宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知得到数列的周期为4，应用周期性求项.
【详解】由题设，，，，，
所以数列的周期为4，且，
所以.
故选：C
2. 已知等比数列的公比为正数，且，，则（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出
【详解】设等比数列的公比为（），
由题意得，且，即，
，
因，所以，，
故选：D
3. 要安排6名学生到5个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少有1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A. 720种B. 1800种C. 3600种D. 1200种
【答案】B
【解析】
【分析】将6名学生分成5组，再安排到5个乡村，利用分步乘法原理列式求解.
【详解】依题意，将6名学生分成5组有种方法，再把分成的5组安排到5个乡村有种方法，
所以不同的安排方法共有种.
故选：B
4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的单调性与导数的关系可得对任意的恒成立，结合参变量分离法可求出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
因为函数在上单调递增，则对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，则.
故选：C.
5. 随机变量的分布列如表，则方差（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用分布列的性质求出的值，可求出的值，再利用方差公式可求得的值.
【详解】由分布列的性质可得，解得，所以，
故.
故选：C.
6. 已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，利用判断出在上递增，由此化简不等式并求得不等式的解集.
【详解】令，有，得函数在上单调递增，又由不等式可化为，有，
，.
故选：B
7. 若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解
详解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．
a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
a≠0时，△＝16﹣12a．
由△≤0，解得，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
由△＞0，解得a（a≠0），由f′（x）＝0，解得x1，x2．
当时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，
∴必然有f′（x1）＝0，∴12，a＜0．
解得：a．
综上可得：a．
故选：C．
点睛：极值转化为最值的性质：
1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；
2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；
8. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围.
【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且，
所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，
平面,所以平面，因为，平面，
平面,所以平面，又因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上，
因为，
，所以当点位于点时，最大，
当点位于的中点时，最小，
此时，
所以，所以线段长度的取值范围是.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量和满足，且，则
B. 若随机变量，，则
C. 若随机变量，则
D. 在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用方差的性质可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的期望公式可判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，随机变量和满足，且，则，A错；
对于B选项，随机变量，，
则，B对；
对于C选项，因为随机变量，则，C对；
对于D选项，在含有件次品的件产品中任取件，取到的次品数为，
所以，D错.
故选：BC.
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数关于点对称
B. 过点作函数的切线切线方程为
C. 函数有2个极值点
D. 存在无数多个a值，使得方程有两个不同的解
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的对称中心所满足条件检验即可判断A，由过点切线的求法，求出切线判断B，利用导数判断函数的单调性即可得出极值点个数判断C，转化为有两个零点后，利用导数分析函数的图象大致变化规律，确定的取值个数，判断D.
【详解】因为
，
所以函数关于点对称，故A正确；
设切点为，由，切线斜率为，
所以切线方程为，代入点，
可得，又，化简可得，
解得或，所以切线方程为，，故B错误；
由可知，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数有极值点，故C正确；
令，原问题转化为存在无数多个a值，使有两个不同根，，当时，恒成立，函数单调递增，故至多一解，当时，设的两根为，则或时，，
当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取极大值，在处取极小值，所以有两个解时，极大值或极小值为0，即或，
因为，所以，当时，解得，此时；
同理若，解得，
综上，存在使得方程有两个不同的解，不存在无数个，方程有两个解，故D错误.
故选：AC
11. 计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为，该计算结果的大小代表图像对比度的强弱．
已知某像素点规模为1行列的图像第列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案：
①；②，则（ ）．
A. 使用方案①调整，当，时，调整后的对比度比原对比度更强
B. 使用方案②调整，当时，调整后的对比度是原对比度的
C. 使用方案①调整，当时，
D. 使用方案②调整，当，时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象对比度公式，以及对数运算公式，结合选项，即可判断.
【详解】使用方案①调整：当，时，又则，
，，
又，故，所以调整后的对比度比原对比度更强，A正确；
，，
当，即且，又，可得，C正确；
使用方案②调整：当时，
对比度公式为非线性变换，
所以调整后的对比度不一定是原对比度的，
例如：时，
，，
此时，即
B错误；
，而，则，故，
又，则，，
所以，
所以，
设，，
则，
所以函数在上单调递减，
所以，即若，则，
又，
所以
所以，
所以，
又，，所以，D正确．
故答案为：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的值域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域.
【详解】因为，所以，，
所以，即的值域为．
故答案为：.
13. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种.
【答案】
【解析】
【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数.
【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序，
茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，
所以，不同的下锅顺序种数为种.
故答案为：.
14. 一质点落在三棱锥的顶点处，每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处，记事件表示“该质点移动次后落在顶点”，为的对立事件，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先分析某次在点则下次在或不在点，某次不在点，则下次在或不在的概率，再按照分步乘法计算、、，进而利用概率的乘法公式得、，最后利用贝叶斯公式计算即可.
【详解】我们将三个点看作为一个整体，
如果某次在点，则下次一定不在点的概率为；
如果某次不在点，则下次在与不在的概率分别为、，
因，，
则，
因，，
则，
则根据贝叶斯公式可得．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知二项式
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式的第5项的系数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数和为计算可得；
（2）写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【小问1详解】
对于二项式，则展开式中所有二项式系数的和为；
【小问2详解】
因为二项式展开式的通项为（且），
所以，所以展开式的第5项的系数为.
16. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
【答案】（1）
（2）有关
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断.
【小问1详解】
根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；
【小问2详解】
零假设为：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.
17. 如图，该几何体由两个相同正四棱台组合而成
（1）证明：.
（2）已知M，N，O分别是棱，，的中点，过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形，求棱的长度.
（3）已知，该几何体的体积，平面与平面夹角的余弦值为，求棱的长度.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）根据P，E，G，Q四点共面，四边形为菱形，即可得出；
（2）根据正六边形边长计算求解得出；
（3）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再应用二面角余弦计算得出，最后结合四棱台体积公式计算求解.
【小问1详解】
如图，分别延长两个正四棱台的侧棱，得到正四棱锥及正四棱锥，
所以.
连接，，记，连接，.
在正四棱锥及正四棱锥中，平面，平面，
所以直线与是同一条直线.
因为，所以P，E，G，Q四点共面，所以四边形为菱形，所以.
【小问2详解】
解：连接，.
因为过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形，
所以，.
故.
【小问3详解】
解：记正方形的中心为，连接，.
以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，
所以，.
记平面的法向量为，
则即
取，则.
同理可得平面的一个法向量为.
，
解得，
所以正四棱锥的体积.
因为该几何体的体积为，所以正四棱台的体积，
则正四棱锥的体积.
.设，则.
因为，所以，所以，
则，解得.
18. 己知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“好函数”.
（1）若函数是上的“好函数”，求整数的值.
（2）已知函数
（i）讨论的零点个数；
（ii）已知是的零点，证明：是上的“好函数”.
【答案】（1）.
（2）（i）答案见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将问题转换为在上恒成立，即在上恒成立，故只需由函数单调性即可得解；
（2）（i）将问题转换为在上的零点个数，求导分类讨论函数单调性，结合零点存在定理即可求解；（ii）当时，只需证明，当，只需证明，结合两种情形即可得证.
【小问1详解】
易知在上单调递增，且，则是唯一的零点.
因为是上“好函数”，且，
所以在上恒成立，即.
因为在上单调递增，且，
所以整数.
【小问2详解】
（i）因为，且，所以的零点个数等价于函数在上的零点个数.
当时，没有零点.
当时，，令，则，
所以当时，单调递减，当时，单调递增.
又，所以当时，，此时没有零点；
当时，，此时有一个零点；
当时，，又，
所以结合的单调性可知，在和上各恰有一个零点，
即在上存在一个零点，在上存在一个零点.
综上，当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点.
（ii）证明：①若，由（i）可知，在上没有零点，且，
则在上单调递增，，且.
因为，所以.
设函数，则，当时，单调递减，
当时，单调递增，故.
故当时，.
②若，由（i）可知，上存在一个零点，
即在上存在唯一的极大值点，故当时，.
由（i）可知，，且，
则当时，.
又因为，且在上单调递增，
所以存在唯一的零点，且满足.
设函数，
则.
由上可知，在上单调递减，且，
则，此时.
综上，由①②可知，当时，，故是上的“好函数”.
19. 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.
（1）求集合的所有非空子集的交替和的总和；
（2）已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和；
（3）已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和.
【答案】（1）12； （2）672；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；
（2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；
（3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可.
【小问1详解】
集合的非空子集有，
根据题意，集合的交替和分别为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为.
【小问2详解】
集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况，
相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次.
同理，每个元素出现的次数为次，
所以，集合所有非空子集的元素和的总和为.
【小问3详解】
集合，其非空子集有个，
将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3；
第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个；
第三类，不含元素3的非空集合，有个，
将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对，
则集合与集合的“交替和”的和始终为3，
如取，则，集合与集合的“交替和”的和为，
这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为.
超声波检查结果
组别
正常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828