宁夏石嘴山市第一中学2025-2026学年高二下学期6月考试数学试卷

这是一份宁夏石嘴山市第一中学2025-2026学年高二下学期6月考试数学试卷，共3页。

单选题
若a  2 ，集合 A  x | x  3，则下列表示中正确的是（ ）
a  A
a  A
a A
a  A
若复数?满足1 2i z  2  i2 ， z 为?的共轭复数，则 z  z  （ ）
5
​
B．5C．
D．3
3
已知e1  1, 0 ， e2  0,1 ， a  e1  2e2 ， b  ke1  e2 ，若a//b ，则实数k 
A．1
2
 1
2
C．2D．−2
“θ kπ ， k  Z ”是“函数 f  x  tan  x θ 是奇函数”的（ ）
充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知圆C : x2  y2  1 ，直线l : y  k  x  2 ，在1,1 上随机选取一个数?，则事件“直线?
与圆?相离”发生的概率为（）
A．1
2
B． 2  2
2
C． 3  3
3
D． 2  3
2
在三棱锥 P−ABC 中，PA  平面???，AB  BC  2 2 ，?? = ?? = 4，则三棱锥 P−ABC
外接球的球心 O 到平面 PAB 的距离为（ ）
2
A．1B．
C．2D． 2 2π
已知a  eπ3, b  ln eπ  2e, c  π  2 ，则（ ）
b  c  a
b  a  c
? < ? < ?D． c  b  a
一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过 5 次飞行后，停在数轴上实数 3 位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？
A．5B．25C．55D．75
多选题
已知α，β是两个不同的平面， m，n 是两条不同的直线，则下列结论中，不正确的是
（ ）
若m / /α,α β n ，则m / /nB．若m α, n  β, m  n ，则? ⊥ ?
C．若α/ /β, m α, n / /β，则? ⊥ ?D．若α β,α β m, m / /n ，则n / /β
已知双曲线C : x2
2
y
2
 b2  1b  0 与动圆 M : x
  y  m2
 m2
4
1m  R 恰有两个交点，
则下列说法正确的是（ ）
双曲线 C 的离心率为 2
双曲线 C 的渐近线被圆 M 截得的弦长为 2
双曲线 C 上存在一条弦，该弦的中点坐标为1,1
过双曲线 C 的一个焦点 F 作圆 M 的两条切线，切点分别为 A，B，则AFB  60∘
玻璃缸中装有 2 个黑球和 4 个白球，现从中先后无放回地取 2 个球．记“第一次取得黑球”为?1，“第一次取得白球”为 A2 ，“第二次取得黑球”为 B1 ，“第二次取得白球”为 B2 ，则
（ ）
P  A1B1   P  A2 B2 
P  A1B2   P  A2 B1 
P B1 A1   P B2
A1   1
P B2
A1   P B1 A2   1
填空题
已知 y  3x 12 1 2x3 ，则 y  ．
2
2
已知点 P 为椭圆 x  y  1 上第一象限上的任意一点，点 A， B 分别为椭圆的右顶点和
43
上顶点，直线 PA 与 y 交于点?，直线 PB 与 x 轴交于点?，则 AN  BM 的值为．
已知函数 f  x  x2  px  q 有两个零点1
2，数列x  满足 x
 x 
f  xn 
，若
n
､nn1f  x 
n
n
n
a  ln xn  2 ，且a  2 ，则数列a 的前 2023 项的和为.
1
xn 1
解答题
为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓
励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记 1 分，失败方记 0 分，没有平局，首先获得 5 分者获胜，比赛结束.
假设每局比赛甲获胜的概率都是3.
5
求比赛结束时恰好打了 6 局的概率；
若甲以 3：1 的比分领先时，记 X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求 X 的分布列及期望.
在V ABC 中，?,?,?分别是三个内角?,?,?的对边， bsinA  acs B  0 ．
2
求B 的大小；
若c  1，且 AB 边上的高是 BC 边上的高的 2 倍，求?及V ABC 的面积．
已知在V ABC 中，角?,?,?所对的边分别是?,?,?，且满足 tanB  tanC  2a .
tanBb
求角?的大小；
若V ABC 的外接圆半径为 1，求V ABC 面积的最大值.
如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AB / /CD ， AB  AD ， AD  CD  2 AB ，E，F 分别为
AD，BC 的中点，若沿着 EF 折叠使得 AD  2 AE 如图 2 所示，连结 BC．
求证：平面???? ⊥ 平面 ABFE；
求二面角 C-BF-D 的余弦值．
已知函数 f  x  a  x 1ex ，其中a  R ，且a  0 .
求函数?(?)的单调区间；
当a  1 时，设 g  x   1 x3  x2  f  x ， x 是 g  x 的极大值点，求证：
30
2  g  x   2 .
30
《宁夏回族自治区石嘴ft市第一中学 2025-2026 学年高二下学期 6 月月考数学试题》参考答案
6 2x 12 3x 15x  2
3
4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
A
C
B
A
D
ABD
ABD
题号
11
答案
BCD
2  22024
 3 4
 2 
3486
【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了 6 局，甲获胜的概率为 P  C 4    ，
55
15  
  
53125
 3 1  2 4296
恰好打了 6 局，乙获胜的概率为 P  C1    ，
55
25   
  
53125
所以比赛结束时恰好打了 6 局的概率为 P  P  P  486  96  582 .

12312531253125
（2）X 的可能取值为 2，3，4，5，
P  X  2  5
 3 2
 
 
 9 ，
25
P  X  3  C1  2  3  3  36 ，

25 5 5125
3  2 23  2 4124
P  X  4  C1     ，
3 5  5 5  5 625
  
3  2 3 3
 2 3
3 296
P  X  5  C1     C3    .
4 5  5 54  5 5 5625
  
所以 X 的分布列如下：
故 E  X   2  9  3 36  4  124  5 96  1966 .
25125625625625
​
【详解】（ ）由正弦定理
1 ? = ? = ? 可得， sin B sin A  sin A  cs B  0.
sin?sin?sin?2
X
2
3
4
5
P
9
25
36
125
124
625
96
625
因为 A (0, π) ，所以sinA  0 .
所以sin B 
B
cs .
2
所以2 sin B  cs B  cs B .
222
因为 B (0, π) ，所以 B  0, π  ， cs B  0 ，
22 2

所以sin B  1 ，所以 B  π ，即 B  π .
22263
（2）因为 AB 边上的高是 BC 边上的高的 2 倍， c  1，所以由等面积法知¸a  2c  2 ，
3
所以b2  a2  c2  2ac cs B  3 ，所以b ，
所以S 1 ac sin B 3 .
△ ABC22
​
【详解】（1）根据正弦定理
a
sin A
b
sin B
c
sin C
 2R ，
所以? = 2?sin?，? = 2?sin?，所以 tanB  tanC  2a  2 sin A ，

tanBbsin B
又因为tan B  sin B ， tan C  sin C ，
cs Bcs C
代入化简得sin B cs C  sin C cs B  2 sin A ①，
sin B cs Csin B
根据两角和的正弦公式sin  B  C   sin B cs C  cs B sin C ，
又 A  B  C  π ，则sin  B  C   sin π  A  sin A ，
sin A
代入①化简得：
 2 sin A  cs C  1 ，
sin B cs Csin B2
因为角C 0, π ，所以角C  π  60 .
3
（2）已知V ABC 的外接圆半径为 1，由正弦定理
a
sin A
b
sin B
c
sin C
 2R ，
可得c  2R sin C  2 1
3  3 ，
2
由余弦定理可知c2  a2  b2  2abcsC ，代入c, cs C 的值可得3  a2  b2  ab .
由基本不等式a2  b2  2ab ，当且仅当a  b 时取等号，
则a2  b2  3  ab  2ab  ab  3 ，当且仅当a  b  3 时ab 取最大值 3.
由三角形面积公式可得S 1 ab sin C 
3 ab ，
V ABC
因为ab  3 ，当且仅当a  b 
24
3 时ab  3 ， V ABC 面积最大，
max
所以SV ABC
3  3  3 3 .
44
18．
【详解】（1） ∵ ?， F 分别为 AD ， BC 的中点， EF //AB//CD
Q AB  AD ． EF  AE ， EF  DE
Q AD 
2 AE ，?? = ??
∴ AE2  DE2  AD2
 DE  EF
 DE  平面 ABFE
Q DE  平面CDEF
∴平面???? ⊥ 平面 ABFE ．
（2）由（1）知， AE ，??，??两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
令?? = 1
则?(0,0,1)， A1, 0, 0 ，?(1,1,0)， F  0, 3 , 0  ， C 0.2,1 ．
2

–––→3
–––→
1–––→1
DB  1,1, 1 ， DF   0, 2 , 1 ， FB  1,  2 , 0  ， FC   0, 2 ,1

→
设平面 BDF 的法向量为m   x, y, z  ，
–→ –––→
m  DB  0
x  y  z  0
则–→ –––→，即，
m  DF  0
3y  2z  0
令? = 2，则 z  3 ，? = 1，
∴平面 BDF 的一个法向量为m  1, 2, 3 ．设平面???的法向量为? = (?,?,?)，
→ –––→
n  FB  02x  y  0
则→ –––→，即 y  2z  0 ，
n  FC  0
令? = −1，则? = 2，? = 1，
∴平面???的一个法向量为n  1, 2, 1 ．
–→ →
m  n
221
∴ cs
m, n
 –→ → 
14  6
m  n21
∵二面角C  BF  D 为锐二面角设为θ，
∴ csθ
19．
21 ．
21
【详解】（1）因为函数 f  x  a  x 1ex ，所以 f  x  axex ，
当a  0 时，令 f  x  0 ，得 x  0 ，令 f  x  0 ，得 x  0 ；
当a  0 时，令 f  x  0 ，得 x  0 ，令 f  x  0 ，得 x  0 ；
综上：当a  0 时，函数?(?)的增区间是0,  ，减区间是, 0 ；当a  0 时，函数?(?)的增区间是, 0 ，减区间是0,  ；
（2）由a  1 时， g  x   1 x3  x2   x 1ex ，
3
则 g x  x2  2x  xex  x x  2  ex ，
令h  x  x  2  ex ， h x  1 ex  0 ， h  x 在 R 上递增，又h 0  1  0, h 1  e 1  0 ，
所以存在 x 0,1 ，有h  x   0 ，且ex0  2  x ，
000
所以当 x 0, x0  时，?′(?) > 0，当 x  x0 ,  时，?′(?) < 0，所以 x0 是 g  x 的极大值点，
所以 g  x    1 x 3  x 2   x 1ex0 ，
03 000
  1 x 3  2x 2  3x  2, x 0,1 ，
3 0000
令r  x   1 x3  2x2  3x  2 ，则r x  x2  4x  3   x 1 x  3  0 ，
3
所以r  x 在(0,1)上递减，又r 0  2, r 1  2 ，
3
所以 2  r  x  2 即 2  g  x   2 .
330