2025--2026学年湖南省邵阳市邵东市创新高级中学高一下册4月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南省邵阳市邵东市创新高级中学高一下册4月期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A. 1B. C. 2D.
2. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 复数满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 如图，该平面图形的直观图是一个等腰梯形，且该梯形的面积为，则原图形的面积为（ ）
A. 2B. C. D. 4
5. 已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 市面上出现某种如图所示的冰激凌，它可以看作是由下方的圆台和上方的圆锥组成的组合体，经过测量，圆台上底面的半径为，下底半径为，深为，上方的圆锥高为，则此冰激凌的体积为（ ）.
A. B. C. D.
7. 如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
8. 已知平面向量，且向量满足，则的最大值是（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B. 圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形
C. 直角梯形绕其下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台
D. 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
10. 关于复数的说法，正确的是（ ）
A. 若复数是实数，则
B. 若为复数，则
C. 若，则z是实数
D. 若复数满足，则
11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为2B. 当时，
C. 的最小值为1D. 当时，
12. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，则（ ）
A. 当时，
B. 直线与异面
C. 四面体的体积为定值
D. 当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则向量在向量上的投影向量是__________.
14. 复数（为虚数单位），则z的共轭复数为__________.
15. 在中，，则的面积为__________.
16. 如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 已知复数（，为虚数单位），z在复平面内对应的点为Z.
（1）若z为纯虚数，求的值.
（2）若且与的夹角为锐角，求的范围.
18. 已知向量满足，且与的夹角为，向量.
（1）若，求；
（2）求的最小值.
19. 如图，在长方体中，是棱的中点，，
（1）求与AC所成角的余弦值；
（2）求M到平面距离.
20. 在中，内角的对边分别为为边上的中线，，且，
（1）求；
（2）求的面积.
21. 在中，是边上的一点，的面积为1，
（1）求；
（2）求的长.
22. 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形上的动点，
（1）求四面体的体积；
（2）若，求的轨迹的长度及线段扫过区域的面积.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：A
解析：
思路：化简复数即可得到虚部.
解答过程：由题意可知，，所以复数的虚部为1．
故选：A.
2. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，则，则，，所以B正确，C和D错误，
又，所以与不垂直，故A错误.
3. 复数满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：
思路：由题知，进而根据几何意义求解即可.
解答过程：解：由题知：，
所以z在复平面内对应的点的坐标，位于第二象限.
故选：B
4. 如图，该平面图形的直观图是一个等腰梯形，且该梯形的面积为，则原图形的面积为（ ）
A. 2B. C. D. 4
答案：D
解析：
思路：根据直观图与原图的关系，计算即可求解.
解答过程：由斜二测画法知，
原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的倍，
故原图形的面积为×＝4.
5. 已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据向量运算法则展开求解计算，再结合向量夹角公式求解即可.
解答过程：由，可得：，
代入已知，得：
设与的夹角为（），由，
代入得：，
所以.
6. 市面上出现某种如图所示的冰激凌，它可以看作是由下方的圆台和上方的圆锥组成的组合体，经过测量，圆台上底面的半径为，下底半径为，深为，上方的圆锥高为，则此冰激凌的体积为（ ）.
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：直接由圆锥和圆台的体积公式计算可得.
解答过程：因为圆锥的高为，底面的半径为，由圆锥体积公式得：（），
又因为圆台上底面的半径为，下底半径为，高(深)为，
由圆台体积公式得：（）
所以组合体的体积为（）.
因此此冰激凌的体积为（）.
7. 如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
答案：D
解析：
思路：利用向量线性运算可得，根据平面向量基本定理得，即可得解.
解答过程：因为，所以，
因为是的中点，所以，
所以，
又，所以，即.
故选：D.
8. 已知平面向量，且向量满足，则的最大值是（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
答案：C
解析：
思路：设，由向量垂直的坐标表示求得，结合基本不等式及一元二次不等式求解可得．
解答过程：由已知a=2,b=1,a⋅b=0 ，
设，
因为a−2c⊥b−c，
所以a⃗−2c⃗⋅b⃗−c⃗=a⃗⋅b⃗−a⃗⋅c⃗−2b⃗⋅c⃗+2c⃗2=−2x−2y+2(x2+y2)=0 ，
即，
12a+b⋅c=(1,1)⋅(x,y)=x+y ，
由得，即，
所以，
解得，时，，
所以的最大值是2.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B. 圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点，这三点的连线都可以构成直角三角形
C. 直角梯形绕其下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台
D. 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
答案：BD
解析：
解答过程：对于A，只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，所以A错误
对于B，因为顶点和底面圆心的连线与底面圆垂直，底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点的连线在底面圆内，
由线面垂直的性质可知B正确，
对于C，直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以C错误，
对于D，由圆柱的性质可知D正确．
10. 关于复数的说法，正确的是（ ）
A. 若复数是实数，则
B. 若为复数，则
C. 若，则z是实数
D. 若复数满足，则
答案：ABC
解析：
思路：根据复数的定义判断A，设，求模后判断B，根据复数相等的定义判断C，根据复数的乘方判断D．
解答过程：对A，由复数的定义知A正确；
对B，设，
则，，
，
=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=(a2+b2)(c2+d2)=z1z2，B正确；
对C，设，即为a−bi=a+bi ，所以，，
所以z是实数，C正确；
对D，若复数满足，则，D错．
11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为2B. 当时，
C. 的最小值为1D. 当时，
答案：ABC
解析：
解答过程：选项A：a⋅b=1⋅csx+3⋅sinx=2sinx+π6，正弦函数最大值为1，因此的最大值为2，A正确；
选项B：若，则，即，整理得，B正确；
选项C：由于，，则|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b=5−4sinx+π6，
当sinx+π6=1 时，最小为1，因此的最小值为1，C正确；
选项D：若，则，得，此时，并非只有，D错误.
12. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，则（ ）
A. 当时，
B. 直线与异面
C. 四面体的体积为定值
D. 当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
答案：AC
解析：
思路：对A直接用线面垂直证明线线垂直可得；对B用特殊值判断错误；对C根据线面平行的性质可得三棱锥的底面积和高均为定值，故体积为定值；对D先排除时截面的面积不符合，再考虑时截面为等腰梯形，分两种情况计算，故对应的值有两个，所以D错误.
解答过程：对于A，当时，则，所以点为线段的中点，
即，所以平面，
因为上底面是正方形，所以，
又因为直四棱柱中，
所以平面，平面，
所以，且，DD1∩B1D1=D1，
平面，所以平面，
而平面,所以，故A正确；
对于B，因为，所以点在线段上，
若时，则，此时点与点重合，
由直四棱柱的性质可知且，
所以四边形（或）是平行四边形，
所以平行四边形的对角线与必相交于一点，
即与共面，不是异面，所以B错误；
对于C，因为，平面，平面，
所以平面，所以上任意一点到平面的距离都相等，即为定值，
因为在上，因此点到平面的距离为定值，
而的面积与点的位置无关，即的面积为定值，
所以四面体的体积为定值，故C正确；
对于D，若或时，此时点与点重合或与点重合，此时截面是等腰三角形，
在中，AB1=AD1=12+32=2,B1D1=12+12=2，
所以三角形的高22−222=142，
面积，不符合题意.
若时，此时点是的中点，此时截面是矩形，
截面的面积为，不符合题意.
若时，由直四棱柱的性质可知平面，
再由直线与平面平行的性质可知，
平面截直四棱柱所得截面为一个等腰梯形，如图：
设截面与交于点，与交于点，显然，
因为，所以，因为底面是正方形，
所以是等腰直角三角形，且是斜边上的中线，
所以，
所以，
所以等腰梯形的高B1E2−B1D1−EF22=3+1−2λ2−2−22λ22
=3+121−2λ2，
所以截面的面积，
当时，，
根据正方形的对称性可知，如果截面与棱相交时，截面也是一个等腰梯形，如图：
此时，同理可得，
，
所以等腰梯形的高B1E2−B1D1−EF22=3+2λ−12−2−221−λ22
=3+122λ−12，
所以截面的面积，
当时，，
综上所述，当平面截直四棱柱所得截面面积为时，或，故D错误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则向量在向量上的投影向量是__________.
答案：
解析：
思路：根据投影向量公式求解.
解答过程：根据投影向量公式可得，
向量在向量上的投影向量为.
14. 复数（为虚数单位），则z的共轭复数为__________.
答案：
解析：
解答过程：
，
所以.
15. 在中，，则的面积为__________.
答案：
解析：
思路：借助余弦定理可求出，再利用面积公式计算即可得.
解答过程：由余弦定理可得，
即，
即，故（负值舍去），
故.
16. 如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________.
答案：
解析：
思路：当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，进而结合勾股定理和底面梯形外接圆性质确定外接球的球心位置和球半径，再结合求表面积公式求解即可.
解答过程：依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为.
三棱锥的体积，其中，
是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大.
又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而.
设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为，
由勾股定理：
将代入可得，解得，
因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即.
外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上，
设，外接球半径为，则.
由平面平面，，得底面，，
且.由勾股定理得：，
代入得：，
化简得.
因此，
外接球表面积.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 已知复数（，为虚数单位），z在复平面内对应的点为Z.
（1）若z为纯虚数，求的值.
（2）若且与的夹角为锐角，求的范围.
答案：（1）
（2）解析：
（1）因为复数z为纯虚数，则：且，故.
（2）与的夹角为锐角，⇒a→⋅OZ⃗=m2−4>0 ,
或，故m的取值范围为.
18. 已知向量满足，且与的夹角为，向量.
（1）若，求；
（2）求的最小值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据题意，得到存在实数，使得，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，求得，利用，结合二次函数的性质，即可求解.
（1）解：因为且，所以存在实数，使得，
即，可得kλ=1−k=−3，解得.
（2）解：因为向量满足，且与的夹角为，
可得，
又因为，可得，
设，可得的开口向上，对称轴为，
所以当时，取得最小值，所以的最小值为.
19. 如图，在长方体中，是棱的中点，，
（1）求与AC所成角的余弦值；
（2）求M到平面距离.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）借助等角定理与余弦定理计算即可得；
（2）借助余弦定理可求出，则可得，再利用等体积法可求出点到平面的距离，即可得M到平面距离.
（1）连接，由长方体性质可得，
所以等于异面直线与所成角，
在三角形中，，
，
则，
则与所成角的余弦值为；
（2）设点到平面的距离为，
，，
则，
则sin∠D1B1C=1−10102=31010，
则，
由，故，解出，
则点到平面的距离为，又为的中点，
则点到平面的距离为点到平面的距离的一半，
所以点到平面的距离为.
20. 在中，内角的对边分别为为边上的中线，，且，
（1）求；
（2）求的面积.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理分析求解即可；
（2）利用余弦定理以及三角形面积公式计算即可.
（1）因为，
由正弦定理得，
所以，又，
所以，又，所以
因为，所以.
（2）由余弦定理得，
又，所以
即，解得，
所以.
21. 在中，是边上的一点，的面积为1，
（1）求；
（2）求的长.
答案：（1）
（2）解析：
（1）由的面积为1，
可得，即，
所以或，
又，
所以，所以cs∠BCD=255.
（2）在中，由余弦定理得，
解得，
所以，所以.
在中，由正弦定理可得.
22. 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形上的动点，
（1）求四面体的体积；
（2）若，求的轨迹的长度及线段扫过区域的面积.
答案：（1）
（2）轨迹长度，扫过区域的面积为
解析：
思路：（1）利用柱体和锥体的体积公式可求得四面体的体积；
（2）作出图形，由勾股定理可知，则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆弧，设该圆弧分别交线段、于点、，求出圆弧所对的圆心角，利用扇形的弧长公式可求出点的轨迹长度，分析可知线段扫过的区域为正方形除去、和扇形区域剩余的区域，由此可求得线段扫过区域的面积.
（1）如下图所示：
.
（2）如下图所示：
因为底面，平面，所以，
因为且，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆弧，
因为，设该圆弧分别交线段、于点、，
则，且为锐角，故，
同理可知，故，且，
故的轨迹的长度为，
所以线段扫过的区域为正方形除去、和扇形区域剩余的区域，
故扫过的区域面积为.