2025--2026学年湖南邵东市第三中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南邵东市第三中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 已知，则， 的展开式中常数项为， 设随机变量，若，则，4556B， 以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. 126B. 84C. 70D. 56
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
4. 从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ）
A. 40种B. 48种C. 30种D. 72种
5. 设随机变量，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
8. 通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（）
A. 0.4556B. 0.3689C. 0.9872D. 0.5625
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下说法正确的是（ ）
A. 决定系数越小，模型的拟合效果越差
B. 数据1，2，4，5，6，8，9的60百分位数为5
C. 若，则
D. 有一组不全相等的样本数据，，，，它的平均数和中位数都是5，若去掉其中的一个数据5，则方差变大
10. 已知事件，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（ ）
A. 若6个相同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种
B. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，则共有种放法
C. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种
D. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量X的分布列如下表，则____________．
13. 已知，若，则__________.
14. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________．

四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的的文字说明､证明过程及步骤.
15. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置.
16. 已知且满足各项的二项式系数之和为256．
（1）求的值；
（2）求的值．
17. 近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，为行业的发展提供了新的可能性．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某市需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，采用简单随机抽样的方法抽取1000名学生，利用整理得到下表数据：
（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异？
（2）从这600名男生中按锻炼的经常性等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人（不放回）调查其锻炼的情况，用X表示这2人中经常锻炼的人数，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
18. 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，.
（1）设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求；
（2）由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望.
19. 一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于中特定区域内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于内的概率均为（是自然对数的底）.
（1）若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率；
（2）若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于内，就停止发射.表示粒子首次落于内的发射次数，表示第次发射时粒子首次落于内的概率，若，求的最小值；（参考数据：）
（3）若一次向中发射个粒子，表示落于内的粒子个数，表示有个粒子落于内的概率，求证.
数学
一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. （ ）
A. 126B. 84C. 70D. 56
答案：A
解析：
思路：利用组合数的性质及计算公式计算得解.
解答过程：依题意，.
故选：A
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据条件概率公式求解即可.
解答过程：由，
则.
故选：A.
3. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：二项展开式的通项公式为，
整理得：，
令，解得：，
展开式中常数项为.
4. 从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ）
A. 40种B. 48种C. 30种D. 72种
答案：C
解析：
思路：根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.
解答过程：从5名学生中选择4人，共有种，
将4人分成两组，共有种，
再将2组进行全排列，对应A，B两种文件，共有种，
则不同的人员安排共有种．
故选：C
5. 设随机变量，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：通过二项分布的期望，方差公式求解.
解答过程：因为随机变量，所以，
解得，所以，
所以.
6. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：设小明选1道类试题为事件，
小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，
设小明答对试题为事件，则，
，，
，，，
由全概率公式得：
，
.
7. 现有10个样本数据，，…，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
答案：A
解析：
解答过程：根据回归直线过样本中心点，代入得：
，所以原个样本的值总和为：，
去掉后，剩余个样本的值总和为：，值总和为：
因此新的样本中心点为：，
因为新的经验回归方程为，回归直线必过新的样本中心点，代入得：
，解得.
8. 通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（）
A. 0.4556B. 0.3689C. 0.9872D. 0.5625
答案：D
解析：
思路：以表示事件“收到的字符是”，分别表示传输的字符为，根据已知信息求得，利用贝叶斯公式可求得.
解答过程：设表示“收到的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，
由题意可得，，，，
，
，
根据贝叶斯公式可得，
.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下说法正确的是（ ）
A. 决定系数越小，模型的拟合效果越差
B. 数据1，2，4，5，6，8，9的60百分位数为5
C. 若，则
D. 有一组不全相等的样本数据，，，，它的平均数和中位数都是5，若去掉其中的一个数据5，则方差变大
答案：ACD
解析：
思路：A由决定系数实际意义；B百分位数定义求60百分位数；C二项分布方差公式求方差，再由方差性质求新方差；D应用方差公式写出原方差、新方差，结合题意判断大小.
解答过程：A：决定系数越小，模型的拟合效果越差，越大拟合效果越好，对；
B：，故60百分位数为6，错；
C：由，则，故，对；
D：由，原方差，去掉一个数据5，均值不变，新方差，
数据是数据去掉一个数据5所得新数据，显然，对.
故选：ACD
10. 已知事件，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：
思路：对于A选项，利用概率的乘法公式，即可求解；
对于B、C选项，利用条件概率的性质，即可求解；
对于D选项，利用全概率公式，即可求解.
解答过程：对于A选项，，所以A选项正确；
对于B选项，，所以B选项错误；
对于C选项，，所以C选项正确；
对于D选项，，则，所以D选项正确．
故选：ACD．
11. 现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（ ）
A. 若6个相同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种
B. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，则共有种放法
C. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种
D. 若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种
答案：AC
解析：
思路：对于A，利用相同元素分配问题 “隔板法”，即可求解；对于B，利用分步计数原理，即可求解；对于C和D，利用组合，先分组再分配，即可求解.
解答过程：对于A，6个相同的小球放入编号为的盒子，且恰有一个空盒，
先要指定空盒的编号，有种情况，然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，
所以不同的放法种数为种，故A正确；
对于B，若6个不同的小球放入编号为的盒子，则共有种，故B错误；
对于C，若6个不同的小球放入编号为的盒子，恰有一个空盒，
先要指定空盒的编号，有种情况，
然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为4、1、1或3、2、1或2、2、2，然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中，
所以不同的放法种数为，故C正确；
对于D，若6个不同的小球放入编号为的盒子，且恰有两个空盒，
先要指定空盒的编号，有种情况，
然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为5、1或4、2或3、3，然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中，
的放法共有，故D错误.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量X的分布列如下表，则____________．
答案：##
解析：
思路：先计算出期望，再计算出方差.
解答过程：因为，
所以
故
13. 已知，若，则__________.
答案：
解析：
思路：由二项展开式的通项公式即可求解
解答过程：展开式的通项公式为,
由，故的系数为
而，得，解得.
故
14. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是________．

答案：
解析：
思路：依题意将锯齿形数列分组找出规律可知第37项是第19组的第一个数，计算可得结果.
解答过程：根据题意，将锯齿形数列两个一组进行分组，可知其成如下规律：
第一组：；
第二组：；
第三组：；
第四组：；
因此第37项是第19组的第一个数，易知第19组的两个数为；
可得第37项是.
故
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的的文字说明､证明过程及步骤.
15. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置.
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：（1）质点回到原点可知质点向右移动3次，向左移动3次，根据二项分布的概率公式，即可求解；
（2）质点位于4的位置可知质点向右移动5次，向左移动1次，根据二项分布的概率公式，即可求解.
解答过程：设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动6次，且每次移动是相互独立，则.
（1）质点回到原点，则，
，
所以质点回到原点的概率是；
（2）当质点位于4的位置时，则，
，
所以质点位于4的位置的概率是.
16. 已知且满足各项的二项式系数之和为256．
（1）求的值；
（2）求的值．
答案：（1）448 （2）255
解析：
思路：（1）先由各项的二项式系数之和为256．可得，求得，再利用通项求解即可；
（2）利用赋值法令，得，再令，得，再减去即可．
（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以，
二项式展开式的通项为，
所以；
（2）令，得，
令，得，
所以．
17. 近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，为行业的发展提供了新的可能性．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某市需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，采用简单随机抽样的方法抽取1000名学生，利用整理得到下表数据：
（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异？
（2）从这600名男生中按锻炼的经常性等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人（不放回）调查其锻炼的情况，用X表示这2人中经常锻炼的人数，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
答案：（1）有差异 （2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）写出零假设并将表格整理为列联表，相应值代入公式求出，判断与临界值的大小从而得出结论.
（2）确定抽样比，求出需抽取的不经常锻炼与经常锻炼男生人数，根据超几何分布的概率公式求出分布列及期望.
（1）零假设为：女生和男生在体育锻炼的经常性方面没有差异．
将所给数据进行整理，得到列联表如下：
根据列联表中的数据，经计算得到
．
根据小概率的独立性检验，推断不成立．即认为女生和男生在体育锻炼的经常性方面有差异．
（2）抽样比为：，则不经常锻炼的男生抽取2人，经常锻炼的男生抽取4人，
由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2．
，
的分布列为
．
18. 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，.
（1）设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求；
（2）由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望.
答案：（1）
（2）解析：
（1）已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，
所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为，
所以，
前两局共得3分分为两种情况：
甲得2分，乙得1分，概率为；
甲得1分，乙得2分，概率为，
所以，
所以
（2）每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为：
甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分；
甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分；
甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分；
所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为，
所以的可能取值为1,2,3,4,5,6，
，
，
分布列为
.
19. 一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意粒子落于何处互不影响.当某个粒子落于中特定区域内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于内的概率均为（是自然对数的底）.
（1）若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率；
（2）若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于内，就停止发射.表示粒子首次落于内的发射次数，表示第次发射时粒子首次落于内的概率，若，求的最小值；（参考数据：）
（3）若一次向中发射个粒子，表示落于内的粒子个数，表示有个粒子落于内的概率，求证.
答案：（1）
（2）7 （3）证明见解析
解析：
思路：（1）利用二项分布的概率公式计算即可；
（2）由题意可知，，利用等比数列的求和公式计算，进而可得出结果；
（3），将转化为按单点概率分组的线性形式并化简，最后减去得到目标结论.
（1）设事件为：“向区域中发射3个粒子，恰有2个落在中”.
则事件的概率为
（2）由题意可知，.
则，
，
若，则，所以，解得：，
所以的最小值为7.
（3）由题意可知，可得
，
因为，且.
所以
.，
所以.X
0
2
4
P
单位：人
性别
锻炼
不经常
经常
女生
50
350
男生
200
400
X
0
2
4
P
单位：人
性别
锻炼
不经常
经常
女生
50
350
男生
200
400
锻炼
合计
性别
不经常
经常
女生
50
350
400
男生
200
400
600
合计
250
750
1000
X
0
1
2
P
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6