江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附答案），共7页。试卷主要包含了已知点，向量，则向量＝等内容，欢迎下载使用。
命题人：徐波 复核人：高强
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，向量，则向量＝（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△O'A'B'是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．15
已知单位向量的夹角为，则|a−b|=（ ）
A．1B．C．D．3
4．“YuBike微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）
A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面
C．两条平行直线确定一平面D．两条相交直线确定一平面
5. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（ ）
A． B．
C． D．
6. 在△ABC中，，，，则此三角形（ ）
A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定
7. 设分别是的内角的对边，已知是边的中点，的面积为1，且，设则等于（ ）
A． B． C. D.2
8．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则该直三棱柱的体积是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数，则（ ）
A．的虚部为 B．
C．在复平面内的对应点位于直线上 D．为方程的一个根
10.如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线与是相交直线B．直线与是异面直线
C．与平行D．直线与共面
11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．在向量上的投影向量为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则 .
13．某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为 米．
14.如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，点D在BC上，且BD=2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于O点，则BE= ；则cs∠EOD = .
解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位.
(1)求；
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
16.（本小题15分）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若向量，，求与夹角的余弦值.
17．（本小题15分）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，等腰直角三角形△SOC的面积为.
(1)求圆锥的表面积；
(2)若点是的一个三等分点，求三棱锥的体积.
18．(本题满分17分)如图,在△ABC中,的平分线交边于点,点在边上,,,.
(1)求的大小;
(2)若,求△CDE的面积.
19.（本小题17分）如图，圆C的半径为3，其中A、B为圆C上两点.
(1)若cs∠CAB=13，当k为何值时，AC+2AB与kAC−AB垂直？
(2)若G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且AP=λAB，AQ=μAC，求λ+μ最小值.
(3)若AC+tAB的最小值为1，求AB的值.
2024-2025学年度春学期期中联考试卷
高一数学答案
单选题：
1-4.A C C B 5-8. D C B A
二、选择题：
9.BCD 10.BD 11.ABD
三、填空题：
12. 1 13. 14. 23 , 33926
解答题：
15.（1）设z=a+bi，a,b∈R，z+2i=a+b+2i，
因为z+2i为实数，所以b+2=0，即b=−2 （2分）
所以z(1−2i)=(a−2i)(1−2i)=a−4−2(a+1)i，
又因为z(1−2i)为纯虚数， 所以a−4=0即a=4，所以z=4−2i，（4分）
所以z=42+(−2)2=（6分）
由（1）知， z=4+2i，
所以(z+mi)2=(4+2i+mi)2=16−(m+2)2+8(m+2)i，（9分）
又因为(z+mi)2在复平面上所对应的点在第一象限，
所以16−(m+2)2>08(m+2)>0 ，（11分）
解得：−20，则λ+μ=13λ+μ1λ+1μ=132+μλ+λμ≥132+2μλ⋅λμ=43，
当且仅当λμ=μλ1λ+1μ=3λ>0,μ>0时，即当λ=μ=23时，λ+μ取最小值（11分）
（3）设AB=mm>0，取线段AB的中点E，连接CE，则CE⊥AB，
则AC⋅AB=AE+EC⋅AB=AE⋅AB+EC⋅AB=12AB2，
又AC+tAB=AC+tAB2=AC2+2tAB⋅AC+t2AB2=9+tAB2+t2AB2
=9+m2t+t2m2=m2t+122+9−m24，（14分）
所以当t=−12时，AC+tAB有最小值9−m24，所以9−m24=1，解得m=42，
即AC+tAB取最小值1时，AB=42．（17分）