江苏省无锡市江阴市六校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

这是一份江苏省无锡市江阴市六校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1−i6，则z=( )
A. 2B. 2iC. −2D. −2i
2.若向量OA=(1,−2)，OB=(1,−1)，则AB=( )
A. (−2,3)B. (0,1)C. (−1,2)D. (2,−3)
3.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为( )
A. 5B. 3C. 2D. 2
4.如图，在▵ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且AE=2ED，若AB=a，AC=b，则BE用a,b表示为( )
A. −12a−13bB. 13a−12bC. −13a+16bD. −23a+13b
5.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知B=30∘,c=2 3,b=2，则角C为( )
A. 60 ∘B. 30 ∘C. 60 ∘或120 ∘D. 30 ∘或150 ∘
6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥表面积为( )
A. 43B. 16π9C. 4π3D. 8π3
7.已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，且a−2b=5，当|z|取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于( )．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=6,AB⋅AD=6，动点P在边BC上，则PA⋅PD的取值范围是( )
A. [−6,−2]B. [−2,10]C. [−2,6]D. [−6,10]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i是虚数单位，复数z1=1−2i,z2=2−i，则( )
A. z1的共轭复数为1+2iB. z1=z2
C. z1+2z2为实数D. z1⋅z2的虚部为−5
10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在AB,CD,EF,GH这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是( )
A. 直线EF和直线CDB. 直线AB和直线CD
C. 直线EF和直线GHD. 直线AB和直线EF
11.一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽500m，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为10km/h，河水的流速大小为2km/h，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是
A. 当小船以北偏西60 ∘方向航行时，小船实际航向垂直河岸
B. 当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为2 26km/h
C. 当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为 648h
D. 当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=11+i+m是纯虚数，则实数m= ．
13.如图，点D､E分别是直角三角形ABC的边AB､AC上的点，斜边AC与扇形的弧DE⌢相切，已知AC=4,BC=2，则阴影部分绕直线AB旋转一周所形成的几何体的体积为 ．
14.记▵ABC的面积为S，▵ABC的外接圆半径为1，且2S=sin2A+cs2B−cs2C，则tanB为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(4,2)．
(1)求与a垂直的单位向量的坐标；
(2)若b=(1,−1)，求a与a+5b的夹角的值．
16.(本小题15分)
已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为CD,AD的中点．
(1)求证：四点M,N,A1,C1共面；
(2)若沿着平面MNA1C1将正方体截成两部分．
①请判断几何体MND−C1A1D1是否是台体(不需说明理由)；
②求截得的两部分的体积之比．
17.(本小题15分)
如图，设Ox、Oy是平面内相交成60∘角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对x,y叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标．假设OP=2e1+4e2．
(1)计算OP的大小；
(2)设A1,3、Bm,−2，若A、B、P三点共线，求实数m的值；
(3)设OQ=e1+e2，求△OPQ的面积．
18.(本小题17分)
已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，b=2， 3bsinC+bcsC=a．
(1)求B；
(2)若▵ABC的面积为 3．
①求▵ABC的周长；
②如图，若D,E为线段BC上(不含端点)的两个动点，∠DAE=60 ∘，求ADAE的取值范围．
19.(本小题17分)
某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶M,N之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下：
(1)方案一：无人机沿水平方向在A,B两点观测塔顶，A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图)，若在A处测得塔顶M,N的俯角分别为α1=60 ∘,β1=30 ∘，在B处测得塔顶M,N的俯角分别为α2=45 ∘,β2=75 ∘，无人机飞行距离AB=500m.利用上述数据能否计算出两塔塔顶之间直线距离MN?若能，求出MN(结果精确到1m)；若不能，请说明理由．(参考数据： 2≈1.414, 3≈1.732, 67≈8.2, 2.68≈1.64
(2)方案二：在与两塔基底P,Q同一水平面内选取测量点O，在点O处分别测得塔顶M,N的仰角为α=60 ∘,β=30 ∘，测量点O与两塔基底的夹角为∠POQ=θ．
(i)假设塔高MP=h1,NQ=h2，试用α,h1,h2表示两塔塔顶间距离MN；
(ii)为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶M距水平地面的高度h为例．兴趣小组在水平地面内选取点A,B,C，在点A,B,C测得塔顶M的仰角分别为θ1,θ2,θ3.若点B是线段AC的中点，AC=a，试用a,θ1,θ2,θ3表示h．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B
7.D
8.D
9.ABD
10.BC
11.BCD
12.−12 /−0.5
13.2 3π3
14.12
15.解：(1)设该单位向量为 m=(x,y) ，显然 x2+y2=1 ，
∴由题意得 a⊥m ， a=4,2 ，则 4x+2y=0 ，
解得 x= 55 ， y=−2 55 或 x=− 55 ，y=2 55，
则 m 的坐标是 55,−2 55 或 − 55,2 55 .
(2)∵ a+5b=(9,−3) ，
∴ |a+5b|= 92+(−3)2=3 10 ， a⋅(a+5b)=30 ，
∴ cs=a⋅(a+5b)|a|⋅|a+5b|=302 5⋅3 10= 22 ，
∵ ∈[0,π]，
∴ a 与 a+5b 的夹角的值为 π4 ．

16.解：(1)连接AC，由正方体的性质可知：AA1=CC1,AA1//CC1，
∴四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC//A1C1,AC=A1C1，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN//AC，且MN=12AC，
∴MN//A1C1，∴四点M,N,A1,C1共面；
(2)①几何体MND−C1A1D1是台体，理由如下：
由四点M,N,A1,C1共面，且MN≠A1C1，
故可延长A1N、C1M使得A1N∩C1M=S，则S∈A1N、S∈C1M，
又A1N⊂平面A1D1D、C1M⊂平面C1D1D，
且平面A1D1D∩平面C1D1D=D1D，故S∈D1D，
故A1N、D1D、C1M三线共点，
由M，N分别是CD，AD的中点，
则DNA1D1=DMC1D1=12，且∠A1D1C1=∠NDM=90 ∘，
故▵NDM与▵A1D1C1相似，
又由正方体性质可得平面NDM//平面A1D1C1，
故几何体MND−C1A1D1是台体；
②V棱台NDM−A1D1C1=13S▵MND+S▵A1D1C1+ S▵MND⋅S▵A1D1C1⋅DD1
=1312×1×1+12×2×2+ 12×1×1×12×2×2×2=73，
V正方体ABCD−A1B1C1D1=23=8，V多面体A1B1C1−BCMNA=V正方体ABCD−A1B1C1D1−V棱台NDM−A1D1C1=8−73=173，
则V棱台MND−C1A1D1V多面体A1B1C1−BCMNA=73173=717，
即两部分的体积比为717．

17.解：(1)由平面向量数量积的定义可得e1⋅e2=1×1⋅cs60∘=12，
由题意可得OP=2e1+4e2，
所以OP=2e1+4e2= 2e1+4e22= 4e12+16e1⋅e2+16e22= 4+16×12+16=2 7．
(2)由题意可得OA=e1+3e2，OB=me1−2e2，
又因为OP=2e1+4e2，则AP=OP−OA=e1+e2，AB=m−1e1−5e2，
又A、B、P三点共线，则存在实数λ使得AB=λAP，
即m−1e1−5e2=λe1+e2=λe1+λe2，
由平面向量基本定理得m−1=λ−5=λ，解得m=−4，所以实数m的值−4．
(3)因为OQ=e1+e2，则OQ= e1+e22= e12+2e1⋅e2+e22= 1+2×12+1= 3，
OP⋅OQ=2e1+4e2⋅e1+e2=2e12+6e1⋅e2+4e22=2+6×12+4=9，
所以cs∠POQ=OP⋅OQOP⋅OQ=92 7× 3=3 2114，
又0∘