第三章 整式及其加减 - 初中数学七年级上册 考点梳理+题型强化练习（北师大版2024）

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第四章 整式及其加减 知识点一 代数式代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数或字母也是代数式。其书写格式有特定要求，如数字与字母相乘时，数字应写在字母前面等。知识点二 整式的相关概念1.单项式：由数或字母的积组成的式子，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数和是次数。2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫项，不含字母的项叫常数项，次数最高项的次数是多项式的次数。3.整式：单项式和多项式统称为整式。知识点三 整式的加减1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。2.去括号法则：括号前是“+”，去掉括号和它前面的“+”，原括号里各项符号不变；括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”，原括号里各项符号都要改变。3.整式加减运算法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项。知识点四 探索与表达规律探索与表达规律：包括图形中的规律、数字中的规律、算式中的规律等，体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想。题型01 代数式的识别【典例1】（25-26七年级上·全国·阶段练习）下列式子中，是代数式的是（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了代数式的定义，解题的关键是明确“代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式，不含有等号、不等号等关系符号”．根据代数式的定义，逐一分析选项：判断每个选项是否含有等号、不等号等关系符号，不含关系符号且符合代数运算规则的即为代数式，由此筛选出正确选项．【详解】解：根据代数式的定义（不含等号、不等号等关系符号，由数、字母及代数运算组成）：A、含有等号，是等式，不是代数式，此选项不符合题意；B、含有不等号，是不等式，不是代数式，此选项不符合题意；C、由数、字母及减法运算组成，不含关系符号，是代数式，此选项符合题意；D、含有等号，是等式，不是代数式，此选项不符合题意；故选：C．【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子中，不属于代数式的是（   ）A．B．C．0D．【答案】D【分析】本题考查代数式的定义，解题的关键是熟记代数式的定义．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式，据此判断即可．【详解】解：A．是代数式；B．是代数式；C．0是代数式；D．不是代数式．故选：D．【变式2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ）A．7个B．6个C．5个D．4个【答案】C【分析】本题考查代数式，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可．【详解】解：①是代数式；②是代数式；③是代数式；④是代数式；⑤不是代数式；⑥不是代数式；⑦是代数式．综上，代数式有①②③④⑦，共5个．故选：C．题型02 代数式书写方法【典例2】（25-26七年级上·全国·期中）下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项．【详解】解：A、应写成，该选项错误，不符合题意；B、应写成，该选项错误，不符合题意；C、应写成，该选项错误，不符合题意；D.、该选项正确，符合题意；故选：D．【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）下列代数式书写正确的有（    ）①；②；③；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号，逐一判断即可，解题的关键是正确理解代数式的书写要求．【详解】解：①应写成；②书写正确；③书写正确；④应写成；⑤，书写正确．正确的有②③⑤，共3个，故选：C．【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（　）A．个B．个C．个D．个【答案】C【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键．【详解】解：符合代数式书写要求；应改为；符合代数式书写要求；符合代数式书写要求；应改为；综上可知符合代数式书写要求的有，，，共个，故选：．题型03 单项式、多项式、整式的判断【典例3】（25-26七年级上·上海·阶段练习）在整式中，单项式的个数是（    ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行逐个分析，即可作答．【详解】解：依题意，单项式为，，∴单项式的个数是2个，故选：C．【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）下列各式：，，，，，中多项式有（    ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】本题考查了多项式的判断，熟练掌握多项式的识别是解题的关键．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．根据多项式的定义判断即可．【详解】解：，是单项式，代数式分母中还有字母，不是整式，不是多项式，多项式有：，，，共3个．故选：B．【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）在代数式：中，整式有（    ）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【分析】本题考查整式的判断．整式包括单项式和多项式，用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据定义判断即可．【详解】解：所给代数式中：是单项式，属于整式；是多项式，属于整式；分母中含未知数，不是整式；综上可知，整式有7个，故选D．题型04 多项式系数、指数中字母求值【典例4】（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ）A．0B．4C．4或0D．-4或1【答案】A【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键．根据多项式的定义得且，求解即可．【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式，∴且，∴，故选：A．【变式1】（24-25七年级上·河南许昌·期中）如果多项式是关于，的五次三项式，则的值为（   ）A．B．0C．D．1【答案】D【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中字母的指数总和的最大值即为多项式的次数．根据多项式的相关概念进行解答即可．【详解】解：∵多项式是关于，的五次三项式，∴，，∴．故选：D．【变式2】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）多项式是四次三项式，是最高次项的系数，则的值为（    ）A．1B．C．3D．【答案】A【分析】本题考查多项式的定义、绝对值，根据“多项式中，次数最高的项的次数叫做多项式的次数”可得，确定，结合题意得出，再求解即可．【详解】解：∵多项式是四次三项式，∴，即，∴，∵，∴，∴故选：A．题型05 同类项与合并同类项【典例5】（25-26七年级上·上海·阶段练习）下列各对单项式中，不是同类项的是（    ）A．1与2B．与C．与D．与．【答案】C【分析】本题主要考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同，①所含字母相同，②相同字母的指数相同．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项进行判断即可．【详解】解：A、所有常数项都是同类项，1与2是同类项，故本选项不符合题意；B、与符合同类项的定义，是同类项，故本选项不符合题意；C、与所含字母不同，不是同类项，故本选项符合题意；D、与符合同类项的定义，是同类项，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列计算正确的是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了整式的加减运算．合并同类项时直接系数相加减，字母以及字母的指数不变，不是同类项的加减不能合并，据此作答即可．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项符合题意；D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；故选：C．【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运算中，正确的是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则判断即可．【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意；B、，计算正确，符合题意；C、不是同类项，不能合并，故不符合题意；D、，计算错误，故不符合题意；故选：B．题型06 已知同类项求指数中字母或代数式的值【典例6】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若与是同类项，则 ．【答案】【分析】本题考查了同类项的概念，即“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”，属于基础题型，关键要令相同字母的指数相等列式计算．根据同类项的定义“相同字母的指数相等”，列式求解即可．【详解】解：由题意得，，．故答案为：．【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）若单项式与是同类项，则的值为 ．【答案】5【分析】本题考查同类项的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．根据单项式与是同类项，得到，求出，再代入，进行计算即可．【详解】解：∵单项式与是同类项，∴，解得，∴．故答案为：5．【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知单项式与是同类项，则 ．【答案】8【分析】本题主要考查了同类项的定义及指数的性质，掌握同类项的定义和指数的性质是解题的关键．利用同类项的定义，即相同字母的指数相同，分别求出和的值，然后将其代入表达式中计算．【详解】解：∵ 与是同类项，∴ ，，解得，，∴ ，故答案为：8．题型07 程序流程图与代数式求值【典例7】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，这是一个运算程序示意图，不论输入的x为何值，输出的y总是一个定值（不变的值），则 ．【答案】3【分析】本题考查运算程序图和代数式值的无关问题，首先根据运算程序示意图，得到运算的代数式，再根据输出值为定值，可知代数式的值与x无关，则合并后的代数式中x的系数为0，据此可得a的值．【详解】解：根据运算程序示意图可知∶，整理得：，∵不论输入的x为何值，输出的y总是一个定值，∴，∴，故答案为：3．【变式1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）根据如图所示的运算程序，若输入x，y的值分别为，，则输出的值为 ．【答案】【分析】本题主要考查了代数式求值．根据运算程序，把、分别代入进行计算即可得解．【详解】解：当、时，，所以，输出的值是．故答案为：．【变式2】（24-25七年级上·福建福州·期中）远古时期，人们通过绳子打结的方式来记录数量，如图1为一队互相合作打猎的猎人在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，记录了他们一天之内所打的猎物数量．若把这个量的十进制数输入如图2的程序计算，则最后输出的结果是 ．【答案】【分析】本题考查有理数的乘方运算以及代数式求值，先根据图1，得出，再代入程序计算，即可求解．【详解】解：依题意，∴输出故答案为：．题型08 整式的加减运算【典例8】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】此题主要考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则．（1）（2）（3）首先去括号，然后合并同类项即可求解．【详解】（1）解：原式．（2）原式．（3）原式．【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键：（1）去括号，合并同类项即可；（2）去括号，合并同类项即可．【详解】（1）解：原式；（2）原式．【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．（1）直接去括号进而计算加减即可得出答案；（2）直接去括号进而计算加减即可得出答案．【详解】（1）解：；（2）解：题型09 整式的加减中的化简求值【典例9】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）先化简，再求值：，其中，，【答案】【分析】本题考查了整式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键，先去括号，再合并同类项进行计算即可，化简后将、、的值代入即可【详解】解：原式            当，，时，原式∴ 所求代数式的值为10【变式1】（25-26七年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：(1)，其中；(2)，其中．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查整式的化简求值：（1）去括号后合并同类项，代入即可得到答案；（2）根据绝对值和完全平方的非负性求出x，y，展开化简原式，代值计算即可．【详解】（1）解：原式，当时，原式；（2）解：∵，∴要使，则，解得，∴原式．【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：(1)，其中．(2)，其中．【答案】(1)，(2)，【分析】本题主要考查了整式的化简求值、非负数的性质等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键．（1）先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将代入计算即可；（2）先根据非负数的性质求得a、b的值，再根据整式的四则混合运算法则化简，然后将a、b的值代入计算即可．【详解】（1）解：，当时，原式.（2）解：∵，∴，即，；当时，原式．题型10 整式的加减中的无关问题【典例10】（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果．(1)计算的表达式；(2)求正确的结果的表达式；(3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值．【答案】(1)(2)(3)结果的大小与的取值无关，0【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键；（1）由得，将C、A代入计算可得；（2）将A、B代入计算即可；（3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可.【详解】（1）解：∵∴.故的表达式为.（2）解：.故正确的结果的表达式为.（3）解：由（2）得∵代数式中无字母c∴其值与c无关是对的将，代入得：.【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）已知，是关于的多项式，其中为常数．(1)若的值与的取值无关，求的值．(2)在（1）的条件下，先化简，再求值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，整式的加减-化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键．（1）求出的结果，再根据的值与x的取值无关，可得含x项的系数为0，据此即可列方程求解；（2）先对整式进行化简，再把（1）中所得m、n的值代入化简后的结果中计算即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵的值与的取值无关，∴，∴；（2）原式，∵，∴原式．【变式2】（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得．【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值．【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义.（1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可；（2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案.【详解】（1）解：由题意，得．∵的值与的取值无关，∴，解得．（2）由题意，得，∴．的值始终保持不变，，即．题型11 带有字母的绝对值化简问题【典例11】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简．【答案】【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较大小，化简绝对值，整式的加减运算，正确掌握相关性质是解题的关键．观察数轴得，整理得，再结合绝对值的性质化简，即可作答．【详解】解：观察数轴得，∴∴．【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）已知有理数在数轴上的对应点如图所示：(1)______0，______0；(2)化简：．【答案】(1)＞，＜(2)【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算是解题的关键；（1）由数轴可知，则有，然后根据有理数的加减运算可进行求解；（2）由（1）可去绝对值，然后问题可求解．【详解】（1）解：由数轴可知，则有，∴；故答案为＞，＜；（2）解：由（1）可得：．【变式2】（25-26七年级上·四川自贡·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图所示，(1)用“”或“”填空．______0，______0，______0；(2)______．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，绝对值的意义，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据数轴上a、b、c三点的位置即可得出a，b，c的大小，进而求解即可．（2）根据（1）得出的a，b，c的大小化简绝对值，然后去括号，合并同类项即可．【详解】（1）解：由图可知，，，∴，，，故答案为：；（2）解：，故答案为：．题型12 整式的加减中的新定义型问题【典例12】（23-24七年级上·广东河源·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于2的平衡数．(1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）；(2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由．【答案】(1)，(2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析【分析】本题考查了利用整式加减解决新定义问题的能力，关键是能根据题目定义准确列式、计算．（1）根据题目定义进行整式运算即可；（2）通过计算的值与2进行比较即可．【详解】（1）解：设3的关于2的平衡数为a，则，解得，3与是关于2的平衡数；设的关于2的平衡数为b，则，解得，与是关于2的平衡数，故答案为：，；（2）a与b是关于2的平衡数，理由如下：，，，，a与b是关于2的平衡数．【变式1】（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）对于任意代数式，，定义，例如．(1)的值为______；(2)求的值；(3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值．【答案】(1)(2)23(3)37【分析】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则，（1）直接根据定义进行运算即可；（2）先计算出，再计算即可；（3）先利用定义进行化简，再代值求解即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：，，故．（3）解：，当时，原式．【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数．(1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数．(2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由．(3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值．【答案】(1)4；；(2)a与b是关于6的实验数，理由见解析；(3)【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键．（1）根据题中给出的定义计算即可；（2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是；（3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值．【详解】（1）解：，∴2与4是关于6的实验数；，∴与是关于6的实验数，故答案为：4；；（2）解：a与b是关于6的实验数，理由：，∴a与b是关于6的实验数；（3）解：∵c与d是关于6的实验数，且∴，．题型13 整式的加减运算与应用【典例13】（24-25七年级上·广东肇庆·期末）如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米．(1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示）(2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长．【答案】(1)喷泉的长为米，宽为米(2) 喷泉的周长为米，当时，周长为35.6米【分析】本题主要考查了根据题意列代数式并求值，整式加减运算，列出代数式是解题的关键．（1）列出长为：，宽为：，即可求解；（2）可求周长为，化简代值计算，即可求解．【详解】（1）解：由题意得：长为：（米），宽为：（米），答：喷泉的长为米，宽为米；（2）由题意得：喷泉的周长为：当时，原式．故当米时，喷泉的周长为米．【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）学校计划将门口如图①所示的花坛进行改造，于是向同学们征集设计方案，要求的长度为．已知原设计是一个以为直径的半圆，如图②．小明画的设计图如图③所示，由三个分别以为直径的半圆组成（取3）．(1)若要用围栏将花坛围起来（边不需要用围栏），则图③中的以为直径的半圆花坛分别需要围栏________，________，________．（用含的式子表示）(2)已知改造围栏的费用为10元／米，则图②和图③两种方案的花费分别是多少元？【答案】(1)，，(2)两种方案在围栏上的花费相同，都是元【分析】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，掌握圆的周长公式．（1）分别求出半圆的周长即可；（2）求出两种方案所需费用，再比较可得答案．【详解】（1）解：以为直径的半圆花坛需要围栏：；以为直径的半圆花坛需要围栏：；以为直径的半圆花坛需要围栏：；（2）由题意，得题图②中的花坛需要围栏，所需费用为（元）；题图③中的花坛需要围栏，所需费用为（元）．故两种方案在围栏上的花费相同，都是元．【变式2】（2025七年级上·湖北·专题练习）现有一种新型网约车是一款全自动无人驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如下表：（注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程公里以内（含公里）不收远途费，超过公里的，超出部分每公里加收1元．）(1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则需付车费多少元？(2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简）(3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？【答案】(1)元(2)当时，小明付费元；当时，小明付费元(3)分钟或分钟【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键．（1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答；（2）根据或分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可；（3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可．【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时，小东需付车费：（元），答：需付车费55元．（2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：（元）；当时，小明应付车费：（元）．综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元．（3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里，小张付费y元，则小王付费元，当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟），∴行车时长差为：（分钟）；当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟），小王行车时长：（分钟），∴行车时长差为：（分钟）．答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟．题型14 用代数式表示数、图形的规律【典例14】（25-26七年级上·云南昆明·阶段练习）观察下列等式：，，，…将以上三个式子两边分别相加得：．(1)猜想并写出：______；（n为正整数）(2)计算：．【答案】(1)(2)【分析】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律并灵活运用是解答的关键．（1）利用分母是两个连续的自然数的乘积，分子是1的分数可以拆成分子是1，分母是这两个自然数的差，进而总结出规律；（2）利用（1）中的规律，利用裂项相消法即可得出计算结果．【详解】（1）解：由所给等式的规律，得，故答案为：；（2）解： ．【变式1】（2025七年级上·内蒙古·专题练习）当砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；… 【规律总结】(1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个；(2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）；(3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？【答案】(1)60，5(2)，n(3)23400元【分析】本题主要考查图形的规律，有理数混合运算的应用，理解题意找到规律是解题的关键．（1）根据已知图形进行推理即可得到答案；（2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形；（3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行计算即可．【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个；当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个；当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…，当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个．（2）解：，n；设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个；铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个；铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个；当地砖铺设了n圈时，地砖的总数，曲线围成的封闭图形有个；（3）解：曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，当时，地砖的总数为（块）．每块地砖的价钱为18元，共需花费的费用为（元）．答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元．【变式2】（25-26七年级上·全国·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在横线上写出相应的等式： (2)请写出第个等式： ；(3)利用（2）中的等式计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握通过观察点阵图和等式找到连续奇数和的规律是解题的关键．（1）观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方，据此写出等式；（2）根据规律总结第个等式；（3）利用（2）中规律，将所求式子转化为从开始到的连续奇数和减去从开始到的连续奇数和进行计算．【详解】（1）解：观察前面等式，等号左边是连续奇数相加，等号右边是相加奇数个数的平方，；故答案为：；（2）解： 所以；故答案为：；（3）解：．【变式3】（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．(1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表：(2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【答案】(1)13，17,(2)不能，理由见详解【分析】本题考查了图形规律，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）观察题干划分的图形特征，得出第n次划分，得出共有个正方形，即可作答．（2）依题意，列式，得不是整数，即可作答．【详解】（1）解：根据题干分析可得：第1次划分，得出个正方形；第2次划分，根据图形得出共有个正方形； 第3次划分，根据图形得出共有个正方形；第4次划分，根据图形得出共有个正方形，……以此类推：写成第n次划分，得出共有个正方形；即填表如下：（2）解：不能得到103个正方形，理由如下：由（1）得第n次划分，得出共有个正方形；∴令，则不是整数，故舍去；∴不能得到个正方形． 一、单选题1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列计算正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查整式的加减，掌握知识点是解题的关键．根据整式的加减，逐项计算判断即可．【详解】解：A． ，该项计算错误，不符合题意；B． ，该项计算错误，不符合题意；C． ，该项计算正确，符合题意；D． ，该项计算错误，不符合题意．故选：C．2．（25-26七年级上·天津河东·期中）下列结论中正确的是（　　）A．单项式的系数是，次数是B．单项式的次数是，没有系数C．多项式是三次多项式D．在，，，，中，整式有个【答案】C【分析】本题主要考查了多项式和单项式，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的有关概念．A、选项均根据单项式的次数和系数的定义，进行判断即可；C．根据多项式的有关概念进行判断即可；D．根据整式、多项式和单项式的有关定义进行判断即可．【详解】解：单项式的系数是，次数是，此选项的结论错误，故此选项不符合题意；B．单项式的次数是，系数是，此选项的结论错误，故此选项不符合题意；C．多项式是三次三项式，此选项的结论正确，故此选项符合题意；D．在中，整式有，，，，共个，此选项的结论错误，故此选项不符合题意；故选：．3．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第 个数是（  ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查规律问题，属于理解题型，关键在于依次观察分子、分母，用含的式子表示规律．先判断符号，奇数项为正，偶数项为负，再根据分子排列规律，可得第个数为，根据分母排列规律，可得第个数为，最后把代入即可．【详解】观察这组数，可得第个数为负，分子为，分母为，第个数是．故选C．4．（25-26七年级上·全国·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值为（   ）A．3B．3或C．4D．3或4【答案】A【分析】此题考查了代数式求值，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用相反数，倒数，以及绝对值的定义分别求出，以及m的值，代入所求式子计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：，，或，当时，原式；当时，原式．故选：A．5．（24-25七年级上·广东广州·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，若输入x的值为10，则输出的值为（    ）A．5B．6C．8D．10【答案】C【分析】本题主要考查代数式求值，根据数值转换机的要求需要两次输入才行．根据数值转换机列代数式，再代入计算即可求解．【详解】解：由题意得当时，，故继续输入，当时，，故输出的值为8．故选：C．二、填空题6．（24-25七年级下·全国·期中）的系数是 ，次数是 ．【答案】 3【分析】本题主要考查了单项式的概念，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据单项式系数、次数的定义求解即可．【详解】解：的系数是，次数是．故答案为：，3．7．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ．【答案】1【分析】本题考查非负数的性质，根据可知，从而解出a、b的值，从而得解．掌握非负数的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故答案为：1．8．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）若单项式与可合并为，则 ．【答案】【分析】本题考查了合并同类项、同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据题意得出单项式、与是同类项，然后根据同类项的定义求解，再计算即可．【详解】解：单项式与可合并为，单项式、与是同类项，，，，，，，，故答案为：．9．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有个，在图2中，互不重叠的三角形共有个，在图3中，互不重叠的三角形共有个，……，则在第5个图形中，互不重叠的三角形共有 个；在第个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含的代数式表示）．【答案】 【分析】本题考查了图形的规律探索，解题的关键是数形结合．根据题意，结合图形，显然后一个图总比前一个图多个三角形．则在第个图形中，互不重叠的三角形共有，第个图形中，互不重叠的三角形共有个．【详解】解：在图1中，互不重叠的三角形共有个，在图2中，互不重叠的三角形共有个，在图3中，互不重叠的三角形共有个，……，则在第5个图形中，互不重叠的三角形共有个，在第个图形中，互不重叠的三角形共有个，故答案为：，．10．（20-21七年级上·辽宁辽阳·期中）若互为相反数，互为倒数， 到的距离是3，则的值为 ．【答案】或．【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，相反数、倒数的定义，数轴上两点之间的距离，求代数式的值，正确分类讨论是解题关键．利用相反数以及互为倒数、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，数轴上表示数的点到的距离是3，∴，，或，当时，；当时，；故的值为或．故答案为：或．三、解答题11．（25-26七年级上·全国·期中）合并同类项(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】此题考查了整式的加减，掌握去括号运算并正确合并同类项是解题的关键．（1）直接合并同类项，进而得出答案；（2）直接去括号，再合并同类项得出答案．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式12．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先化简，再求值(1)  其中 ．(2)   其中 ．(3) 其中．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】本题考查整式的加减求值，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．（1）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子即可解答本题；（2）合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题；（3）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（1）解：．当时，原式．（2）解：当时，原式．（3）解：当时，原式13．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）已知多项式，．(1)若的值与x的取值无关，求m，n的值；(2)在（1）的条件下，求的值．【答案】(1)(2)11【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减运算法则，是解题的关键：（1）求出的值，根据的值与x的取值无关，得到含的项的系数为0，求出m，n的值即可；（2）去括号，合并同类项，将m，n的值代入，进行计算即可．【详解】（1）解：；∵的值与x的取值无关，∴，解得：；（2）原式；当时，原式．14．（24-25七年级上·广东中山·期中）中山市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是万元，面积如图所示（单位：，卫生间的宽未定，设宽为），售房部为购房者提供了以下两种优惠方案：方案一：整套房的单价为万元，其中厨房可免费赠送一半的面积；方案二：整套房按原销售总金额的9折出售．(1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额；(2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？【答案】(1)该户型商品房的面积为，方案一中购买一套该户型商品房的总金额为万元，方案二中购买一套该户型商品房的总金额为万元(2)方案二更优惠，优惠万元【分析】本题考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键．（1）先求出该户型商品房的面积，再根据两种方案分别列式计算即可；（2）把分别代入两种方案表示总金额的整式计算即可．【详解】（1）解：该户型商品房的面积为（）；方案一中购买一套该户型商品房的总金额为（万元）；方案二中购买一套该户型商品房的总金额为（万元）；（2）解：当时，（万元），（万元），（万元），所以方案二更优惠，优惠万元．15．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．(1) _____0，_____0，_____0（请用“”“”填空）；(2)化简：．(3)化简：的值．【答案】(1)；；(2)0(3)1【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负以及化简绝对值等知识．（1）根据数轴可知，，进而可判断式子的正负．（2）根据数轴可知，进而可化简绝对值．（3）根据数轴可知，，进而可化简绝对值．【详解】（1）解：从数轴可知：，，∴，，，故答案为：；；．（2）解：∵，（3）解：∵，∴，，，16．（20-21七年级上·安徽阜阳·期末）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：第3个等式：，第4个等式：第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式： ；(2)猜想第n个等式： （用含n的等式表示）．【答案】(1)(2)【分析】本题考查规律型：数字的变化类，列代数式，解题的关键是根据数字的变化寻找规律，还考查了分式的混合运算．（1）寻找规律，利用规律写出第6个等式；（2）猜想的第个等式为，利用分式运算进行证明即可．【详解】（1）解：根据已知等式可知，第6个等式为：，故答案为：；（2）第个等式为：，证明：左边右边，等式成立．17．（24-25七年级上·福建漳州·期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案：甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球；乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款．已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()．(1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示)(2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？(3)若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由．【答案】(1)，；(2)两家网店一样合算；(3)在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球，理由见解析．【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算．(1)根据题目中优惠方案：可得答案；(2)结合(1)，求出当时，两个网店所需付款，再比较即可得出答案；(3)首先求得当时，两个网店所需付款，再计算在甲网店买20副球拍100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球所需费用，比较即可获得答案．【详解】（1）解：∵甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球，∴若在甲网店购买，需付款元，∵乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款，∴若在乙网店购买，需付款元，故答案为：，；（2）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式，在甲网店购买，需付款： (元)，在乙网店购买，需付款： (元)，∵，∴此时两家网店一样合算；（3）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式，甲： (元)，乙： (元)，若在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球，此时需付款：元，∵，最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球．18．（25-26七年级上·重庆·开学考试）如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：第1次把它分成4个小正方形，第2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成4个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成4个小正方形……依此操作下去．(1)请通过观察和猜想，将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数填入下表：(2)请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【答案】(1)13，17,(2)不能，理由见详解【分析】本题考查了图形规律，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）观察题干划分的图形特征，得出第n次划分，得出共有个正方形，即可作答．（2）依题意，列式，得不是整数，即可作答．【详解】（1）解：根据题干分析可得：第1次划分，得出个正方形；第2次划分，根据图形得出共有个正方形； 第3次划分，根据图形得出共有个正方形；第4次划分，根据图形得出共有个正方形，……以此类推：写成第n次划分，得出共有个正方形；即填表如下：（2）解：不能得到103个正方形，理由如下：由（1）得第n次划分，得出共有个正方形；∴令，则不是整数，故舍去；∴不能得到个正方形．教学目标1. 概念理解：通过实例掌握单项式、多项式、整式及同类项的概念，明确其区别与联系，能确定单项式系数、次数和多项式的项与次数。2. 运算掌握：理解并运用合并同类项、去括号法则，能规范进行整式的加减运算及化简求值。3. 能力发展：在具体情境中用代数式表示数量关系，探索图形或数列规律，发展符号意识与建模思想。教学重难点1.重点（1）核心概念与运算：同类项的识别、合并同类项的方法，以及整式加减的完整运算流程（去括号→合并同类项）。（2）数量关系表达：从实际情境或几何问题中抽象出数量关系，并用代数式准确表示。2.难点（1）概念与符号辨析：易混淆同类项的“两相同”条件，去括号时对负号处理不当导致符号错误。（2）抽象与应用转化：难以将实际问题或图形规律转化为整式表达式，综合运算中易漏项、跳步。计费项目里程费时长费远途费单价元/公里元/分钟元/公里次数1234…n正方形总个数59…次数1234…n正方形总个数591317…次数1234…n正方形总个数59…次数1234…n正方形总个数591317…