2025--2026学年江苏省无锡市江阴市六校高一下册4月期中联考数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏省无锡市江阴市六校高一下册4月期中联考数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若向量，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在中，角所对的边分别为，已知，则角为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8. 在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是虚数单位，复数，则（ ）
A. 的共轭复数为B.
C. 为实数D. 的虚部为
10. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是（ ）
A. 直线和直线
B. 直线和直线
C. 直线和直线
D. 直线和直线
11. 一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（ ）
A. 当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸
B. 当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为
C. 当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为
D. 当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数是纯虚数，则实数____．
13. 如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________.
14. 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求与垂直的单位向量的坐标；
（2）若，求与的夹角的值．
16. 已知棱长为的正方体中，分别为的中点．
（1）求证：四点共面；
（2）若沿着平面将正方体截成两部分．
①请判断几何体是否是台体（不需说明理由）；
②求截得的两部分的体积之比．
17. 如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设．
（1）计算的大小；
（2）设、，若、、三点共线，求实数的值；
（3）设，求的面积．
18. 已知分别为三个内角的对边，，．
（1）求；
（2）若的面积为．
①求的周长；
②如图，若为线段上（不含端点）的两个动点，，求的取值范围．
19. 某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下：
（1）方案一：无人机沿水平方向在两点观测塔顶，在同一个铅垂平面内（如示意图），若在处测得塔顶的俯角分别为，在处测得塔顶的俯角分别为，无人机飞行距离．利用上述数据能否计算出两塔塔顶之间直线距离？若能，求出（结果精确到）；若不能，请说明理由．（参考数据：）
（2）方案二：在与两塔基底同一水平面内选取测量点，在点处分别测得塔顶的仰角为，测量点与两塔基底的夹角为．
①假设塔高，试用表示两塔塔顶间距离；
②为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶距水平地面的高度为例．兴趣小组在水平地面内选取点，在点测得塔顶的仰角分别为．若点是线段的中点，，试用表示．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由题意得.
2. 若向量，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：
3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可．
解答过程：由直观图知原几何图形是直角梯形，
如图，由斜二测画法可知，，
所以．
故选：A．
4. 如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可.
解答过程：由图知，
.
故选：D.
5. 在中，角所对的边分别为，已知，则角为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：在中，由正弦定理，得，
由，得，解得或，
经验证符合题意，所以得或.
6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：结合圆锥的侧面积公式求得侧面积．根据题意求得圆锥的底面圆的半径，最后利用圆锥的表面积公式即可求解．
解答过程：因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，
所以圆锥的侧面积为
设圆锥的底面半径为，底面圆的周长等于扇形的弧长可得：，解得
所以圆锥底面的面积为
因此圆锥表面积为．
故选：B.
7. 已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：D
解析：
思路：根据题意，化简得到，得出时，取得最小值，此时复数，再结合复数的几何意义即可求解.
解答过程：因为，可得，
所以，当时，取得最小值为，可得，
此时z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D.
8. 在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：设，以为基底表示出，根据向量数量积的运算律可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数值域求法可求得结果.
解答过程：设，则，
所以，，
所以
又，当时，取最小值为，
当时，取最大值为，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是虚数单位，复数，则（ ）
A. 的共轭复数为B.
C. 为实数D. 的虚部为
答案：ABD
解析：
思路：由共轭复数定义可得A；由模长定义计算可得B；由复数运算法则计算可得C；由复数运算法则及虚部定义计算可得D.
解答过程：对A：由，故，故A正确；
对B：，，
故，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，
故的虚部为，故D正确.
10. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是（ ）
A. 直线和直线
B. 直线和直线
C. 直线和直线
D. 直线和直线
答案：BC
解析：
思路：将正方体还原，从而得到线段所在直线是否为异面直线.
解答过程：还原为正方体，如下：
A选项，直线EF和直线CD平行，不是异面直线，A错误；
B选项，直线AB和直线CD是异面直线，B正确；
C选项，直线EF和直线GH是异面直线，C正确；
D选项，直线AB和直线是相交直线，不是异面直线，D错误.
11. 一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（ ）
A. 当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸
B. 当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为
C. 当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为
D. 当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行
答案：BCD
解析：
思路：根据向量数量积的运算性质及模的运算判断ABC，根据船垂直河岸方向航行用时最短判断D.
解答过程：设小船在静水中的速度为为，水流的速度为，
则 ，小船的实际速度为，则有，
对于A，由小船以北偏西方向航行可知，船速的方向与垂直于河岸方向的夹角为，
若小船实际航向垂直河岸，则在平行于河岸方向的分速度大小与水速大小相等，
即，而，所以假设不成立，错误；
对于B，由题意，所以，
所以，正确；
对于C，因为，所以，所以，
所以，
所以小船到达河北岸的时间为h，正确；
对于D，当小船渡河时间最短时，垂直河岸的分速度最大，
即船垂直河岸方向航行（船头指向正北），此时分速度等于船在静水中的速度，
所以最短时间为 h，正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数是纯虚数，则实数____．
答案：##
解析：
思路：利用复数的运算化简复数，利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可.
解答过程：因为为纯虚数，且，则，解得.
13. 如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________.
答案：
解析：
思路：根据给定条件，求出斜边上的高，再求出圆锥与半球体积的差即可得解.
解答过程：在中，，则，
由斜边与扇形的弧相切，扇形半径，
阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥，
挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球，
所以所求体积为.
故
14. 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____．
答案：##0.5
解析：
思路：由正弦定理把已知等式中的角用边表示，再结合余弦定理和三角形面积公式求解.
解答过程：，
由正弦定理，
，代入上式得：
，所以，
又，，所以，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求与垂直的单位向量的坐标；
（2）若，求与的夹角的值．
答案：（1）或
（2）解析：
思路：（1）设该单位向量为，然后由模为1和垂直的坐标表示列式后组成方程组求解；
（2）根据向量的夹角公式计算.
（1）设该单位向量为，显然，
∴由题意得，，则，
解得，或，，
则的坐标是或．
（2）∵，
∴，，
∴，
∵
∴与的夹角的值为．
16. 已知棱长为的正方体中，分别为的中点．
（1）求证：四点共面；
（2）若沿着平面将正方体截成两部分．
①请判断几何体是否是台体（不需说明理由）；
②求截得的两部分的体积之比．
答案：（1）证明见解析
（2）① 是台体；②
解析：
思路：（1）结合正方体性质可证得，即可得四点共面；
（2）①利用棱台定义：上下底面平行且相似、各侧棱延长后交于一点判断即可得；②借助棱台体积公式计算可得几何体体积，再求出正方体体积后作差可得剩余部分体积，即可得截得的两部分的体积之比.
（1）连接AC，由正方体的性质可知：，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵，分别是，的中点，∴，且，
∴，∴四点共面；
（2）①几何体是台体，理由如下：
由四点共面，且，
故可延长、使得，则、，
又平面、平面，
且平面平面，故，
故、、三线共点，
由，分别是，的中点，
则，且，
故与相似，
又由正方体性质可得平面平面，
故几何体是台体；
②
，
，，
则，
即两部分的体积比为.
17. 如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设．
（1）计算的大小；
（2）设、，若、、三点共线，求实数的值；
（3）设，求的面积．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由题意可知，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）由题意得出，，求出向量、，由题意可知存在实数使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可；
（3）求出的值，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积.
（1）由平面向量数量积的定义可得，
由题意可得，
所以.
（2）由题意可得，，
又因为，则，，
又、、三点共线，则存在实数使得，
即，
由平面向量基本定理得，解得，所以实数的值.
（3）因为，则，
，
所以，
又，所以，
所以．
18. 已知分别为三个内角的对边，，．
（1）求；
（2）若的面积为．
①求的周长；
②如图，若为线段上（不含端点）的两个动点，，求的取值范围．
答案：（1）
（2）① ；②
解析：
思路：（1）根据，利用正弦定理得到，结合两角和的正弦公式求解；
（2）①根据，得到，再由，利用余弦定理求得，即可求解；②由①求得a，c，利用正弦定理求得，，设，在中，利用正弦定理得到AE，在中，利用正弦定理得到AD，建立关于的函数求解.
（1）由正弦定理可得：，
在中，，
所以，
所以，
因为在中，，所以，
所以，所以，
因为，所以 ；
（2）①因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
所以周长为 ；
②由，得，代入，
可得：，
解得：或，
所以或，
如图可知：，
所以，故，，
由正弦定理可得：，
所以，，
设，其中，
则，，
在中，由正弦定理可得，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，
因为，则，
所以.
19. 某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下：
（1）方案一：无人机沿水平方向在两点观测塔顶，在同一个铅垂平面内（如示意图），若在处测得塔顶的俯角分别为，在处测得塔顶的俯角分别为，无人机飞行距离．利用上述数据能否计算出两塔塔顶之间直线距离？若能，求出（结果精确到）；若不能，请说明理由．（参考数据：）
（2）方案二：在与两塔基底同一水平面内选取测量点，在点处分别测得塔顶的仰角为，测量点与两塔基底的夹角为．
①假设塔高，试用表示两塔塔顶间距离；
②为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶距水平地面的高度为例．兴趣小组在水平地面内选取点，在点测得塔顶的仰角分别为．若点是线段的中点，，试用表示．
答案：（1）能，
（2）① ；②
解析：
思路：（1）在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求得，进而利用余弦定理求解；
（2）①利用直角三角形边的关系求解， ；在中，由余弦定理求解即可；
②利用直角三角形边角关系得，在中由余弦定理求解即可.
（1）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
由余弦定理得
．
（2）图1 图2
①如图1，在中，∵，∴，
在中，∵，∴；
在中，由余弦定理得，
∴；
②如图2，
，
在中，，即，
由余弦定理，，
∴，
∴．