2025--2026学年湖南邵东市第三中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南邵东市第三中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. 或B. C. 或D. 或
3. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则（ ）
A. 4B. 12C. D.
4. 已知函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）
A. 1mB. 2mC. mD. m
6. 已知平面向量．若，则（ ）
A. B. C. D. 2
7. 在中，角的边分别为，已知，其外接圆半径，则下列判断中错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则该三角形有两解
C. 周长的最小值为6
D. 面积的最大值
8. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、 设，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的有（ ）
A. 球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等
B. 现有两条平行直线，其中一条直线与一个平交，那么另一条直线可能与这个平面不相交
C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D. 若直线上的三个点在平面内，则
10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ）
A. 该圆台的高为1
B. 该圆台轴截面面积为
C. 该圆台的体积为
D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5
11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则符合条件的有两个
B. 若点为的重心，则
C. 若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心
D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是虚数单位，则的值为__________.
13. 已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______.
14. 如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步果.
15. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求在上的解集．
16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且的面积为.
（1）求角；
（2）若求的值.
17. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，．
（1）求平面四边形的面积及周长；
（2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
18. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求周长.
（3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19. 新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完.
（1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）：
（2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?
数学
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以
2. 已知集合，，则（ ）
A. 或B. C. 或D. 或
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以或，
结合，所以或.
3. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则（ ）
A. 4B. 12C. D.
答案：C
解析：
解答过程：已知，，夹角，
则，
所以，
所以.
4. 已知函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据三角函数的知识可得，，，由函数为奇函数，且在上是严格减函数，可得在R上单调递减，利用单调性即可比较大小.
解答过程：根据题意，，， ，
又函数是定义在上的奇函数，在上是严格减函数，
则函数在上为单调递减函数，
因为，所以，
即，故.
5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）
A. 1mB. 2mC. mD. m
答案：B
解析：
解答过程：设这个圆锥底面半径为，母线为，则底面面积为，底面周长为，侧面展开图的半圆弧长为，
由弧度制的定义知，所以，则侧面积为，
所以这个圆锥的表面积为，所以，则直径为2m．
6. 已知平面向量．若，则（ ）
A. B. C. D. 2
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以 ，
展开整理得，
又因为，
故，，
，
代入等式得：，解得.
7. 在中，角的边分别为，已知，其外接圆半径，则下列判断中错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则该三角形有两解
C. 周长的最小值为6
D. 面积的最大值
答案：C
解析：
思路：对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由面积公式及正弦定理结合基本不等式解决即可.
解答过程：对于A，由正弦定理得，解得，所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得，所以，
因为，，，所以，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大值为6，故C错误；
对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号，
故，所以面积的最大值为，故D正确.
8. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、 设，，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
思路：根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用三点共线，可求出的值.
解答过程：
如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的有（ ）
A. 球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等
B. 现有两条平行直线，其中一条直线与一个平交，那么另一条直线可能与这个平面不相交
C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D. 若直线上的三个点在平面内，则
答案：ACD
解析：
思路：利用球的定义判断A；利用线面位置关系判断BC；利用平面的基本事实判断D.
解答过程：对于A，球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等，A正确；
对于B，第一条直线与平交，若另一条直线与平面不相交，则该直线在平面内或与平面平行，
此直线与第一条直线相交或是异面直线，与两条直线平行矛盾，B错误；
对于C，直线，由，得存在过的平面，则，
由，得存在过的平面，则，而，则，
又，因此，C正确；
对于D，直线上的三个点在平面内，则，D正确.
故选：ACD
10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ）
A. 该圆台的高为1
B. 该圆台轴截面面积为
C. 该圆台的体积为
D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5
答案：BCD
解析：
思路：根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确.
解答过程：对于A，在梯形中，即代表圆台的高，
利用勾股定理计算可得，所以A错误；
对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确；
对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；
所以该圆台的体积为，可得C正确；
对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：
易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；
由弧长公式可知，解得；
所以可得，
设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，
易知，且，
由勾股定理可知，可知D正确.
故选：BCD
11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则符合条件的有两个
B. 若点为的重心，则
C. 若点为所在平面内的动点，且，，则点的轨迹经过的垂心
D. 已知是内一点，若分别表示的面积，则
答案：BCD
解析：
思路：对于A，根据正弦定理求得，再结合即可判定；对于B，根据重心为中线交点判断即可；对于C，根据判断；对于D，设的中点分别为，进而得，再结合面积公式判断.
解答过程：对于A，由正弦定理可知，即，解得，
又，所以，故A只有一解，所以三角形一解，故A错误；
对于B，因为点为的重心，设中点为，则，故B正确；
对于C，因为，
所以，
所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确；
对于D，因为，所以，
设的中点分别为，如图，则，即，
所以，故D正确．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是虚数单位，则的值为__________.
答案：
解析：
思路：先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．
解答过程：．
方法提示：本题考查了复数模的运算，是基础题.
13. 已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______.
答案：
解析：
解答过程：，
由得，解得，
；
，，
向量在上的投影向量为.
14. 如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________.
答案：
解析：
思路：连接，由题意可得，则可利用余弦定理求得，则可得，再设，利用正弦定理可表示出，最后利用辅助角公式及范围即可得解.
解答过程：如图，连接，在中，，则，
所以，
则，
所以，
设，则，
于是在中，由正弦定理，得，
所以，
所以，
因为，所以，则，
所以的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步果.
15. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求在上的解集．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）结合倍角公式和辅助角公式化简解析式，由正弦函数周期性求最小正周期；
（2）结合（1），根据正弦函数单调性和“整体法”解三角不等式即可.
（1）因为
，
所以最小正周期.
（2）由得：，
因为，所以.
则，解得
，解得
所以在上的解集是
16. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且的面积为.
（1）求角；
（2）若求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用余弦定理和三角形的面积公式求解即可.
（2）结合第一小问将求出来，进而求解即可.
（1）由余弦定理得：

又
，，
又 ，
又
.
（2）由（1）得，
，
，
17. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，．
（1）求平面四边形的面积及周长；
（2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
答案：（1）5，7；
（2），
解析：
思路：（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形是直角梯形，由此求出平面四边形的面积和周长；
（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算它的体积和表面积即可．
（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，，如图所示：
所以平面四边形的面积为，
周长为；
（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，
则旋转体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，
即，
表面积为．
18. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求周长.
（3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
答案：（1）
（2）6 （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式，推导出角的三角函数值，进而确定角的大小；
（2）先利用三角形面积公式求出边的长度，再结合余弦定理求出边的长度，最后将三边相加得到周长；
（3）利用正弦定理将另外两边用角表示，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后代入三角形面积公式，利用三角恒等变换与三角函数的性质求出面积的取值范围.
（1）由正弦定理，得：
，
代入原等式：，
整理得，
因为，
所以，
由于，所以，所以，
又，所以；
（2）因为且，所以，
由余弦定理可得，
则，解得，
所以，即的周长为；
（3），
因为是锐角三角形，又，
所以，解得，
所以，则，
从而.
19. 新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完.
（1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）：
（2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少?
答案：（1）
（2）30千台，最大利润是6560万元
解析：
思路：（1）根据已知条件，结合利润=销售额-固定成本-可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解；
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及利用函数的单调性可求得分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
（1）销售额为万元，
当时，
，
当时，，
所以；
（2）当时，，
当时，万元，
当时，单调递减，
所以时，万元.
综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元.