宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，40 分.
?
设复数?满足? ― i = 1 + i，则i = （ ）
A．2 + iB．2 ― iC． ― iD．i 2．有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A．11B．12C．16D．17
3．已知集合? = {?∣?2 < 5}，? = { ―3, ― 1,0,2,3}，则? ∩ ? = （ ）
A．{ ―1,0}B．{2.3}C．{ ―3, ― 1,0}D．{ ―1,0,2}
4．如图，在直角梯形????中，?? ∥ ??，?? ⊥ ??，且?? = 1，?? = 3，?? = 2.将直角梯形????绕??所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ）
A．
2 6π +5πB． 3π +5π
C．11πD．6 3π +5π
5．已知向量? = (3,4)，? = (5,0)，那么向量?在向量?上的投影向量为（ ）
D． 3 ,
5
4
5
A．3B．5C．(3,0)
6．设?,?为正实数，且? + ? = 10??，则? + 9?的最小值为（ ）
A
B
C
D
．6．13．8．9
51055
设?，?是不同的直线，?，?是不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
若? ⊥ ?，? ⊥ ?，?//?，?//?
若?//?，? ⊥ ?，则? ⊥ ?
若? ⊥ ?，? ⊥ ?，? ⊥ ?，则? ⊥ ?
若? ⊂ ?，? ⊥ ?，?//?，则? ⊥ ?
8．已知圆?2 + ?2 ―6? = 0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
（ ）
A．1B．2
C．3D．4
二、多选题：本题共 3 小题，18 分.
12
9．已知函数?(?) = ?cs(?? + ?)(? > 0,? > 0,0 < ? < π)在? = 5π处取得最小值―2，与此最
小值点最近的?(?)图象的一个对称中心为 π ,0 ，则下列结论正确的是（）
6
π
6
A．?(?) = 2cs 2? +
π
B．将? = 2sin2?的图象向左平移3个单位长度即可得到?(?)的图象
π
2
C．?(?)在区间 0,
上单调递减
π
2
D．?(?)在区间 0,上的值域为[ ―2, 3]
下图是我国 2018~2023 年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（ ）
我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B．这六年销量的第 60 百分位数为 536.5 万辆
C．这六年增长率最大的为 2019 年至 2020 年
D．2020 年销量高于这六年销量的平均值
在 △ ???中，角?、?、?的对边分别为?、?、?，且? = 2，sin? = 3sin?，则以下四个命题中正确的是（ ）
满足条件的△ ???不可能是直角三角形
3
△ ???面积的最大值为
3
C．当? = ?时， △ ???的内切圆的半径为2―3
D．若△ ???为锐角三角形，则? ∈ (1, 3)
三、填空题：本题共 3 小题，15 分.
12．已知复数? = (?2 + ? ― 12) + (?2 + 2? ― 8)i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数
? = .
13．若?,?,?均为单位向量，且? ⋅ ? = 0,(? ― ?) ⋅ (? ― ?) ≤ 0，则|? + ? ― ?|的取值范围是
14．已知偶函数? = ?(?)在区间[ ― 1,0]上单调递增，且满足?(1 ― ?) + ?(1 + ?) = 0，给出
下列判断：①?( ― 3) = 0；②?(?)在[1,2]上是增函数；③?(?)的图象关与直线? = 1对称；
④函数?(?)在? = 2处取得最小值；⑤函数? = ?(?)没有最大值，其中判断正确的序号是．
四、解答题：本题共 5 小题，77 分.
15．已知?，?，?是同一平面内的三个向量，? = (2,1)．
(1)若|?| = 2 5，且?//?，求?的坐标；
(2)若|?| = 5，且? +2?与2? ― ?垂直，求?与?的夹角?．
2
某校高一年级期中考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了 200
名学生的数学成绩，将成绩分为[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]，共 6
组，得到如图所示的频率分布直方图.
在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在[90,150]内的学生中抽取 13 名，则成绩在 [130,150]内的学生有几个？
学校计划对本次测试数学成绩优异的学生进行表彰，且表彰人数不超过8%，根据样本数据，试估计获得表彰的学生的最低分数.
已知?､? ∈ ?，集合? = ?∣?2 ―(? + 3)? + 2(? + 1) = 0，
? = ?∣2?2 +(3? + 1)? + 2 = 0.
若? ∩ ? = ?，求?､?的值；
若? ∪ ? = ?，求?､?的值.
在 △ ???中，角?,?,?所对的边分别为?,?,?，已知2? = ? + cs? ? .
cs?
(1)求角?的大小；
(2)若? = 4,? + ? = 3 2，求△ ???的面积.
在 △ ???中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c 满足(? ― ?)(sin? + sin?) = ?
(sin? ― sin?)．
(1)求 B；
(2)若? = 2，? = 2 3，求△ ???的面积；
求??―??―??的取值范围．
?2
12．3
【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得.
【详解】因? = (?2 + ? ― 12) + (?2 + 2? ― 8)i是纯虚数，
可得，解得? = 3.
?2 + ? ― 12 = 0
?2 + 2? ― 8 ≠ 0
故答案为：3.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
A
C
B
B
ABD
ABC
题号
11
答案
BC
2
13．[
― 1,1]
【分析】由题意及模长公式求出1 ≤ ? ⋅ ? + ? ⋅ ? ≤ 2，再结合数量积公式计算即可.
【详解】因为? ⋅ ? = 0,且?,?,?均为单位向量，
⃗⃗
⃗
⃗ 2
? + ?
⃗ 2
⃗⃗
⃗ 2
? + 2? ⋅ ? + ?
所以|? + ?| =
=
= 2，
?
所以? ⋅ ? + ? ⋅ ? =
+
⋅ ? = |? + ?| ⋅ |?|cs⟨? + ?,?⟩ = 2cs⟨? + ?,?⟩ ≤ 2，
?
?
?
?
?
因为(? ― ?) ⋅ (? ― ?) = ? ⋅ ? ― ? ⋅ ? ― ? ⋅ ? + ?2 = 1 ―⋅ ? + ? ⋅≤ 0，所以? ⋅ ? + ? ⋅ ? ≥ 1，所以1 ≤ ? ⋅ ? + ? ⋅ ? ≤ 2，
因为|| 2| | 2
2 2
? + ? ― ?= |?| + ?+ |?| +2? ⋅ ? ―2? ⋅ ? ―2? ⋅ ? = 3 ― 2
⋅ ? + ? ⋅，
所以3 ― 2
2
2
||，即
≤ ? + ? ― ?≤ 1
―1 ≤ |? + ? ― ?| ≤ 1.
2
2
故答案为：[― 1,1]. 14．①④
【分析】由?(1 ― ?) +?(1 + ?) = 0可得函数? = ?(?)的图象关于点(1,0)对称，结合偶函数可得?(?)是周期函数，再逐一分析各个命题判断作答.
【详解】由?(1 ― ?) +?(1 + ?) = 0恒成立知，函数? = ?(?)的图象关于点(1,0)对称，又? = ?(?)是偶函数，由?(1 ― ?) +?(1 + ?) = 0得?(? + 1) = ―?(1 ― ?) = ―?(? ― 1)，
则有?(? + 2) = ―?(?)，即?(? + 4) = ―?(? + 2) = ?(?)，因此，?(?)是周期为 4 的周期函数，
对于①，在?(1 ― ?) +?(1 + ?) = 0中，当? = 0时，?(1) = 0，则?( ― 3) = ?(1) = 0，①正确；
对于②，?(?)是偶函数，且在[ ―1,0]上单调递增，则在[0,1]上单调递减，而? = ?(?)的图
象关于点(1,0)对称，
所以?(?)在[1,2]上是减函数，②不正确；
对于③，函数? = ?(?)的图象关于点(1,0)对称，③不正确；
对于④，由①②的信息知，?(?)在[0,2]上单调递减，由?(?)是偶函数知，?(?)在[ ― 2,0]上单调递增，
由?(?)周期是 4 知，?(?)在[4? ― 2,4?](? ∈ Z)上单调递增，在[4?,4? + 2](? ∈ Z)上单调递减，
所以函数?(?)在? = 2处取得最小值，④正确；
对于⑤，由④的信息知，函数?(?)在[4? ― 2,4?](? ∈ Z)上单调递增，在[4?,4? + 2](? ∈ Z)
上单调递减，
当? = 4?(? ∈ Z)时，函数?(?)取得最大值，⑤不正确.
故答案为：①④
【点睛】方法点睛：函数? = ?(?)的定义域为?，∀? ∈ ?，存在常数?，?使得
?(?) + ?(2? ― ?) = 2?⇔?(? + ?) + ?(? ― ?) = 2?，则函数? = ?(?)图象关于点(?,?)对称. 15．(1)(4,2)或( ― 4, ― 2)
(2)? = π
【分析】（1）由向量坐标形式的共线定理和模长公式即可求解.
（2）由向量垂直得(? +2?) ⋅ (2? ― ?) = 0，进而得? ⋅ ?，接着由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解.
【详解】（1）设向量? = (?,?)，
?2 + ?2 =
? = 2?
因为? = (2,1)，|?| = 2 5，?//?，所以解得 ? = 4 或 ? = ―4 ，
5
2，
? = 2? = ―2
所以? = (4,2)或? = ( ― 4, ― 2).
22 + 12
（2）由题|?| == 5，
因为? +2?与2? ― ?垂直，所以 2，
2
(? +2?) ⋅ (2? ― ?) = 2? +3? ⋅ ? ―2? = 0
又|?| = 5，所以2 × 5 + 3? ⋅ ? ―2 × 5 = 0，得? ⋅ ? = ― 5，
2
所以cs? =
?⋅?
|?||?|
42
― 5
= 2 = ―1，
5× 5
2
又? ∈ [0,π]，故? = π.
16．(1)2 (2)134分
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数；
（2）根据频率分布直方图估计总体第?百分位数的方法，计算最低分数.
【详解】（1）由题意有：(0.0025 + 0.005 + 0.01 + 0.015 + ? + 0.005) × 20 = 1，解得
? = 0.0125，
0.005
采用分层抽样在[130,150]内的学生人数有：0.005+0.015+0.0125 × 13 = 2，所以成绩在[130,150]内的学生有 2 个；
（2）因为成绩在[130,150]内的频率为：0.005 × 20 = 0.1，
所以最低分数为：130 +
0.1―0.08
0.1
× 20 = 134，
所以估计获得表彰的学生的最低分数为134分.
17(1)
．? = 1 或
? = ―2
? ∈ ?
? = ― 1
2
? = ―2
? = 0
? = ―2
? = ― 1
(2)
? ∈ ― 5 ,1 ，或
3
? = ― 5 ，或
3
? = 1 ，或
2
? = ―2
【分析】（1）先求出集合?，然后由? ∩ ? = ?得? ⊆ ?，再根据集合的包含关系求解；
（2）由? ∪ ? = ?得? ⊆ ?，再根据集合的包含关系求解．
【详解】（1）因为?2 ― (? + 3)? + 2(? + 1) = (? ― 2)[? ―(? + 1)]，所以2 ∈ ?,? + 1 ∈ ?.
因为? ∩ ? = ?⇔? ⊆ ?，所以2 ∈ ?⇒8 + (3? + 1)2 + 2 = 0⇒? = ―2.
1
2
1
2
所以? = {?∣2?2 ― 5? + 2 = 0} = 2,.于是? = {2}或? = 2,.
1
2
? = ― .
1? = 1
? = ― 1
①? = {2}，则? = 1；②? = 2,
，则所以或
2? = ―2
2 .
? = ―2
（2）因为? ∪ ? = ?⇔? ⊆ ?，对于2?2 + (3? + 1)? + 2 = 0：
①Δ = (3? + 1)2
―16 < 0⇒ ― 5
3
< ? < 1时，? = ∅ ⊆ ?；
②
Δ = (3? + 1)2 ―16 = 0⇒? = ― 5或? = 1.
3
3
当? = ― 5时，2?2 + (3? + 1)? + 2 = 2(? ― 1)2 = 0⇒? = {1} ⊆ ?⇒? = 0，当? = 1时，2?2 + (3? + 1)? + 2 = 2(? + 1)2 = 0⇒? = { ―1} ⊆ ?⇒? = ―2.
③Δ = (3? + 1)2 ―16 > 0，则集合?有两个元素? = ?，
所以2 ∈ ?⇒? = ―2，同（1）的②.
? ∈ ?
所以 ? ∈ ― 5 ,1 ，或
3
? = 0
? = ― 5 ，或
3
? = ―2 ，或
? = 1
? = ― 1
2 .
? = ―2
π
18．(1)? = 3
(2) 3
6
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；
（2）根据余弦定理结合三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）因为2? = ? + cs? ?
cs?
，由正弦定理有：
2sin? = sin? + cs?
sin?， cs?
所以2sin? = sin? + cs? × sin? = sin?cs?+cs?sin? = sin(?+?) = sin? ，
cs?
cs?
cs?
cs?
所以2sin?cs? = sin?，
1
因为? ∈ (0,π)，所以sin? > 0，所以cs? = 2.
π
又? ∈ (0,π)，所以? = 3；
π
（2） ∵ ? = 4,? + ? = 3 2，又由（1）知? = 3
由余弦定理得?2 = ?2 + ?2 ―2??cs? = ?2 + ?2 ―?? = (? + ?)2 ―3??，
即16 = 18 ― 3??，则?? = 2
3
11233
∴ ?△??? = 2 ??sin? = 2 × 3 × 2 = 6
所以△ ???的面积为 3.
6
π
19．(1)3
3
(2)2
(3) ― 13 , ― 1
12
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后利用余弦定理可求出角
B；
（2）利用余弦定理求出?，再由三角形面积公式可求得结果；、
（3）利用正弦定理统一成角的形式??―??―?? = sin?sin?―sin?sin?―sin?sin?，然后利用三角函数
?2sin2?
π
6
π
6
π
6
3
1
恒等变换公式化简变形得4sin2 ? +―2sin ? +― ，令? = sin ? +，然后利用二次
3
函数的性质可求其范围.
【详解】（1） ∵ (? ― ?)(sin? + sin?) = ?(sin? ― sin?)，
由正弦定理，得(? ― ?)(? + ?) = ?(? ― ?)， ∴ ?2 + ?2 ― ?2 = ??．
由余弦定理，得cs? = ?2+?2―?2 = ?? = 1，
2??
2??2
π
∵ ? ∈ (0,π)， ∴ ? = 3．
π
（2）在△ ???中，? = 2，? = 2 3，? = 3．
π
由余弦定理?2 + ?2 ―2??cs? = ?2，得2，
4 + ? ―2 × 2?cs3 = 12
即?2 ―2? ― 8 = 0，解得? = ―2（舍）或? = 4．
1
∴△ ???的面积为??sin? = 1
22
π
× 2 × 4sin3 = 2 3．
π
（3）由（1）知? = 3．
?? ― ?? ― ??
∴?2=
sin?sin? ― sin?sin? ― sin?sin? sin2?
sin?sin? ― 3 (sin? + sin?)
= 2
3
4
2π
3
2 3
3
2π
3
42 34
= 3 sin?sin? ― 3 (sin? + sin?) = 3 sin
43
32
2 33
32
1
― ? sin? ―
1
sin
― ? + sin?
=
cs? + 2 sin? sin? ―
cs? + 2 sin? + sin?
2 32
=2
3 sin?cs? + 3 sin ? ― cs? ― 3sin?
π
3
π
6
31 ― cs2?21
2
3
π
6
π
6
1
= 3 sin2? +3― cs? ― 3sin? = ― 3 cs 2? ++ 3 ― 2sin ? +
= ―
1 ― 2sin2
? +
1
π
6
+ 3 ―2sin ? +
= sin2
π
6
4
3
? +
―2sin? +― 3．
π
6
2π
3
令? = sin ? +， ∵ ? ∈ 0,，
π
∴ ? + 6 ∈
??―??―??
π ,
5π
6
6
4 2
，? = sin? +
4
3
1
∈ 1 ,1 ．
π
6
2
3
4
213
∴
?2
= ?
3
―2? ―
3
=
? ―― ，
12
∴ 当? = 3时，??―??―??取得最小值，最小值为 ― 13．
4?212
当? = 1时，??―??―??取得最大值，最大值为―1．
?2
∴ ??―??―??的取值范围是 ― 13 , ― 1 ．
?212