江苏省无锡市江阴市六校联考2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省无锡市江阴市六校联考2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷（Word版附解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．若向量，，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，角所对的边分别为，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知是虚数单位，复数，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．为实数D．的虚部为
10．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是（ ）
A．直线和直线
B．直线和直线
C．直线和直线
D．直线和直线
11．一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（ ）
A．当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸
B．当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为
C．当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为
D．当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行
三、填空题
12．已知复数是纯虚数，则实数____．
13．如图，点分别是直角三角形的边上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为__________.
14．记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____．
四、解答题
15．已知．
(1)求与垂直的单位向量的坐标；
(2)若，求与的夹角的值．
16．已知棱长为的正方体中，分别为的中点．
(1)求证：四点共面；
(2)若沿着平面将正方体截成两部分．
①请判断几何体是否是台体（不需说明理由）；
②求截得的两部分的体积之比．
17．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设．
(1)计算的大小；
(2)设、，若、、三点共线，求实数的值；
(3)设，求的面积．
18．已知分别为三个内角的对边，，．
(1)求；
(2)若的面积为．
①求的周长；
②如图，若为线段上（不含端点）的两个动点，，求的取值范围．
19．某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下：
(1)方案一：无人机沿水平方向在两点观测塔顶，在同一个铅垂平面内（如示意图），若在处测得塔顶的俯角分别为，在处测得塔顶的俯角分别为，无人机飞行距离．利用上述数据能否计算出两塔塔顶之间直线距离？若能，求出（结果精确到）；若不能，请说明理由．（参考数据：）
(2)方案二：在与两塔基底同一水平面内选取测量点，在点处分别测得塔顶的仰角为，测量点与两塔基底的夹角为．
①假设塔高，试用表示两塔塔顶间距离；
②为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶距水平地面的高度为例．兴趣小组在水平地面内选取点，在点测得塔顶的仰角分别为．若点是线段的中点，，试用表示．
参考答案
1．A
【详解】由题意得.
2．B
【详解】
3．A
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，
如图，由斜二测画法可知，，
所以．
故选：A．
4．D
【详解】由图知，
.
故选：D.
5．C
【详解】在中，由正弦定理，得，
由，得，解得或，
经验证符合题意，所以得或.
6．B
【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，
所以圆锥的侧面积为
设圆锥的底面半径为，底面圆的周长等于扇形的弧长可得：，解得
所以圆锥底面的面积为
因此圆锥表面积为．
故选：B.
7．D
【详解】因为，可得，
所以，当时，取得最小值为，可得，
此时z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D.
8．D
【详解】设，则，
所以，，
所以
又，当时，取最小值为，
当时，取最大值为，
所以.
9．ABD
【详解】对A：由，故，故A正确；
对B：，，
故，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，
故的虚部为，故D正确.
10．BC
【详解】还原为正方体，如下：
A选项，直线EF和直线CD平行，不是异面直线，A错误；
B选项，直线AB和直线CD是异面直线，B正确；
C选项，直线EF和直线GH是异面直线，C正确；
D选项，直线AB和直线是相交直线，不是异面直线，D错误.
11．BCD
【详解】设小船在静水中的速度为为，水流的速度为，
则 ，小船的实际速度为，则有，
对于A，由小船以北偏西方向航行可知，船速的方向与垂直于河岸方向的夹角为，
若小船实际航向垂直河岸，则在平行于河岸方向的分速度大小与水速大小相等，
即，而，所以假设不成立，错误；
对于B，由题意，所以，
所以，正确；
对于C，因为，所以，所以，
所以，
所以小船到达河北岸的时间为h，正确；
对于D，当小船渡河时间最短时，垂直河岸的分速度最大，
即船垂直河岸方向航行（船头指向正北），此时分速度等于船在静水中的速度，
所以最短时间为 h，正确.
12．/
【详解】因为为纯虚数，且，则，解得.
13．
【详解】在中，，则，
由斜边与扇形的弧相切，扇形半径，
阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体是绕直线旋转一周所得圆锥，
挖去扇形弧绕直线旋转一周所得半球，
所以所求体积为.
故答案为：
14．/0.5
【详解】，
由正弦定理，
，代入上式得：
，所以，
又，，所以，所以.
15．(1)或
(2)
【详解】（1）设该单位向量为，显然，
∴由题意得，，则，
解得，或，，
则的坐标是或．
（2）∵，
∴，，
∴，
∵
∴与的夹角的值为．
16．(1)证明见解析
(2)① 是台体；②
【详解】（1）连接AC，由正方体的性质可知：，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵，分别是，的中点，∴，且，
∴，∴四点共面；
（2）①几何体是台体，理由如下：
由四点共面，且，
故可延长、使得，则、，
又平面、平面，
且平面平面，故，
故、、三线共点，
由，分别是，的中点，
则，且，
故与相似，
又由正方体性质可得平面平面，
故几何体是台体；
②
，
，，
则，
即两部分的体积比为.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由平面向量数量积的定义可得，
由题意可得，
所以.
（2）由题意可得，，
又因为，则，，
又、、三点共线，则存在实数使得，
即，
由平面向量基本定理得，解得，所以实数的值.
（3）因为，则，
，
所以，
又，所以，
所以．
18．(1)
(2)① ；②
【详解】（1）由正弦定理可得：，
在中，，
所以，
所以，
因为在中，，所以，
所以，所以，
因为，所以 ；
（2）①因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以，
所以周长为 ；
②由，得，代入，
可得：，
解得：或，
所以或，
如图可知：，
所以，故，，
由正弦定理可得：，
所以，，
设，其中，
则，，
在中，由正弦定理可得，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，
因为，则，
所以.
19．(1)能，
(2)① ；②
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
由余弦定理得
．
（2）
①如图1，在中，∵，∴，
在中，∵，∴；
在中，由余弦定理得，
∴；
②如图2，
，
在中，，即，
由余弦定理，，
∴，