宁夏石嘴山市第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

这是一份宁夏石嘴山市第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
已知样本数据 1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（）
A 6B. 7C. 8D. 9
已知 z  i  3  i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（）
z
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
→→
已知a 和b 都是单位向量，则 a  b 的取值范围（ ）
0,1
0, 2
0, 2
0,1
在V ABC 中，内角A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， a  2c ，若3sin C  2 sin B ，则cs A 的
值为（）
1
3
αα
化简sin cs
22
1
4
 （ ）
 1
3
 1
4
A sinαB. 1 sinαC. csαD. 1 csα
22
6
6
已知正四棱锥的底面边长为 6，且其侧面积是底面积的 2 倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
3
A 36
B. 36
C. 108 3D. 108
《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1000 多年．在《九章算术》中，将
底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 P  ABCD 是阳马，PA  平面ABCD ，PA  5 ，
AB  3 ， BC  4 ．则该阳马的外接球的表面积为（）
125 2π
3
50π
100πD.
500π
3
在锐角V ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c  2
取值范围为（ ）
， C  π ，则 AB 边上的高的
2
4
2

0, 2  
2, 2  
2 2, 2  
4, 3  2 2 
2
2



二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，有多项符合题目要求.）
为了了解某社区 60 周岁以上老年人的体重，进行如下调查：调查一：对该社区所有 60 周岁以上老年人的体重进行调查；
调查二：对该社区部分 60 周岁以上老年人（500 名）的体重进行调查.
关于上述调查，下列说法正确的是（）
调查一是普查，调查二是抽样调查
调查二中的总体是指该社区抽取的 500 名 60 周岁以上老年人的体重
调查二中的样本量是 500
检测一批灯泡的寿命宜采用调查一的调查方式，以使收集的数据更精确
已知 a, b  R ，且 ab  0 ，则下列不等式中，恒成立的是（）
ab
a  b B.
2
a2  b2  2ab
C. b  a  2D.  a  1  b  1   4
aba b 

已知抛物线 C 的顶点为 O，焦点为 F，圆 F 的圆心为 F，半径为 OF.平面内一点 P 满足 OP  OF ，过
P 分别作 C 和圆 F 的切线，切点分别为 M，N（均异于点 O），则下列说法正确的是（）
APM ∥ON
B. PM  PF
C. M，N，F 三点共线D. PF  ON  OP  OF
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
已知函数 y  f  x 是定义在 R 上的偶函数，当 x  0 时， f  x  x 1 ，则 f 1  .
若cs x  sin y  1 ，则sin2 x  sin y 的取值范围是.
4
已知在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1=2AB=2，则该三棱柱 ABC-A1B1C1 外接球 O 的表面积为
；若 P 为正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1 的中点，则平面 PBC 与球 O 的交线长为.
四、解答题（共 77 分，解答应写出演算过程.）
已知全集U  R ， A  x 2  x  4，集合 B  x x  1或 x  5，求：
（1） A  B ；
（2） ðU  A ∪ B .
将直线的方程 x  2 y  6  0 作如下转换：
化成斜截式，并指出它们的斜率与在 y 轴上的截距．
化成截距式，并指出它在 x 轴、y 轴上的截距．
已知函数 f (x)  lg2 (ax  2) ， g(x)  2  bx (b  0, 且b  1)
若函数 f (x) 在区间[1, 2] 上单调递减，求实数 a 的取值范围；
若 a  1 ，且对于任意实数 x1, x2 [0, 2]，总存在实数 x3 [6, ) ，使得
f (x3 ) [| g(x1)  g(x2 ) | 1]  6 ，求实数b 的取值范围．
已知 M 2  5 ， N 2  4 ，动点 P 在直线l：x  2 y  3  0 上．
求 PM  PN 的最小值；
求 PM 2  PN 2 的最小值．
已知函数 f lnx  2x2  ax  1 a2  3．
4
（1）设 a  4 ．
①判断 f  x 在0, ∞ 上的单调性，并用定义证明；
②判断 f  x 在1, 0, 0,1 上是否存在零点．
（2）当 a  0 时，讨论 f  x 零点的个数．
石嘴ft市第一中学 2024-2025 学年高一第二学期 6 月考
数学试题
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
已知样本数据 1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】利用中位数的定义直接求得结果.
【详解】样本数据 1，3，5，7，9，11，13，15 的中位数是 7+9  8 .
2
故选：C
已知 z  i  3  i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（）
z
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先化简计算 z ，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】因为 z  i  3  i ，
z
所以 z  i  i 2  i  1 2i   1  2 i ，
2  i2  i2  i555
所以复数 z 在复平面内对应的点为  1 ,  2  ，位于第三象限.
55 

故选： C .
→→
已知a 和b 都是单位向量，则 a  b 的取值范围（ ）
0,1
0, 2
0, 2
0,1
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据向量的三角不等式进行求解即可．
→→→→
→→0  →→
【详解】根据向量的三角不等式
a  b  a  b
 a  b 得a  b
 2 .
故选：C．
在V ABC 中，内角A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， a  2c ，若3sin C  2 sin B ，则cs A 的
值为（）
1
​
3
【答案】D
1
4
 1
3
 1
4
【解析】
【分析】由已知利用正弦定理可b  3c ，结合已知 a  2c ，利用余弦定理即可求解cs A 的值.
2
【详解】因为3sin C  2 sin B
由正弦定理可得3c  2b ，所以b  3c
2
又 a  2c
 3c 22
  c2  2c
所以csA 
b2  c2  a2   2 
2bc3c
  1
4
2  c
2
故选:D
αα
化简sin cs
22
 （ ）
A. sinαB. 1 sinαC. csαD. 1 csα
22
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角的正弦公式即可求解.
sinαα1
【详解】由二倍角的正弦公式可得
cs
 sinα.
222
故选:B.
6
6
已知正四棱锥的底面边长为 6，且其侧面积是底面积的 2 倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
3
A 36
B. 36
C. 108 3D. 108
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解.
【详解】如图，在正四棱锥 P  ABCD 中， PO 为四棱锥的高， PE 为侧面的高，
因为正四棱锥的底面边长为 6，且其侧面积是底面积的 2 倍，
所以 S侧
=4  1  6PE  2S
2底
 72 ，解得 PE  6 ，
PE2  OE2
3
PO  3，
3
所以VP ABCD故选：A.
 1 S
3 底
 PO  1  36  3
3
3
 36，
《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1000 多年．在《九章算术》中，将
底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 P  ABCD 是阳马，PA  平面ABCD ，PA  5 ，
AB  3 ， BC  4 ．则该阳马的外接球的表面积为（）
125 2π
3
50π
500π
100πD.
3
【答案】B
【解析】
【分析】由题目条件有 PA 
宽高的长方体的外接球相同.
AB，PA 
AD，AB 
AD ，则阳马的外接球与以 PA，AB，AD 为长
【详解】因 PA  平面ABCD ， AB  平面 ABCD， AD  平面 ABCD，
则 PA  AB，PA  AD ，又因四边形 ABCD 为矩形，则 AB  AD .
则阳马的外接球与以 PA，AB，AD 为长宽高的长方体的外接球相同.
又 PA  5 ， AB  3 ， AD  BC  4 ．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：
PA2  AB2  AD2
32  42  52
 5 2 ，
R 
222
则外接球的表面积为： S
 4πR2
 4π 50
4
 50π.
故选：B
2
在锐角V ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c  2
2
2



取值范围为（ ）
， C  π ，则 AB 边上的高的
4
2

0, 2  
【答案】C
2, 2  
2 2, 2  
4, 3  2 2 
【解析】
2
【分析】由等面积法求得 h  2 sin  2 A  π  ，结合V ABC 是锐角三角形求出A 的范围即可.
4 

0  A  π

【详解】因为V ABC 是锐角三角形，所以
2
3ππ
，解得 π  A  π .
42
0  A 
42
a
由正弦定理可得sin A
b
sin B
c
sin C
 2 2  4
2
2
，则a  4 sin A ， b  4 sin B .
设 AB 边上的高为h ，由 S  1 c  h  1  ab sin C 2 ab ，
224
得 h  ab  4 sin Asin B  4 sin Asin  3π  A ，
2c
 4

22
所以 h  4 sin Acs A sin A  2 2 sin A cs A  2 2 sin2 A
 22

2
2 sin 2 A  2 2  1 cs 2 A 
2
2 sin 2 A 
2 cs 2 A
2
 2 sin  2 A  π  .
4 

ππππ3π
π 2
由  A  ，得  2 A  
4244
4 ，可得sin  2 A  4  2 ,1 ，

2
所以 h  2 sin  2 A  π 2 2, 2 2  ，
4 


即 AB 边上的高的取值范围为2 2, 2 
故选：C.
2  .
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，有多项符合题目要求.）
为了了解某社区 60 周岁以上老年人的体重，进行如下调查：调查一：对该社区所有 60 周岁以上老年人的体重进行调查；
调查二：对该社区部分 60 周岁以上老年人（500 名）的体重进行调查.
关于上述调查，下列说法正确的是（）
调查一是普查，调查二是抽样调查
调查二中的总体是指该社区抽取的 500 名 60 周岁以上老年人的体重
调查二中的样本量是 500
检测一批灯泡的寿命宜采用调查一的调查方式，以使收集的数据更精确
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抽样调查和普查的概念、总体和样本的概念即可求解.
【详解】对于选项A ，根据抽样调查和普查的概念可知，
调查一的调查方式是普查，调查二的调查方式是抽样调查，故 A 正确；
对于选项 B，根据总体和样本的概念可知，总体是指该社区所有 60 周岁以上老年人的体重，样本是指抽取的该社区 500 名 60 周岁以上老年人的体重，故 B 错误；
对于选项 C，结合已知条件和样本量的概念可知，样本量是 500，故 C 正确；
对于选项 D，由于检测一批灯泡的寿命，具有损毁性，故只能用抽样调查，故 D 错误.故选：AC.
已知 a, b  R ，且 ab  0 ，则下列不等式中，恒成立的是（）
ab
a  b B.
2
a2  b2  2ab
C. b  a  2D.  a  1  b  1   4
aba b 

【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值判断 A，利用基本不等式判断 B、C、D.
ab
【详解】解：对于 A：当 a  b  1 时，满足 ab  0 ，但是 a  b  1  1，故 A 错误；
2
对于 B：因为a  b2  0 ，所以 a2  b2  2ab ，当且仅当 a  b 时取等号，故 B 正确；
b  a a b
对于 C：因为 ab  0 ，所以 b  0 ， a  0 ，所以 b  a  2 2 ，当且仅当 b  a ，即 a  b 时取
ababab
等号，故 C 正确；
对于 C：因为 ab  0 ，所以 b  0 ， a  0 ， 1  0
abab
a  b
b a
ab  1
ab
所以 a  1  b  1   ab  a  b  1  2 2
 4 ，
a b 

baab

当且仅当 a  b  1 时取等号，故 D 正确；故选：BCD
已知抛物线 C 的顶点为 O，焦点为 F，圆 F 的圆心为 F，半径为 OF.平面内一点 P 满足 OP  OF ，过
P 分别作 C 和圆 F 的切线，切点分别为 M，N（均异于点 O），则下列说法正确的是（）
PM ∥ON
PM  PF
M，N，F 三点共线D. PF  ON  OP  OF
【答案】ABC
【解析】
【分析】设抛物线方程，可得圆的标准方程，设 M  x1 , y1 , N  x2 , y2  ，切线 PM 的方程，利用直线与抛
1
物线、直线与圆的位置关系分别求出两条切线方程，进而求出点 P 的坐标，结合 y2
2
y
 2 px1 、 x1  1 、
2 p
y2  px
 x2 、 y 
px2
、 y2
p2 x2
 2 ，利用平面向量的坐标表示化简计算，依次求解即可.
y
y
222112
22
2p
【详解】设抛物线方程为 y
 2 px( p  0) ，则 F (, 0) ，
2
p 22p222
所以圆 F 的方程为(x )  y ，即 x  y  px  0 .
24
设切点分别为 M  x , y , N  x , y  ，则 y2  2 px ， x2  y2  px  0 ，
112211222
y2
有 x  1 ， y2  px
 x2 .
12 p
222
易知两条切线的斜率存在，设切线 PM 的方程为 y  y1  k (x  x1) ，
则 y  y1  k (x  x1 ) ，消去 x，得 y2  2 p y  2 p y  2 px  0 ，

 y2  2 px
kk11
  ( 2 p )2  4  2 p y  (2 px )  0 ，整理得4 p2  8 pky  4k 2 y2  0 ，
kk1111
即(2 p  2ky )2  0 ，得2 p  2ky  0 ，即 k  p ，
11k
1
所以切线 PM 的方程为 y  y  p (x  x ) ，即 yy  p(x  x ) .
y
111
1
ppp2
同理可得切线 PN 的方程为(x  2 )(x2  2 )  yy2  4 ，
令 x  0 ，分别得 y  y1 ， y 
2
px2
2
2 y ，
y
ypx2
px2
2p2 x2
由OP  OF ，知点 P 在 y 轴上，为 P(0, 1 ) ，由 1 
，得 y1 
，有 y1
 2 .
y
2
222 y2y22
––––→
yy2
ypx2
pxpx
又 PM  (x1, y1  1 )  ( 1 , 1 )  (2 , 2 )  2 (x2 , y2 ) ， ON  (x , y ) ，
22 p
22 y2 2 y
2 y222
222
所以 PM 与ON 共线，即 PM / /ON ，故 A 正确；
––––→
y1y1
–––→p1
又 PM  (x1 , y1  2 )  (x1, 2 ) ， PF  ( 2 ,  2 y1 ) ，
––––→ –––→p
1 211
所以 PM  PF  2 x1  4 y1  2 px1  4  2 px1  0 ，即 PM  PF ，故 B 正确；又
––––→p
y2p
pxpx2  py2pxpx2  p( px  x2 ) pxpx2x  p
FM  (x1  , y1 )  ( 1  , 2 )  (22 , 2 )  (222 , 2 )  2 (2 , y2 )
22 p2y
2 y2y
2 y2
yy22
222222
，
–––→
p2x2  p
FN  (x2  2 , y2 )  (2, y2 ) ，
所以 FM 与 FN 共线，所以 M , N , F 三点共线，故 C 正确；
p
因为 FN  PN ， M , N , F 三点共线，所以 x  x  p ，得 y  p, y  ，
pp pp
所以 M (, p), N (, ), P(0, ) ，
22 22
122
122
p2  p2
44
pp
得 ON
 PF

, OP  OF  ，
2
2
22
，所以
有 ON PF  p , OP OF  pPF  ON  OP  OF 不成立，故 D 错误.
24
故选：ABC.
【点睛】求解圆锥曲线在某点出的切线方程时，考虑切线斜率存在与否，若存在，设切线方程，利用直线与圆锥曲线的位置关系令  0 ，求出参数，解出切线方程，结合题意即可解决有关空间中位置关系或距离关系的问题.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
已知函数 y  f  x 是定义在 R 上的偶函数，当 x  0 时， f  x  x 1 ，则 f 1  .
【答案】2
【解析】
【分析】先求出 f 1  2 ，再由函数的奇偶性求出 f 1 的值.
【详解】由题意得： f 1  11  2 ，因为函数 y  f  x 是定义在 R 上的偶函数，所以
f 1  f 1  2
故答案为：2
若cs x  sin y  1 ，则sin2 x  sin y 的取值范围是.
4
【答案】  9 ,1
 16
【解析】
【分析】
根据等式，结合三角函数的值域，可求得 3  cs x  1 .由同角三角函数式化简所求整式，即可由二次函
4
数性质求得值域.
【详解】因为cs x  sin y  1
4
则sin y  1  cs x
4
因为1  sin y  1
1  1  cs x  13

所以4
，解得 cs x  1
4
1  cs x  1
所以由同角三角函数关系式，并代入sin y  1  cs x 化简可得
4
sin2 x  sin y
 1 cs2 x   1  cs x 
 4

1 23
2
 cs x  

1 ，   cs x  1
4
所以当cs x   3 时， sin2 x  sin y 取得最小值为 9 ；
416
当cs x  1 时， sin2 x  sin y 取得最大值为1；
2
综上可知， sin2 x  sin y 的取值范围为 9 ,1
 16
故答案为：  9 ,1
 16
【点睛】本题考查了三角函数的值域应用，二次型余弦函数的值域求法，同角三角函数关系式的应用，属于基础题.
已知在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1=2AB=2，则该三棱柱 ABC-A1B1C1 外接球 O 的表面积为
；若 P 为正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1 的中点，则平面 PBC 与球 O 的交线长为.
16π
【答案】①.
3
②. 4 14π
7
【解析】
【分析】如图，设上底面的中心为O1 ，下底面的中心为O2 ，连接O1O2 ，算出 A1O1 的长度后根据勾股定理可求外接球的半径，取 BC 的中点为 M ，连接OM , OB, OC, OP, PM ，过O 作 PM 的垂线，垂足为
H ，求出OH 的长度后可求交线圆的半径，从而可求交线长.
【详解】如图，设上底面的中心为O1 ，下底面的中心为O2 ，连接O1O2 ，则其中点为外接球的球心O .
3 
2

 3 
 12
1
又 A1O1  2 
3
2
3
3 ，故球O 的半径为 R 
，
2 3
3
故外接球的表面积为4R2  16 .
3
取 BC 的中点为 M ，连接OM , OB, OC, OP, PM ，过O 作 PM 的垂线，垂足为 H ，因为OB  OC ，故OM  BC ，
由正三棱柱 ABC  A1B1C1 可得 AA1  平面 ABC ，而 AB  平面 ABC ，故 AA1  AC ，
同理 AA1  AB ，
因为 AP  AP, AC  AB, PAC  PAB  90 ，故△PAC △PAB ，所以 PB  PC ，故 PM ⊥BC ，
因为 PM ∩ OM  M ，故 BC  平面OPM ，
而 BC  平面 PBC ，故平面OPM  平面 PBC ，而平面OPM ∩ 平面 PBC  PM ，
OH  平面OPM ，故OH  平面 PBC ，所以O 到平面 PBC 的距离为OH .
3
因为 P 为 AA1 的中点， O 为O1O2 的中点，故OP  A1O1  3 ，
而OM 

 2 3 
2

 1 
2

3
  

 2 

39
6
， PM 
，
12  
3 
2

 2 
7
2
1  13  7
在aPOM 中，由余弦定理可得cs POM  3124   13 .
2 3 3913
36
而∠POM 为三角形内角，故sin POM  2 39 ，
13
因为 1  OH  PM  1  OP  OM sin POM ，
22
故OH  OP  OM sin POM
PM
 2 21 ，
21
平面 PBC 与外接球的交线为圆，该圆的半径为 r 
故圆的周长为： 2π 2 14 = 4 14 π.
77
故答案为： 16π， 4 14 π.
 2 14 ，
4  4
321
7
37
四、解答题（共 77 分，解答应写出演算过程.）
已知全集U  R ， A  x 2  x  4，集合 B  x x  1或 x  5，求：
（1） A  B ；
（2） ðU  A ∪ B .
【答案】（1）x 2  x  1 ；（2）x 4  x  5 .
【解析】
【分析】（1）根据交集运算法则直接计算即可；
（2）先求出 A ∪ B ，再计算出补集即可.
【详解】（1） A  B  x 2  x  1 ；
（2）∵ A  B  x x  4 或 x  5，
∴ ðU  A  B  x 4  x  5 .
【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题.
将直线的方程 x  2 y  6  0 作如下转换：
化成斜截式，并指出它们的斜率与在 y 轴上的截距．
化成截距式，并指出它在 x 轴、y 轴上的截距．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到直线的斜截式方程，并求得斜率和截距；
（2）根据题意，化简得到直线的截距式方程，进而求得坐标轴上的截距.
【小问 1 详解】
解：将原方程移项，可得2 y  x  6 ，可得直线的截距式方程为 y  1 x  3 ，
2
则直线的斜率为k 
1 ，在 y 轴上的截距为3 .
2
【小问 2 详解】
解：将原方程化简为 x  2 y  6 ，可得直线的截距式方程为 x  y  1，
63
所以直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为6,3 .
已知函数 f (x)  lg2 (ax  2) ， g(x)  2  bx (b  0, 且b  1)
若函数 f (x) 在区间[1, 2] 上单调递减，求实数 a 的取值范围；
若 a  1 ，且对于任意实数 x1, x2 [0, 2]，总存在实数 x3 [6, ) ，使得
f (x3 ) [| g(x1)  g(x2 ) | 1]  6 ，求实数b 的取值范围．
【答案】（1） (1, 0)
（2）[
2 ,1) ∪ (1,6 ]
22
【解析】
【分析】(1)根据复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可.
(2)根据 x3 [6, ) ，求出 f (x3 ) 的范围，将式子转化成关于 g  x  的关系式，求出 g  x  的最值，利用
g(x)max  g(x)min  1即可求得实数b 的取值范围.
【详解】解：（1）∵函数 f (x)  lg2 (ax  2) 在区间[1, 2] 上单调递减,
a  0

∴ 2a  2  0 ， 1  a  0 ,
∴实数 a 的取值范围为(1, 0) .
（2） a  1 , x3 [6, ) , f (x3 ) [3, ) ,
又∵ f (x3 ) [| g(x1)  g(x2 ) | 1]  6 ,
∴ 0 | g(x1)  g(x2 ) | 1  2 恒成立,
∴ g(x)max  g(x)min  1 .
当0  b  1 时， g(x) g(x) 2  2b2  1,2  b  1 ,
maxmin2
当b  1时， g(x)
max  g(x)min
 2b2  2  1,1  b 6 ,
2
综上可得：实数b 的取值范围为[ 2 ,1) ∪ (1,6 ] .
22
【点睛】本题主要考查的是复合函数的单调性和函数最值，以及利用最值求参数的取值范围，要求学生认真审题、理清思路，考查学生的计算能力，是难题.
已知 M 2  5 ， N 2  4 ，动点 P 在直线l：x  2 y  3  0 上．
求 PM  PN 的最小值；
求 PM 2  PN 2 的最小值．
5
【答案】（1） 3
229
（2）
10
【解析】
【分析】（1）借助线段和的几何意义求解即可；
（2）设点 P 坐标为(x0 , y0 ) ，写出 PM 2  PN 2 的表达式，将 x0  2 y0  3 代入消元，转化为二次函数的最值问题，即可求解.
【小问 1 详解】
设 M 2, 5 关于直线l ： x  2 y  3  0 对称点坐标为 M  x, y ，

 x+2  2  y+5  3  0
 22
则
，得x  4 ，即 M 4,1 ，

 y  51
 1
 x  22
 y  1
4  22  1 42
PM  PN  PM   PN  M N  3 5 ，
5
所以 PM  PN 的最小值为3．
设点 P 坐标为(x0 , y0 ) ，
【小问 2 详解】
则 PM 2  PN 2  (x  2)2  ( y  5)2  (x  2)2  ( y
 4)2  2x 2  2 y 2 18 y
 49
0000
因为点 P 在直线l：x  2 y  3  0 上，所以 x0  2 y0  3 ，
000
00000
所以 PM 2  PN 2  2 2 y  32  2 y 2 18 y  49  10 y 2  42 y  67 ，
21 2229229

 10  y0  10   10  10 ，
所以 PM 2  PN 2 的最小值为
229
．
10
已知函数 f lnx  2x2  ax  1 a2  3．
4
（1）设 a  4 ．
①判断 f  x 在0, ∞ 上的单调性，并用定义证明；
②判断 f  x 在1, 0, 0,1 上是否存在零点．
（2）当 a  0 时，讨论 f  x 零点的个数．
【答案】（1）① f  x 在0, ∞ 上单调递增，证明见解析；② f  x 在1, 0 上不存在零点，在0,1 上存在零点
（2）答案见解析
【解析】
【 分 析 】 （ 1） 设 m  lnx 得 到f  x  2e2 x  4ex 1， 设 0  x  x ， 计 算
12
f  x1   f  x2   2 ex1  ex2 ex1  ex2  2  0 ， 得 到 函 数 单 调 递 增 ； 再 计 算
f 1 f 0  0, f 0 f 1  0 ，得到是否存在零点.
（2）令t  ex ，则t 0,  ，题目转化为求 g t   2t 2  at  1 a2  3 的零点，考虑  0 ，  0 和  0
4
三种情况，分别计算零点得到答案.
【小问 1 详解】
若 a  4 ，则 f lnx  2x2  4x 1．令 m  lnx ，则 x  em ，得 f m  2e2m  4em 1，所以 f  x  2e2x  4ex 1．
① f  x 在0, ∞ 上单调递增．证明如下：设0  x1  x2 ，
则 f  x1   f  x2
  2e2x1  4ex1 1 2e2x2  4ex2 1  2 ex1  ex2 ex1  ex2  2．
因为1  ex1  ex2 ，所以ex1  ex2  0, ex1  ex2  2  0 ，则 f  x1   f  x2   0 ，
即 f  x1   f  x2  ，所以 f  x 在0, ∞ 上单调递增．
②根据①同理可得 f  x 在, 0 上单调递减．
2  4e  e22  1 ee  e2
因为 f 1  2e2  4e1 1  0 ，
e2e2
f 0  2e0  4e0 1  1  0, f 1  2e2  4e1 1  0
故 f 1 f 0  0, f 0 f 1  0 ，则 f  x 在1, 0 上不存在零点，在0,1 上存在零点．
【小问 2 详解】
令t  ex ，则t 0,  ，
故 f  x 的零点个数即函数 g t   2t 2  at  1 a2  3 在0, ∞ 上的零点个数．
4
当 a  0 时，
6
当Δ  a2  8 1 a2  3  0 ，即 a  2
时， g t  在0, ∞ 上没有零点．
 4

6
当Δ  a2  8 1 a2  3  0 ，即 a  2
时， g t  在0, ∞ 上有 1 个零点．
 4

6
当Δ  a2  8 1 a2  3  0 ，即0  a  2
时，由 g t   0 ，
 4

a 
得t1 
24  a2
4
a 
, t2 
24  a2
，
4
若
，即0  a  2 3, t  0, t
0 ，则 g t  在0, ∞ 上有 1 个零点；
a 24  a2
012
4
若
，即2 a  2 6, t  0, t
0 ，则 g t  在0, ∞ 上有 2 个零点．
a 24  a2
3
012
4
综上所述：
3
当0  a  2
或 a  2
时， f  x 有 1 个零点；
6
当2
 a  2 6 时， f  x 有 2 个零点；
3
当 a  2
时， f  x 没有零点．
6
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的单调性和零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据 的正负分和方程解的正负进行讨论是解题的关键，讨论的方法是常考内容，需要熟练掌握.