可得：，再化简代数式可得：原式，再代入求值可得答案． 【详解】（1）解：（1）， 故答案为：． （2）由 （为正整数） （一共个） （3） 【点睛】本题考查的是定义情境下的有理数的混合运算，整式的乘法运算，合并同类项，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． 23．理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)11 (3)28 【分析】本题考查了代数式求值，利用整体代入思想求解是解答的关键． （1）根据已知等式可得，代入代数式，即可求解． （2）将代入代数式，即可求解． （3）两式相加后整体思想代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2026； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴， 即， ∴． 24．定义：若，则称a与b是关于7的幸福数． (1)10与________是关于7的幸福数，与________是关于7的幸福数．（填一个含x的代数式） (2)若，，判断a与b是否是关于7的幸福数，并说明理由． (3)若，，且c与d是关于7的幸福数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1)，； (2)与是关于7的幸福数，理由见解析 (3)非负整数的值为0或1或3 【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程： （1）根据幸福数的定义列式求解即可； （2）将和相加，化简，看最后的结果是否为3即可； （3）根据，，且与是关于3的幸福数，可以得到和的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当为正整数时，非负整数的值． 【详解】（1）解：， 10与是关于7的幸福数，， ， 与是关于7的幸福数， 故答案为：，； （2）解：与是关于7的幸福数， 理由：，， ， 与是关于7的幸福数； （3）解：，，且与是关于7的幸福数， ， ， ， ∴， 为非负整数，x为正整数， 可能是1，2，4， 当时，，得； 当时，，得， 当时，，得， 非负整数的值为0或1或3． 25．有这样一道题：关于x的多项式与的和的值与字母x的取值无关，求a的值．通常的解题方法是：两式相加后，把x看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，所以，则． 【初步尝试】 （1）若关于x的多项式的值与x无关，求a的值． 【深入探究】 （2）7张如图1的小长方形，长为n，宽为m，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为． ①若，求的值． ②当的长变化时，的值始终保持不变，求m与n的等量关系． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）①先求出、，从而可得的值． ②根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】解：（1）， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得：． （2）①根据题意可得，， ，， 则， ， 则． ②设， 由图可知，， 则 ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与的值无关， ∴， ．