第四章 一次函数（复习课件）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

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单元复习课件 第四章 一次函数 北师大版2024·八年级上册学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.深入理解一次函数的概念，明确其表达式 y=kx+b（k、b 为常数，k＜0）中 k、b 的意义，能根据实际问题或给定条件确定一次函数的表达式。3.透彻理解一次函数与方程（组）、不等式的关系，能利用一次函数的图象求解一元一次方程、二元一次方程组的解以及一元一次不等式的解集；能在实际场景（如行程问题、计费问题、方案选择问题等）中，构建一次函数模型，运用一次函数知识解决问题，体会“数学建模”思想，提升知识应用与实践思维的灵活性。2. 精准把握一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象的绘制方法，理解 k、b 对函数图象走向、与坐标轴交点等的影响；能灵活运用一次函数的性质，解决函数值的增减、图象的平移等问题。 一次函数定义、解析式正比例函数图像的性质一次函数根据函数图像判定系数增减性、与坐标轴的交点坐标图像性质待定系数法求解解析式比较k值根据增减性判断函数值待定系数法求解解析式根据图像，表格求解析式根据系数判断一次函数分步判断参数一次函数变换图像对称与方程不等式上下左右平移求解析式对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比周长比等于相似比面积比等于相似比的平方点的对称图像对称上加下减常数项，左加右减自变量关谁谁不变，原点全都变交点为界，谁上谁大一次函数应用与几何综合最值问题行程问题利润最值方案设计面积问题考点一、函数的有关概念1．在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做_________，数值发生变化的量叫做_________．2．在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有________________与其对应，那么就称y是x的_________，其中_____是自变量，______是因变量．3．函数的表示方法：_________、_________、_________．常量变量唯一确定的值函数xy列表法图像法解析法考点一、函数的有关概念4．自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是_________； 分式函数自变量的取值范围是_________________； 二次根式函数的自变量取值范围是_______________________．易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的_________．全体实数分母不为零的实数被开方数为非负数的实数公共部分考点一、函数的有关概念5．对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这____________．6．画图象的步骤：_________、_________、_________．函数的图象取点描点连线考点二、一次函数的概念1．如果y = kx + b（k、b是常数，k≠0），那么y叫做x的________.2．当b = 0时，一次函数y = kx + b变成称y = kx（k为常数，k≠0），y叫做x的_____________．故正比例函数是特殊的_____________.一次函数正比例函数一次函数考点三、一次函数的的图象1．一次函数的图象：一次函数y = kx + b（k≠0）的图象是一条恒经过点_______和________的直线．2．正比例函数的图象：正比例函数y = kx（k≠0）的图象是一条恒经过原点________和________直线．3．两个函数图像的交点坐标：_______________________________.(0,0)(1,k)(0,b)两个解析式组成的方程组的解。考点四、一次函数的性质一次(正比例)函数的图象与性质1．一次函数图象是一条_______；2．已知___点可以作图，也可求出________；3．交y轴于点______，交x轴于点______；4．过象限、增减性直线两解析式(0,b)考点四、一次函数的性质y随x增大而增大y随x增大而减小一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四考点四、一次函数图象的平移1．一次函数y = kx + b向左平移m个单位后的解析式为___________；2．一次函数y = kx + b向右平移m个单位后的解析式为___________；3．一次函数y = kx + b向上平移m个单位后的解析式为___________；4．一次函数y = kx + b向下平移m个单位后的解析式为___________。y=k(x+m)+by=k(x-m)+by=kx+b+my=kx+b-m考点五、两条直线间的位置关系设直线l₁: y = k₁x + b₁，l₂: y = k₂x + b₂。(1) 相交；(2) 平行；(3) 垂直。补充：若直线y = kx + b经过A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)(x₁≠ x₂)两点，则k = 考点六、一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）关于坐标轴对称后的函数关系式y＝-kx+b-y＝kx+b考点六、一次函数与不等式的关系①当函数y = kx + b的函数值y > 0时，自变量x的取值范围就是不等式__________的解集。②当函数y = kx + b的函数值y < 0时，自变量x的取值范围就是不等式__________的解集。③如果点C的坐标为(a, c)，那么不等式kx + b < k₁x + b_₁的解集是______；不等式kx + b > k₁x + b₁的解集是_______。注意：一次函数谁的图象在上谁大，如图当x > a时y = k₁x + b₁的图象在y = kx + b的图象上方，因此kx + b < k₁x + b₁。kx + b > 0kx + b < 0x > ax < a考点七、一次函数的应用（1）___定实际问题中的变量；（2）建立______________；（3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义；（4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值；（5）写出答案设一次函数表达式题型一、求自变量的取值范围例1：函数 的自变量x的取值范围是（ ）A. x≠2 B. x≥2 C. x > 2 D. x > 2且x≠0 C求函数自变量范围问题，先看函数表达式型：整式函数无限制，全体实数都可行；分式函数分母审，不为零是铁律令；根式函数被开方，非负才能保太平；实际问题结合情，取值范围要对应，各类情况记分明，自变量范围轻松定。题型一、求自变量的取值范围重点总结变式：函数y = \sqrt{2x + 4} - \frac{3}{x - 1}的自变量x的取值范围是____________.解：由题意可得：2x + 4≥0且x - 1≠0，解得x≥- 2且x≠1．∴自变量x的取值范围是x≥- 2且x≠1．故答案为：x ≥- 2且x≠1．题型一、求自变量的取值范围x ≥- 2且x≠1题型二、函数的概念例2：如下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）A分析：根据函数定义，对于x的每一个确定值，y需有唯一值对应。选项A：存在x值对应两个y值，不满足。选项B、C、D：每个x都对应唯一y，满足。答案：A1.明确定义内容——在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数。2.掌握核心思路——识别变化过程中的两个变量，判断对于自变量x的每一个值，因变量y是否有唯一值与之对应，以此确定是否为函数关系。题型二、函数的概念重点总结变式：下列说法正确的是（ ）A. 变量x，y满足y²=x，则y是x的函数B. 变量x，y满足x + 3y = 1，则y是x的函数C. 变量x，y满足|y|= x，则y是x的函数D. 在V= 中， 是常量，π，r是自变量，V是r的函数B题型二、函数的概念解析：选项A，对于y²=x，当x = 4时，y ²=4，则y = 2或y = - 2，即对于x = 4这个确定的值，y不是有唯一确定的值与之对应，所以y不是x的函数。错误选项B，x + 3y = 1变形为y= ，x每一个值对应唯一y，正确。选项C，|y|＝x，如x=4时y=±4，y不唯一，错误。选项D，V= πr³中π是常量，非自变量，错误。综上，正确的是选项B。题型二、函数的概念题型三、函数的表示方法例3：如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A₁→A₂→A₃→A₄→A₅爬行，则此蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图象大致是（ ）A解析：由题意，得蚂蚁爬行A₁A₂时高度逐渐增加，A₂A₃时高度不变，A₃A₄时高度逐渐增加，A₄A₅时高度不变。故A项符合题意。1.明确定义内容——一次函数有三种表示方法，分别是解析式法、列表法（用表格列出自变量与对应的函数值）、图象法（用平面直角坐标系中的直线表示）。2.掌握核心思路——根据需求选择表示方法，解析式法便于计算和分析函数性质，列表法能直观呈现部分自变量与函数值的对应关系，图象法可清晰展示函数的变化趋势与整体特征。题型三、函数的表示方法重点总结变式： 春天来了，小颖要用总长为 12m 的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙(墙长 9m)，另外三边是篱笆，其中 BC 不超过 9m。设垂直于墙的两边 AB，CD 的长均为 xm，长方形花圃的面积为 y m²。(1) 判断 x = 1 是否符合题意，并说明理由；(2) 求 y 与 x 之间的关系式；题型三、函数的表示方法解：(1)由题意，当x = 1时，BC = 12 - 2×1 = 10m。因为墙长9m，且BC不超过9m，而10>9，所以x = 1不符合题意。(2)由(1)可知，BC=(12 - 2x)m，长方形面积公式为S = 长×宽，这里长方形花圃的长为BC=(12 - 2x)m，宽为AB = xm，所以面积y = x(12 - 2x)，展开可得y=-2x²+12x。又因为BC≤9，即12 - 2x≤9，解这个不等式得 ；同时，BC = 12 - 2x>0（边长不能为负），解12 - 2x>0，得x -x + a的解集为x > 1。故答案为：x > 1.x > 11．已知一次函数y = kx + b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb>0，则函数y = kx + b的图象大致是（ ）B解：∵一次函数y = kx + b，y随着x的增大而减小，∴k < 0，∴一次函数y = kx + b的图象经过第二、四象限；∵kb > 0，∴b < 0，∴图象与y轴的交点在x轴下方，∴一次函数y = kx + b的图象经过第二、三、四象限。故选B.2．已知点(-3,y₁)，(1,y₂)，(-1,y₃)都在直线y = 3x - b上，则y₁，y₂，y₃的大小关系为（ ）A. y₁＜y₂＜y₃ B.y₁＜y₃＜y₂ C. y₂＜y₃＜y₁ D.y₃＜y₁＜y₂B解：∵ k = 3>0，∴ y随x的增大而增大，又∵点(-3,y₁)，(1,y₂)，(-1,y₃)都在直线y = 3x - b上，且-3 < -1 < 1，∴y₁< y₃ < y₂,故选B。3．已知一次函数y = kx + b，当x = 1时，y的值为-1，当x = -1时，y的值为-5。(1)求一次函数y = kx + b的解析式；(2)将一次函数y = kx + b的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x轴、y轴的交点坐标。解：(1) 将x = 1，y = -1；x = -1，y = -5分别代入一次函数解析式得： ，解得： ，一次函数解析式为y = 2x - 3。(2) 一次函数y = 2x - 3的图象向上平移2个单位长度，可得y = 2x - 1，令y = 0，则x = ；令x = 0，则y = -1，∴与x轴，y轴的交点坐标分别为( , 0)和(0, -1)。4．在坐标系中，直线y = 2x + 4与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于C(3, 0)，点M是直线BC上的一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）如图，点M在运动过程中，当 时，求点M的坐标；解：(1) 令y = 0，则x = -2，∴ A(-2,0)，令x = 0，则y = 4，∴ B(0,4)，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y = x + 4；(2) ∵M为线段BC上一点，设M(t, t + 4)，∵A(-2,0)，B(0,4)，∴ AO = 2，BO = 4， ， ， ，或 ， ， 5．已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间和双人间每天都是600元，为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房，要求租住的房间正好被住满．（1）如果一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．解：(1) ∵凡团体入住一律五折优惠，∴三人间为每人每天200×0.5 = 100（元），双人间为每人每天300×0.5 = 150（元），设三人间有a间，双人间有b间，根据题意得：解得： ，答：租住了三人间8间，双人间13间；解：(2) 根据题意得：y = 100x + 150×(50 - x) = -50x + 7500 (0 \leq x \leq 50)；(3) 因为-50 < 0，所以y随x的增大而减小，故当x满足 、 为整数，且 最大时，即x = 48时，住宿费用最低，此时y = -50×48 + 7500 = 5100 < 6300，答：一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间，则费用最低，为5100元．✅ 知识构建：一次函数函数的概念→一次函数的定义→一次函数的图象→一次函数的性质（k>0时，y随x增大而增大；k0或kx + b