2025--2026学年江苏无锡市江阴市六校高二下册期中联考数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏无锡市江阴市六校高二下册期中联考数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 学生要从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
4. 函数的极小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知随机变量X的分布列如表所示：
若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的图象关于点成中心对称
B. 当时，零点个数是3
C. 当时，
D. 若函数在有最大值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的系数为______．
13. 定义域为的二次函数满足：①为奇函数；②对任意的，，若，都有．写出一个满足条件的函数_____．
14. 甲和乙两个箱子中各装有大小相同的10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，那么从甲箱子中随机摸出个球；如果点数为1，2，3，4，那么从乙箱子中随机摸出个球.若，摸到红球的概率为______；若，至少摸到一个红球的概率为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 等6人排成一排，用数字作答下列问题．
（1）两人不排在一起，有几种排法；
（2）两人必须排在一起，有几种排法；
（3）A不在排头，B不在排尾，有几种排法．
16. 在的展开式中，所有项的二项式系数之和为128．
（1）求出展开式中所有的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项．
17. 已知函数的极小值点为．
（1）求的值；
（2）若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的值；
（3）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围．
18. 一个猜谜语活动中有A和B两道谜语，小明猜对谜语A的概率为，猜对获得奖金10元，猜对谜语B的概率为，猜对获得奖金20元，猜不出不给奖金，小明是否猜对两道谜语相互独立.
（1）设事件“小明恰好猜对一道谜语”，求事件M发生的概率；
（2）如果按照如下规则猜谜：先选一道猜测，只有在猜对的情况下，才有资格猜下一道．
（i）若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢；
（ii）在（i）顺序下，小明可以花元购买提示机会，购买一次对两道谜语都生效，提示后小明猜对两道谜语的概率均会提高个百分点()，问、满足什么关系，小明才值得购买提示（购买后收益期望减去元大于购买前收益期望）．
19. 已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明:．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由组合数的计算公式即可求解.
解答过程：因为，
又；；；，
故.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：求，代入求值.
解答过程：因为f'x=1+1x，所以f'1=1+11=2 .
3. 学生要从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
答案：B
解析：
思路：应用乘法原理结合组合数计算求解.
解答过程：先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为C21×C42=2×6=12 种.
4. 函数的极小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求导，确定函数单调性，即可求解.
解答过程：对求导：，
因为恒成立，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此是的极小值点，
，​ 即函数极小值为.
5. 已知随机变量X的分布列如表所示：
若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先由分布列性质求得，再由期望值求出，进而求得.
解答过程：由分布列性质可得0.2+0.2+b+0.3=1 ，解得，
则EX=0×0.2+1×0.2+2×0.3+0.3a=0.8+0.3a ，又，
所以0.8+0.3a=2 ，解得，
所以.
6. 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意得到利润函数，利用导数求最值判断.
解答过程：由题知总收入 R=q2800−19q2=2800q−19q3 ，成本 ，
因此利润 L=R−C=2800q−19q3−10+100q=2700q−19q3−10q>0，
则 L'=2700−13q2，令 L′=0 ，得.
当q∈0,90时，，单调递增；
当q∈90,+∞时，L'f(3) ，即
又ln⁡3>1,π>3 ，所以πln⁡3>3 ，所以ln33>1π，即 ，
综上可得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：由两点分布的期望、方差计算公式和期望、方差的性质逐项判断即可.
解答过程：选项A：由概率和为，则​，A正确；
选项B：E(X)=0⋅P(X=0)+1⋅P(X=1)=23，
根据期望性质，得E(3X+2)=3⋅23+2=4≠2 ，B错误；
选项C：根据方差公式，得D(X)=23⋅13=29​，C正确；
选项D：根据方差性质，得D(3X+2)=32⋅29=2 ，D正确.
10. 若，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：AC
解析：
思路：令，，可判断ABC，把等式两边求导数，取，可判断D.
解答过程：令，可得，A正确；
令，可得a0+a1+a2+⋯+a10=1−210=1 ，
故，B错误；
取，可得a0+a12+a222+a323+⋯+a10210=0 ，
故，C正确；
由，
两边求导数，可得−201−2x9=a1+2a2x+⋯+10a10x9，
取可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+10a10=−201−29=20 ，D错误.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的图象关于点成中心对称
B. 当时，零点个数是3
C. 当时，
D. 若函数在有最大值，则
答案：ABD
解析：
思路：对A，验证，利用奇函数定义判断其图象关于原点中心对称；对 B，对因式分解，直接求解方程的实根个数判断；对 C，取特殊值​，通过比较与的大小，反证原不等式不成立；对 D：根据三次函数的单调性与极值，结合区间内存在最大值的条件，列出 “极大值点在区间内” 和 “区间内无大于的函数值” 两个不等式求解的范围.
解答过程：易知f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1) ，令得或，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故极大值 ，极小值 .
对于A：当 时，，对任意有，是奇函数，图象关于原点 中心对称，A正确；
对于B：当时，f(x)=x3−3x=xx2−3=x(x−3)(x+3) ，
由，得或，B正确；
对于C：取，f(12)=−118+a0 在上恒成立，
∴gx=ex−x−1 在单调递增，
所以，即当，ex>x+1>1 ，
要使fx+1>fex在上恒成立，只需在上递减，
由（1）得，解得．
解法2：设gx=fx+1−x+aex=lnx+1−ax+1−x+aex，g'x=1x+1−a−1+aex，
设hx=g'x=1x+1−a−1+aex，则h'x=−1x+12+aex ，
①当时在恒成立，所以在单调递增，
所以所以在单调递增，所以gx>g0=0 ，满足题意，
②当时，使得，，所以在单调递减，
所以，g'x