2025--2026学年湖南邵阳市邵东市创新高级中学册高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南邵阳市邵东市创新高级中学册高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车、火车或飞机到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（ ）
A. 5种B. 6种C. 8种D. 9种
2. 方程的解为（ ）
A. 4B. 15C. 5或14D. 4或15
3. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
4. 现有4名男生和5名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（ ）
A. B. C. D.
5. 在的展开式中，常数项为216，则（ ）
A. B. C. D.
6. 由0，1，3，5，7，9这六个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ）
A. 9B. 21C. 36D. 42
7. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 49C. D.
8. 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和1个红球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项为1120B. 第4项二项式系数最大
C. 所有项的二项式系数和为D. 所有项的系数和为
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 样本数据2，3，4，5，6，7，8，9的第70百分位数是6.5
B. 随机变量，若，则
C. 已知随机事件，且，若，则事件相互独立
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
11. 将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A. 共有3125种放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有1200种放法
C. 恰有两个盒子不放球，共有3000种放法
D. 没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种
第Ⅱ卷（客观题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个箱子中装有7个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是______．
13. 已知，则________．
14. 一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次得分，否则扣分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值为____
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，已知为的中点，，，.
（1）求的面积；
（2）求的长.
16. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17. 已知椭圆C：过点，焦距为2．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）设M，N为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，，若直线AM、AN的斜率之积为1，求证：直线MN过定点．
18. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．
（1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；
（2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；
（3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并检测其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内检验零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
数学
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车、火车或飞机到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（ ）
A. 5种B. 6种C. 8种D. 9种
答案：C
解析：
思路：根据分步乘法计数原理即可求解．
解答过程：从北京到山东有4种交通方式（高铁、长途汽车、火车、飞机），从山东到辽宁有2种方式（轮船、飞机），根据分步乘法计数原理，总方式数为种．
2. 方程的解为（ ）
A. 4B. 15C. 5或14D. 4或15
答案：D
解析：
思路：方程相等分为两种情况，相加等于17或者相等，计算得到答案．
解答过程：由得，或，解得或．
3. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
答案：A
解析：
解答过程：因为随机变量服从正态分布，且，
则，解得.
4. 现有4名男生和5名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：先排4名男生有种不同的排法，
由于男生和女生逐一相间，所以再排5名女生有种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得男生和女生逐一相间的排法共有.
5. 在的展开式中，常数项为216，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：展开式的通项．
令，解得，得常数项为：，解得．
6. 由0，1，3，5，7，9这六个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ）
A. 9B. 21C. 36D. 42
答案：C
解析：
解答过程：若组成的三位数的末位数是，则从这四个数中选一个排在百位，最后从除了百位上的数字和5之外的四个数字中选一个排在十位，
共有A41A41=16 种排法；
若组成的三位数的末位数是，则从这五个数中选两个分别排在百位和十位，共有种排法；
因此，由0,1,3,5,7,9 这六个数组成的无重复数字的三位数中，是5的倍数的共有个.
7. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 49C. D.
答案：B
解析：
解答过程：的展开式的通项公式为.
其中，.
的系数为.
8. 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和1个红球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先求出和，再根据全概率公式即可求解．
解答过程：记“从甲袋中取出白球”为事件，“从甲袋中取出红球”为事件，“从乙袋中取出白球”为事件，
由题意可知，
当事件发生时，乙袋中有3个白球，1个红球，
此时从乙袋中取出白球的概率为；
当事件发生时，乙袋中有2个白球，2个红球，
此时从乙袋中取出白球的概率为；
由全概率公式得，．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项为1120B. 第4项二项式系数最大
C. 所有项的二项式系数和为D. 所有项的系数和为
答案：ACD
解析：
解答过程：对于A，展开式的常数项为C84(2x)4·x4=1120 ，A正确；
对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误；
对于C，所有项的二项式系数和为，C正确；
对于D，取，得所有项的系数和为，D正确.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 样本数据2，3，4，5，6，7，8，9的第70百分位数是6.5
B. 随机变量，若，则
C. 已知随机事件，且，若，则事件相互独立
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
答案：BCD
解析：
思路：由百分位数的计算方法即可判断A；由二项分布的期望与方差公式即可判断B；由条件概率公式，对立事件及独立事件的判断公式即可判断C；由正态分布的对称性即可判断D．
解答过程：对于A，，所以第70百分位数是7，故A错误；
对于B，EX=np=4p=43⇒p=13，则，故B正确；
对于C，由PA|B+P(A)=1 得，PABPB+1−PA=1⇒PAB=PAPB，
所以事件相互独立，故C正确；
对于D，由正态分布得，，故D正确．
11. 将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A. 共有3125种放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有1200种放法
C. 恰有两个盒子不放球，共有3000种放法
D. 没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种
答案：ABD
解析：
思路：根据分步乘法计数原理即可判断A；根据分组分配判断BC；根据题意得出递推公式即可判断D．
解答过程：对于A，由题意知，共有种放法，故A正确；
对于B，恰有一个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种，
再将5个球分为4份，其中一份有2球，再分给4个盒子，共有,
所以共有种放法，故B正确；
对于C，恰有两个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种，
再将5个球分为3份，可分为和，再分给3个盒子，共有，
所以共有种放法，故C错误；
对于D，用递推的方法计算，记个元素的错位排列数为；
对于：只有1个球，必须放1号盒，一定同号，所以，
对于：只有两个球，只能互相放对方盒子，所以,
递推公式:，
意思是：先选1个球，比如选球1，它不能放1号盒，所以有个盒子可以选，
如果球1选了号盒，再分两种情况算球的放法：要么球放1号盒，剩下个元素错位排列，对应；要么球不能放1号盒，相当于剩下个元素错位排列，对应，
所以，
，
，故D正确．
第Ⅱ卷（客观题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个箱子中装有7个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是______．
答案：
解析：
解答过程：在第1次抽到黑球的条件下，箱子中还装有个白球，个黑球，共11个球，
所以第2次仍抽到黑球的概率为.
13. 已知，则________．
答案：2
解析：
思路：
由组合数公式化简得到，即可求解.
解答过程：根据组合数公式化简，可得，
化简整理得，解得或，
又由，所以.
故答案为.
14. 一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次得分，否则扣分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值为____
答案：15
解析：
思路：
先确定随机变量，再确定对应概率，最后根据数学期望公式求结果.
解答过程：得分可能情况为（分），
故15
方法提示：本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，已知为的中点，，，.
（1）求的面积；
（2）求的长.
答案：（1）.
（2）.
解析：
思路：(1)，又因已知为的中点，可得，根据余弦定理可求出长，继而求出面积，所以即可求出的面积；
(2)根据余弦定理可求出的长.
（1）根据题意可知，
又因为为的中点，可得，
，，，
根据余弦定理，
代入已知条件得，
得到，故所以可得是直角三角形，
所以可得
故
（2）由第一问可知，
根据余弦定理可知，
代入得，
所以可得，
故
16. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）根据线面垂直的判定与性质可证得；由正方形性质知；由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果.
（1）四棱柱为直四棱柱，平面，
平面，，，
，，平面，平面，
平面，；
，，平行四边形为正方形，，
，平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向分别为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17. 已知椭圆C：过点，焦距为2．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）设M，N为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，，若直线AM、AN的斜率之积为1，求证：直线MN过定点．
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）结合列方程组解得得椭圆方程；
（2）设直线MN方程为，，，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，计算，计算直线AM、AN的斜率之积．由积为1得出的关系，由此关系可得直线所过定点．
（1）由题意可知
得
∴椭圆方程为：
（2）设直线MN方程为，，，
联立可得
∴，
则
化简得：
或（舍）
直线MN方程为
即直线MN过定点
18. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．
（1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；
（2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；
（3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
答案：（1）；
（2）；
（3）分布列见解析，.
解析：
思路：（1）由频率估计概率即得；
（2）设中位数为，由中位数定义知，即得；
（3）由题可得，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而可得分布列及期望.
（1）由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有人，
所求概率；
（2）设中位数为，
由表格数据知：使用手机的时间小于分钟的频率为，使用手机的时间小于分钟的频率为，
故，
，
解得：，
即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为；
（3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为，
则，
所以,
,
,
,
所以的分布列为：
所以.
19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并检测其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内检验零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
答案：（1），数学期望为0.0416；
（2）（i）理由见解析；（ii）需检查；的估计值为10.02，的估计值为
解析：
思路：（1）根据题意得出X～B16,0.0026，即可求解；
（2）（i）根据出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小即可说明理由；（ii）由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外,则需要检查；再根据公式分别计算和即可．
（1）抽取的一个零件的尺寸在之间的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故X～B16,0.0026，
因此，
的数学期望为EX=np=16×0.0026=0.0416 ．
（2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由=9.97，，得的估计值，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02，
．剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为．时间
人数
6
30
35
19
6
4
时间
人数
6
30
35
19
6
4
0
1
2
3