广东省中山市2026届下学期高三高考一模 数学试题

这是一份广东省中山市2026届下学期高三高考一模 数学试题，共8页。试卷主要包含了数学试题，解答题等内容，欢迎下载使用。

★启用前注意保密
广东省中山市华侨中学等校 2026 届高三模拟测试 一 数学试题
本试卷共 4
注意事项
答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题 本题共小题 每小题 5，共分．在每出的项只个项正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
复数 z = 1 -i 的共轭复数为 ( )
A. 1 - iB. 1 + iC. 2 - 2iD. 2 + 2i
【答案】A
【详解】因为复数 z = 2 = 2(1 +i = 2 +2i = 2 +2i = 1 + i，
所以 z = 1 - i.故选：A
1 -i
(1 -i
(1 +i
1 -i22
某班有 45 名学生，其中 20 人喜欢篮球，25 人喜欢乒乓球，10 人对这两项运动都不喜欢. 则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为 ()
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为 x，
则只喜欢篮球的有 20 - x，只喜欢乒乓球的有 25 - x，
所以 10 + (20 -x + (25 -x + x = 45，解得 x = 10，
所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为 10，故选：B.
设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 ()
若 m ⎳ α,n ⊂ α，则 m ⎳ nB. 若 m ⎳ α,α ⎳ β，则 m ⎳ β
C. 若 m ⊥ α,m ⎳ β，则 α ⊥ βD. 若 m ⊥ α,m ⊥ n，则 n ⎳ α
【答案】C
【详解】对于 A，若 m ⎳ α,n ⊂ α，则 m ⎳ n 或 m,n 异面，故 A 错误；
对于 B，若 m ⎳ α,α ⎳ β，则 m ⎳ β 或 m ⊂ β，故 B 错误；
对于 C ，若 m ⎳ β，则存在 m1 ⊂ β，且 m ⎳ m1，因为 m ⊥ α，所以 m1 ⊥ α，而 m1 ⊂ β，从而 α ⊥ β，故 C正确；
对于 D，若 m ⊥ α,m ⊥ n，则 n ⎳ α 或 n ⊂ α，故 D 错误.
故选：C.
关于实数 x，有下列甲、乙、丙三个陈述，分别为甲：x > 2；乙：x < 4；丙：x > 3．如果甲、乙、丙三个陈述中有且仅有一个正确，则 x 的取值范围可以为 ()
(3, +∞)B. (-∞,2]C. (2,3
【答案】B
D. [4, +∞)
【详解】若甲正确，乙和丙错误，则 x > 2 且 x ≥ 4 且 x ≤ 3，不存在这样的实数 x 满足条件，舍去；若乙正确，甲和丙错误，则 x < 4 且 x ≤ 2 且 x ≤ 3，可得 x ≤ 2，即 x 的范围为(-∞,2]；
若丙正确，甲和乙错误，因为丙：x > 3，则甲：x > 2 一定正确，不符合题意，舍去.综上可得：实数 x 的取值范围为(-∞,2].
故选：B.
把函数 y = 2x 的图象关于 y 轴对称后得到 g(x
()
的图象，则 g(x
的图象与函数 y = lg 1 x 的图象关于
2
A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D. 直线 y = x 对称
【答案】D
【详解】由题意知，g(x
= 2-x = 1
(
2
x
. 因为指数函数 y = ax 与对数函数 y = lgax(a > 0 且 a ≠ 1) 互
(x-4 2+y2
为反函数，图象关于直线 y = x 对称，所以 g(x故选：D.
的图像与函数 y = lg 1 x 的图像关于直线 y = x 对称.
2
方程
25 -4x
= 1 表示的圆锥曲线的离心率e = () 5
1 5
【答案】B
【详解】因为
25 -4x
4 5
(x-4 2+y2
= 1 ，所以 5
5
(x-4
5 4
2+y2 = 25 -4x ，
5
所以 25(x-4 2+y2 = 252 - 200x + 16x2，
化简得 x2 +
25
y2
= 1x.
9，是焦点在 轴上的椭圆
故 a = 5，c = 4，所以离心率为 e = c
a
= 4 . 5
若 α，β 是第三象限角，且 tanα = 17 ，tanβ = 17 ，则 sin(α +β
17
C. 2
- 1B. 02
= ()
D. 1
【答案】D
17
sinα = 17
【详解】因为 tanα =
，所以  csα17，
17(sin2α +cs2α =1
因为若 α 是第三象限角，所以 sinα < 0,csα < 0，
解得 sinα =- 2 ，csα =- 34
6
同理因为 tanβ = 17 ，所以
6
17
=
sinβ
(
csβ，
sin2β +cs2β =1
因为若 β 是第三象限角，所以 sinβ < 0,csβ < 0，
解得 sinβ =- 34 ，csβ =- 2 .
66
而 sin(α +β
= sinαcsβ + csαsinβ = - 2
(
6
_
× - 2
(
6
_
+ - 34
(
6
× - 34= 1
(
6
已知 △ABC 中，AB = 4，AC = 2，且 |λAB + (2 - 2λ)AC|(λ ∈ R) 的最小值为 2 3 ，若 P 为边 AB 上
__
任意一点，则 PB ⋅ PC 的最小值为 ()
0B. - 3
2
- 9
4
- 3 3
2
【答案】C
【详解】延长 AC 至 D，使得 CD = AC = 2，连接 BD，点 E 为△ABD 所在平面内 点，连接 AE，
___
__
__
则 λAB + (2 - 2λ)AC = λAB + (1 - λ)AD，令 λAB + (1 - λ)AD = AE，则点 E 在直线 BD 上，
___
由λAB +(2 -2λ AC 的最小值为 2 3 ，得 AE min = 2 3 ，
_
当且仅当 AE ⊥ BD 时AE
取得最小值，则 sin∠ABD = 2 3
4
= 3 ，
2
又∠ABD 是锐角，则 ∠ABD = π ，而 AD = AB = 4，即 △ABD 为正三角形，
3
于是∠BAC = π
__
π_
___
3 ，AB ⋅ AC = 4 × 2cs 3 = 4，令 PB = xAB，则 AP = (1 - x)AB，
__
___
__
_2
因此 PB ⋅ PC = xAB ⋅ (AC - AP) = xAB ⋅ AC - x(1 - x)AB = 16x2 - 12x
= (4x- 3 2 - 9 ≥- 9 ，当且仅当 x = 3 时取等号，
2448
9
__
所以
PB ⋅ PC 的最小值为- 4 .
故选：C
二、 择题 本题 每6 分，共分．在每题出项有题求．全部选对得部分选对的得部分分 有选错的得 分．
数列 an 是等比数列，公比 q ≠±1，其前 n 项和为 Sn，则 ()
当 q > 1 时，an 为递增数列
若 S5 = 3，S10 = 9，则 S15 = 21
若 S5，S15，S10 成等差数列，则 a5，a15，a10 成等差数列
若 an+1，a3n+1，a2n+1 成等差数列，则 Sn，S3n，S2n 成等差数列
【答案】BCD
【详解】对于 A，当 a1 < 0 时，q > 1 时，an 为递减数列，故 A 错误；
对于 B，若 S5 = 3，S10 = 9，S5，S10 - S5，S15 - S10 成等比数列，则 S15 = 21，故 B 正确；
对于 C ，若 S5，S15，S10 成等差数列，则 2S15 = S5 + S10，即 2
a1(1 -q15=
1 -q
a1(1 -q5+
1 -q
a1(1 -q10
1 -q，
即 2q15 = q5 + q10，即 2a1q14 = a1q4 + a1q9，即 2a15 = a5 + a10，所以 a5，a15，a10 成等差数列，故 C 正确；
对于 D，an+1，a3n+1，a2n+1 成等差数列，所以 2a3n+1 = an+1 + a2n+1，即 2a1q3n = a1qn + a1q2n，所以 2q3n = qn + q2n，
即 2(1 -q3n
= (1 -qn
+ (1 -q2n
，即 2
a1(1 -q3n=
1 -q
a1(1 -qn+
1 -q
a1(1 -q2n
1 -q，
所以 2S3n = Sn + S2n，所以 Sn，S3n，S2n 成等差数列，故 D 正确.
已知定义在 R 上的奇函数 f (x
和偶函数 g(x
满足 f (x
+ g(x
= 2ex，h(x
= f(x)
g(x)
，则 ()
h(x
是奇函数B. g(x
是增函数
h(x
值域为 (-1,1
h(x-y
= h(x)-h(y)
1 -h(x)h(y)
【答案】ACD
【详解】对于 A，由 f (x
+ g(x
= 2ex，因为 f (x
为奇函数，g(x
为偶函数，
可得 g(x
- f (x
= 2e-x，联立方程组，解得 f (x
= ex - e-x,g(x
= ex + e-x，
所以 h(x
= f(x)
g(x)
= ex -e-x ，可得 h(-x
ex +e-x
= e-x -ex e-x +ex
=- ex -e-x
ex +e-x
=-h(x ，
所以函数 h(x 为奇函数，所以 A 正确；
对于 B，因为 g(x
为偶函数，所以函数 g(x
不可能为单调增函数，所以 B 错误；
对于 C ，由函数 h(x
= ex -e-x ex +e-x
= e2x -1
e2x +1
= 1 - 2 ，
e2x +1
因为 e2x + 1 ∈ (1, +∞)，所以 h(x ∈ (-1,1)，所以 C 正确；
对于 D，由 h x = ex -e-x ，可得 h y
= ey -e-y ，h x-y
= ex-y -e-(x-y) ，
(ex +e-x
(ey +e-y(
ex-y +e-(x-y)
则 h(x
- h(y
= ex -e-x - ey-e-y =
ex +e-xey +e-y
(ex -e-x)(ey+e-y)-(ey-e-y)(ex +e-x) (ex +e-x)(ey+e-y)
= exey+exe-y-e-xey-e-xe-y-(eyex -eye-x -e-yex +e-ye-x)
(ex +e-x)(ey+e-y)
=2ex-y -2e-(x-y)，
(ex +e-x)(ey+e-y)
(ex -e-x)(ey-e-y)
且 1 - h(x)h(y) = 1 - (ex +e-x)(ey +e-y) =
(ex +e-x)(ey+e-y)-(ex -e-x)(ey-e-y) (ex +e-x)(ey+e-y)
= exey+exe-y+e-xey+e-xe-y-(exey-exe-y-e-xey+e-xe-y)
(ex +e-x)(ey+e-y)
=2ex-y +2e-(x-y)，
(ex +e-x)(ey+e-y)
h(x)-h(y)
所以=
1 -h(x)h(y)
2ex-y -2e-(x-y)
(ex +e-x)(ey+e-y)
2ex-y +2e-(x-y)
(ex +e-x)(ey+e-y)
= 2ex-y -2e-(x-y)
2ex-y +2e-(x-y)
= ex-y -e-(x-y)
ex-y +e-(x-y)
= h(x - y)，
所以 D 正确.故选：ACD.
在统计学中，四分位数是指把一组数由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值为 Q1，Q2，Q3，其中 Q2 是这组数的中位数，Q1 和 Q3 分别可看作这组数被 Q2 分成的前后两组数的中位数．利用四分位数可以绘制统计学中的箱形图：先找出一组数的最大值，最小值和三个四分位数 Q1，Q2，Q3；然后连接 Q1 和 Q3 画出“箱子”，中位数 Q2 在“箱子”中间；再将最大值和最小值与箱子相连接 (如图①)．某老师绘制了一次数学小测验中甲，乙，丙三个班级学生得分的箱形图 (如图②)，根据该图判断下列说法正确的是 ( )
三个班级中，甲班分数的方差最小
三个班级中，乙班分数的极差最大
丙班得分低于 80 的学生人数多于得分高于 80 的学生人数
若每班有 42 个学生，则三个班级的第 11 名中，丙班的分数最高
【答案】ABD
【详解】由图，三个班中甲班得分的极差最小，乙班得分的极差最大，故甲班得分的分布更集中，对应方差最小，A、B 都对，
由于丙班得分的中位数 Q2 位于 80 分上方，则该班低于 80 分的学生人数少于高于 80 分的学生人数，
C 错，
由题意及分位数的定义，三个班级的第 11 名(分数从高到低的第 11 名) 的得分大概对应 Q3 位置的分数，结合箱形图知丙班的分数最高，D 对.
三、填空题 本题共小题 每小题 5，共分．
已知抛物线 C:y = 4x 的焦点为 F ，M 是 C 上一点，△MOF 的面积为 2，则 |MF| = .
【答案】5
【详解】由题意，F (1,0 ，p = 2，
2
S△MOF = 1 OF ⋅ yM = 2，，所以 yM = 4，
y2
M
则 x = M
4
= 4，
由抛物线的定义知，|MF| = xM
+ p
2
= 5.
故答案为：5.
若对任意的 x ∈ 0,π
(
【答案】 0, 1
3
3
，有 cs(ωx+ π
≤ 1 (ω > 0) 恒成立，则 ω 的取值范围为．
2
【详解】因为 cs(ωx+ π≤ 1 ，所以 - 1 ≤ cs(ωx+ π≤ 1 ，
32232
即 π + 2kπ ≤ ωx + π
33
≤ 2π
3
+ 2kπ,k ∈ Z 或 4π
3
+ 2kπ ≤ ωx + π
3
≤ 5π
3
+ 2kπ,k ∈ Z ，
又因为 x ∈ 0,π
，所以 π
3
≤ ωx + π
3
≤ ωπ + π ，
3
所以 π < ωπ + π ≤ 2π ，即 0 < ω ≤ 1 ，
3333
(
所以 ω 的取值范围为 0, 1 ．
3
空间中有四个半径为 2 的小球，每个球都与其它三个球外切．现另有一小球与这四个球均外切，则该小球的半径为．
【答案】 6 - 2
【详解】由题意可知: 连接四个球的球心，得到一个棱长为 4 的正四面体,
设正四面体为 PABC ，设四面体 PABC 的外接球球心为 O，半径为 R，设 PO 的延长线与底面 ABC 的交点为 D，
2
则 PD 为正四面体 PABC 的高，PD ⊥ 底面 ABC ，且 PO = R，
棱长为 4，所以 AD = 2
3
AB2 -( BC
2 = 2
3
16 -4 = 4 3 ，
3
4 6
3
所以 PD =AP2 -AD2 =42 -( 4 33 2 =，
在 Rt△AOD 中，OD = PD - OP = 4 6
3
- R，OA = R,
所以 OA2 = AD2 + OD2，即 R2 = ( 4 33
2 + 4 6
(
3
2
-R , 解得 R = 6 ．
所以与 4 个球都外切的小球的球心也在 O 处，所以小球的半径 r = R - 2 = 6 - 2.
四 解答题：本题共 5 小题 共分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
我校社团活动期间某同学进行射击游戏，第一次射击命中率是 0.8，该同学连续射击三次，当前一次
命中时，下一次也命中的概率是 0.7；当前一次未命中时，下一次命中的概率是 0.9．
(1) 求该同学第二次命中的概率；
(2) 设随机变量 X 为三次射击中命中的次数，求 X 的分布列及数学期望．
【答案】(1)0.74
(2) 分布列答案见解析，E(X
【解析】
【小问 1 详解】
记事件 Ai(i =1,2,3 ，则 P(A1
= 2.292
_
= 0.8，P(A2A1 = 0.7，P(A2A1
= 0.9，
由全概率公式可得 P(A2
= P(A1
⋅ P(A2A1
_
+ P(A1
_
⋅ P(A2A1
= 0.8 × 0.7 + 0.2 × 0.9 = 0.74.
【小问 2 详解】
由题意可知，随机变量 X 的可能取值有 0、1、2、3，
则 P(X=0
= 0.2 × 0.1 × 0.1 = 0.002，P(X=3
= 0.8 × 0.7 × 0.7 = 0.392，
P(X=1 P(X=2
= 0.8 × 0.3 × 0.1 + 0.2 × 0.9 × 0.3 + 0.2 × 0.1 × 0.9 = 0.096，
= 0.8 × 0.7 × 0.3 + 0.8 × 0.3 × 0.9 + 0.2 × 0.9 × 0.7 = 0.51，
所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：
所以，E(X = 0 × 0.002 + 1 × 0.096 + 2 × 0.51 + 3 × 0.392 = 2.292.
如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ABD = ∠CBD = π ，AB ⎳ CD，AC = 3 ．
6
若 ∠BAC = π ，求 sin∠BDA；
2
求平面四边形 ABCD 面积的取值范围．
【答案】(1) 7 ；
14
(
(2) 0, 3 3 +6 .
4
【解析】
【小问 1 详解】
由∠ABD = ∠CBD = π ，得 ∠ABC = π ，而 ∠BAC = π ,AC = 3 ，则 AB = AC = 1，
632tan∠ABC
BC = AC = 2，由 AB ⎳ CD，得 ∠BDC = ∠CBD，∠ACD = ∠BAC = π ，
sin∠ABC2
则 CD = BC = 2，AD =AC2+CD2 = 7 ，在 △ABD 中，由正弦定理得 AB = AD ，
X
0
1
2
3
P
0.002
0.096
0.51
0.392
所以 sin∠ADB =
ABsin∠ABD AD
1
7
1 ×
= 2 =7 .
14
sin∠ADB
sin∠ABD
【小问 2 详解】
由(1) 知∠ABC = π ,∠BCD = 2π ，设 ∠ACB = θ(0 0，Vf(t = (0,+∞ ，所以 ∀ x,t > 0，f (x+t ≥ f (x ，
所以 f (x
在(0,+∞
上单调递增，所以 fr (x
= a x- e
(
e -1
- lnx + 1 ≥ 0，
e -1
若 a ≤ 0，则 x →+∞,fr (x →-∞，则不满足 fr (x ≥ 0；
所以 a > 0，设 fr (x
= a x- e
(
e -1
- lnx + 1 = h(x ，
e -1
因为 hr (x
= ax -1 ，
x
(
当 x ∈ 0, 1
(
a
,hr (x
< 0,h(x
单调递减；当 x ∈ 1 ,+∞
(
a
,hr (x
> 0,h(x
单调递增；
(
所以 h 1
a
= fr 1
a
≥ 0，即 lna - e (a -1
e -1
≥ 0，
设 g(x
= lnx - e (x-1
e -1
，则 gr (x
= 1
(
x
- e ，
e -1
(
当 x ∈ 0, e -1
e
,gr (x
> 0,g(x
单调递增；当 x ∈ e -1 ,+∞
e
,gr (x
< 0,g(x
单调递减；
(
又 g 1
e
= g(1
= 0,g(a
≥ 0，所以 1
e
≤ a ≤ 1；
e
所以 a ∈ l 1 ,1 .
19.
C: x2
+ y2
= 1 a >b >0
1Fl:2x - y = 0
已知椭圆
a2b2
(的离心率为 2 ，右焦点
关于直线
的对称点在圆
(
x2 + y2 = 1 上，点 P 2 ,n
3
(n >0
在椭圆 C 上．
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 已知 T 为 l:x = 4 上的动点，过 T 作椭圆 C 的两条切线，切点分别为 M 、N ，
①证明：直线 MN 过定点，并求定点坐标；
②是否存在点 T ，使得 ∠MPF = ∠NPF 成立？若存在，请求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) x2 +
4
y2 = 1
3
(2) ①证明见解析，定点坐标为 (1,0
【解析】
【小问 1 详解】
；②存在，且点 T 4,- 27 6
(
17
设点 F (c,0 关于直线 l 的对称点为 A，
因为原点 O 在直线 l 上，由对称性知 OF = OA ，
因为原点 O 为圆 x2 + y2 = 1 的圆心，且点 A 在圆 x2 + y2 = 1 上，所以 OF = OA = 1，即 c = 1，
又因为椭圆 C 的离心率为 e = c
a
x2
= 1 ，可得 a = 2，故 b =a2 -c2 =22 -12 = 3 ，
2
y2
所以椭圆 C 的标准方程为 4 + 3 = 1.
【小问 2 详解】
①设点 M (x ,y 、N (x ,y ，先证明椭圆 C 在点 M 处的切线方程为 x1x + y1y = 1.
1 12 243
证明如下：
x1x + y1y =1
22
联立 ( 4y 3可得(3x2+4y2 x2 - 24x x + 16(3 -4y2 = 0(*)，
+
4
x3 =1
1111
x
2
因为点 M 在椭圆 C 上，则 1
+ y2
= 1，所以 3x2 + 4y2 = 12，
1
4311
所以方程(*) 可化为 12x2 - 24x1x + 12x2 = 0，即 x2 - 2x x + x2 = 0，
Δ = 4x2 - 4x2 = 0，
111
11
所以椭圆 C 在点 M 处的切线方程为 x1x
4
+ y1y
3
= 1，即直线 TM 的方程为 x1x
4
+ y1y
3
= 1，
同理可知直线 TN 的方程为 x2x
4
+ y2y
3
= 1，
x1+ ty1 =1
设点 T (4,t
，则 (
3，
3
x2+ ty2 =1
tyty
所以点 M 、N 的坐标均满足方程 x +
3 = 1，故直线 MN 的方程为 x +
3 = 1，
在直线 MN 的方程中，令 y = 0 可得 x = 1，故直线 MN 过定点 F (1,0 ；
2 2
②将点 P 的坐标代入椭圆方程得 ( 3 + n2
= 1，
2 6
3
43
又因为 n > 0，可得 n =
，故点 P( 2 , 2 6，
3
3
设直线 PM 、PN 的倾斜角分别为 α、β，设直线 PF 的倾斜角为 γ，
2 6
3
因为∠MPF = ∠NPF ，则 α - γ = γ - β 或 β - γ = γ - α，所以 α + β = 2γ，
-0
3
且有 tanγ = kPF =2 -1=-2 6 ，
易知直线 PM 、PN 的斜率都存在，设直线 PM 、PN 的斜率分别为 k1、k2，
所以 tan(α +β
= tan2γ = 2tanγ =-4
= 4 6 ，
6
1 -tan2γ
1 -(-2223
6
即 tan(α +β
= tanα +tanβ = k1+k1 = 4 6 ，
1 -tanαtanβ1 -k1k223
(
不妨设直线 MN 的方程为 p x- 2
3
+ q y - 2 6
(
3
= 1，
椭圆 C 的方程为 3x2 + 4y2 = 12，即 3 (x- 2
+ 2
2 + 4 (y - 2 6
+ 2 6
2
= 12，
l33l33
即 3(x- 2
2 + 4(y - 2 6
2 + 4(x- 2
+ 16 6 (y - 2 6
= 0，
33333
即 3(x- 2
2 + 4(y - 2 6
2 + 4(x- 2
+ 16 6 (y - 2 6
 p(x- 2
+q(y - 2 6
= 0，
33l333l33
(
整理可得 4 + 16 6 q
3
y - 2 6
(
3
2 + 4q + 16 6 p
(
3
x- 2
(
3
y - 2 6
(
3
+ (4p +3
x- 2
(
3
2
= 0(*)，
(
等式两边同时除以 x- 2
3
2
，并令 k =
，
y - 2 36
3
x- 2
(
则方程(*) 可化为 4 + 16 6 q
3
k2 + 16 6 p +4q
(
3
k + (4p +3
= 0，
4(4 6 q +3
3
所以 k1、k2 是关于 k 的方程(4 + 16 6 q
k2 + 16 6 p +4q
(
3
k + (4p +3
= 0 的两根，
4 6 p +3q
4 6 q +3
16 6 p +4q
所以 k1 + k2 =- 3 =-
3
4 + 16 6 q
，k1k2 =
4p +3=
3
4 + 16 6 q
12p +9，
k +k
- 4 6 p +3q
4(4 6 q +3
-4(4 6 p +3q
16 6 q -12p +3
所以 12 =
4 6 q +3
=
= 4 6 ，
1 -k1k2
1 - 12p +923
化简得 80 6 p + 165q + 3 6 = 0 ①，
又因为直线 MN 过焦点 F (1,0 ，所以 1 p - 2 6 q = 1，即 p - 2 6 q = 3 ②，
33
p = 51
q =-
，
联立①②可得 (
125
27 6
125
所以直线 MN 的方程为 51 (x- 2
- 27 6 (y - 2 6
= 1，
12531253
MN
所以直线 MN 的斜率为 k=- p
=- 51 ⋅ (- 125
= 17 6
=- 3 ，解得 t =- 27 6 ，
6
q125
27
54t17
(
故存在点 T 4,- 27 6
17
，使得 ∠MPF = ∠NPF.