湖南省邵东市创新高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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本试卷共4页，19小题，满分150分. 命题人：
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 如图，已知正方体的棱长为1，（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 已知在空间直角坐标系中，点，，则点A到BC的中点D的距离为（ ）
A. B. C. 7D. 6
3. 已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
5. 已知直线的斜率等于，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ）
A. 1B. 2C. 4D.
6. 如图为学生做手工时画的椭圆C1，C2，C3(其中网格由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为e1，e2，e3，则( )
A．e1＝e2e1
7. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
8.设B是椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A.eq \f(5,2) B．eq \r(6) C．eq \r(5) D．2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，直线，，斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线必过定点
B. 方程是直线的一般式方程
C. 直线的斜率为
D. 点到直线的距离为1
11. 已知圆M:x2+(y−2)2=1，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是( )
A. 四边形PAMB周长的最小值为2+2 3 B. |AB|的最大值为2
C. 若P(1,0)，则三角形PAB的面积为85 D. 若Q( 154,0)，则|CQ|的最大值为94
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线：，：，若，则实数______.
13. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________．
14. 直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
(1)已知中心在坐标原点的椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，3))，求此椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4eq \r(3)，且直线AM与AN的斜率之积为－eq \f(2,3)，求椭圆C的标准方程。
16. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求点到平面距离。
17. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P3,3为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为26．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若倾斜角为π4的直线l与C相交于两个不同的点A,B，求AB的最大值．
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
19.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆
(1)求圆C与圆M的根轴l；
(2)已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程；
(3)给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标.