2025--2026学年湖南邵阳市邵阳县第二高级中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南邵阳市邵阳县第二高级中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 若集合，，则， 已知，求的值， 的展开式中的系数是等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “或为有理数”是“为有理数”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
3. （ ）
A. 大于B. 小于C. 相等D. 不确定
4. 函数在区间上的奇偶性和最小值分别是（ ）
A. 奇函数､B. 偶函数
C. 奇函数､6D. 既不是奇函数也不是偶函数､6
5. 已知，求的值（ ）
A. B. C. D.
6. 的展开式中的系数是（ ）
A. 18B. -25C. 30D. 0
7. 一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？（ ）
A. 24B. 32C. 30D. 28
8. 甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子中随机摸出个球；否则，从乙箱子中随机摸出个球.求摸到红球的概率（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知等差数列的前项和为，则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D. 最大值为
10. 设(1−2x)2026=a0+a1x+a2x2+…+a2026x2026x∈R，则以下正确的是（ ）
A. a0+a1+a2+…+a2026=32026
B.
C.
D. 各项系数之和为1
11. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ）
A.
B.
C. 小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D. 当时，
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若向量满足，则的最小值为__________.
13. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________.
14. 已知双曲线x2m−y23=1m>0与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________.
四､解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求、
16. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值.
18. 某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数；
（2）现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值.
19. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
数学
一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解集合中的不等式：，所以，又由题可知集合，因此.
2. “或为有理数”是“为有理数”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
答案：A
解析：
思路：通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果.
解答过程：充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立.
必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立.
因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件.
3. （ ）
A. 大于B. 小于C. 相等D. 不确定
答案：A
解析：
解答过程：因为在上单调递减，所以.
4. 函数在区间上的奇偶性和最小值分别是（ ）
A. 奇函数､B. 偶函数
C. 奇函数､6D. 既不是奇函数也不是偶函数､6
答案：D
解析：
解答过程：因为不关于原点对称，所以在区间上既不是奇函数也不是偶函数，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以其最小值为.
5. 已知，求的值（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，
所以，
，
故.
6. 的展开式中的系数是（ ）
A. 18B. -25C. 30D. 0
答案：D
解析：
思路：利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.
解答过程：的展开式中，的系数分别为，−C53，所以的展开式中的系数为C52−C53=0 .
7. 一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？（ ）
A. 24B. 32C. 30D. 28
答案：B
解析：
解答过程：把甲乙两个人看成一个人，则去法共有种；
8. 甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个红球、个白球，乙箱中有个红球、个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子中随机摸出个球；否则，从乙箱子中随机摸出个球.求摸到红球的概率（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据全概率公式及概率的乘法公式可得.
解答过程：记“选到甲箱”，“摸到红球”.
则PC=26=13,PC=23，
从甲箱摸到红球的概率为P(D|C)=510=12，从乙箱摸到红球的概率为P(D|C)=810=45.
根据全概率公式，摸到红球的概率为P(D)=P(C)P(D|C)+P(C)P(D|C)=13×12+23×45=710.
二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知等差数列的前项和为，则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D. 最大值为
答案：AD
解析：
思路：先由前项和公式解得等差数列的基本量，进而可得通项公式及前项和公式，因此可判断各个选项.
解答过程：因为设等差数列的公差为，且，由等差数列的前项和公式，
4a1+4×32d=288a1+8×72d=24，即2a1+3d=142a1+7d=6，解得，所以A正确，B错误；
所以，所以C错误；
又因为，
所以当或时，有最大值，故D正确.
10. 设，则以下正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 各项系数之和为1
答案：ABD
解析：
思路：通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误.
解答过程：对于A，令，可得，
，∴a0+a1+a2+…+a2026，故A正确；
对于B：因为，取，因此，故B正确；
对于C：令，可得，
结合B选项，a1+a2+a3+⋯+a2026=0 ，故C错误；
对于D：令，可得，故D正确.
11. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ）
A.
B.
C. 小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D. 当时，
答案：BC
解析：
思路：确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D.
解答过程：对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，
则，则，，A错误，B正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为，
星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，
设，则，
令，则（舍去）或或，
当或时，，当时，，
故时，取得最大值，即，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，
此时，C正确；
对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为，
遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一天遇到红灯次数的数学期望为，
所以，D错误，
故选：BC
方法提示：难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数，求导，利用导数解决问题.
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若向量满足，则的最小值为__________.
答案：
解析：
思路：直接由向量三角不等式可得最小值.
解答过程：因为对任意的向量，有：a→−b→≤a→+b→≤a→+b→，且，
所以a→+b→≥2−3=1 ，当与反向时等号成立.
所以的最小值为.
13. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内.如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的体积是__________.
答案：
解析：
解答过程：由题意得，题中八面体由正四棱锥和正四棱锥底面贴合而成，正方形为公共底面，边长为.取正方形的中心，记为.连接和，则，，且,,三点共线，线段为八面体的高，连接.
.
则是正方形的一条对角线.因为正方形边长为，由勾股定理得对角线.所以.
八面体的每一个面都是正三角形，因此侧面是正三角形，侧棱.
在中，，，，
由勾股定理：EO=EA2−OA2=42−222=16−8=8=22cm .
由对称性，，所以八面体的高；
底面正方形面积.
八面体体积等于两个正四棱锥体积之和：
V=13×S×EO+13×S×FO=13×S×EO+FO=13×16×42=6423cm3.
故八面体的体积为.
14. 已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________.
答案：
解析：
思路：先由判别式及根与系数的关系可得或，再由可得所求值的范围.
解答过程：联立与，消去，得.
双曲线与直线相交于互异两点，
等价于m>0,3−m≠0,Δ=4m2+16m3−m=12m4−m>0 同时成立.
解不等式m>0m≠312m4−m>0,解得或.
因为正数为双曲线一条渐近线的斜率，所以.
当时，；当时，.
所以正数的取值范围是.
四､解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求、
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得．
（1）根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
（2）由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
16. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
（1）设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
（2）因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.
17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明；
（2）取的中点，连接.证明是平面与平面所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求.
（1）在等边中，因为为的中点，所以，
在正方形中，，
又因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以.
因为,平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接.
则，又正方形中，，所以,
在等边中，因为为的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以.
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角.
设，则，
所以.
18. 某学院为了调查本校学生年月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了名本校学生，统计他们在该月天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求出这名学生中健康上网天数超过天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数；
（2）现从这名学生中任取名，设为取出的名学生中健康上网天数超过天的人数，求的分布列及均值.
答案：（1）（人），平均数，中位数为
（2）均值
解析：
思路：（1）直接根据频率分布直方图计算样本的平均数及中位数可得；
（2）根据随机变量服从超几何分布，从而可得分布列及期望.
（1）由图可知，健康上网天数未超过天的频率为.
所以健康上网的天数超过天的人数是（人）.
频率分布直方图中的平均数
设频率分布直方图中的中位数为，因为前三组的频率和为，前四组的频率和为，
所以中位数在第四组中，得：，
整理得：
（2）因为名学生中健康上网天数超过天的人数有人，
随机变量的所有可能的取值为，且服从超几何分布，所以有：
，，，
所以Y的分布列为
所以的均值.
19. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
答案：（1）见解析；（2）.
解析：
解答过程：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.