2025--2026学年江苏连云港市赣榆区高二下册期中学业水平质量监测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏连云港市赣榆区高二下册期中学业水平质量监测数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则与的夹角为锐角
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
5. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 在复平面内，复数（为虚数单位）与点对应，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，为复数，则
C. 若，则
D. 若，则的取值范围为
10. 在中，，则下列等式恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 在圆的内接四边形中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 圆的半径为4
C. 四边形面积为
D. 若、分别为，中点，则
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 在复数集中，若复数z满足，则___________．
13. 若，则_____.
14. 在边长为6的菱形中，，是菱形内的一点，且，则的最小值为_____
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知复数，，，i为虚数单位.
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若为正实数，求.
16. 已知，，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求；
（2）若，的面积，线段中点为，求的长.
18. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若为的内角，当时，.
（i）求；
（ii）若，其对边，求面积的取值范围.
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
（1）若，，
①求；
②角的内角平分线交于，求线段的长；
（2）求的取值范围.
数学
满分150分，共4页，考试时间120分钟）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. 已知集合，，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，，，，所以，
所以.
2. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则与的夹角为锐角
答案：B
解析：
解答过程：对于A，如，，，而，故A错误；
对于B，因为，所以与方向相同，故，故B正确；
对于C，若，满足，，但与不一定平行，故C错误；
对于D，当为非零向量，且共线同向时，满足，此时与的夹角为0，故D错误.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由，得，解得.
4. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
答案：C
解析：
思路：由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果.
解答过程：由，可得，
，，
所以，，
因为，所以，即，
所以是等腰三角形.
故选：C.
5. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由求得，再根据投影向量的概念求解.
解答过程：由，得，解得，所以，
所以，则，
所以在上的投影向量为.
6. 在复平面内，复数（为虚数单位）与点对应，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由题可得，两式平方相加得，
所以，解得.
7. 在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由角平分线的性质可得，再根据，计算求得结果，从而得到点的坐标.
解答过程：由题可得，，，
由角平分线性质可得，所以，
，
所以点的坐标为.
8. 已知在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转化，得到，再结合三角形是锐角三角形求出角的范围，最后化简所求式子并根据角的范围确定其取值范围.
解答过程：因为，又，
所以，化简得，
由正弦定理得，
即，
所以，即，
因为是锐角三角形，所以，即，
又，即，解得，
由正弦定理，，
因为，所以，则，
所以的取值范围是.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，为复数，则
C. 若，则
D. 若，则的取值范围为
答案：BD
解析：
解答过程：对于A，若为非零向量，由，又，则，
又，所以，不满足，故A错误；
对于B，设，，，
则，
所以，
又，，所以，
所以，故B正确；
对于C，若，满足，但与不一定相等，故C错误；
对于D，设，则表示的对应点在圆心为，半径为2的圆上，
所以表示圆上的点到原点的距离，故的取值范围为，故D正确.
10. 在中，，则下列等式恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：ACD
解析：
解答过程：对A：因为，所以，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，
,
所以，故D正确.
11. 在圆的内接四边形中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 圆的半径为4
C. 四边形面积为
D. 若、分别为，中点，则
答案：ACD
解析：
思路：对A，在和中，分别利用余弦定理表示，运算得解；对B，由选项A得，在中利用正弦定理求解；对C，由四边形的面积，运算得解；对D，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出四边形外接圆的方程，结合求出点的坐标，进而求出的坐标，得解.
解答过程：对于A，由圆内接四边形对角互补，即，故，
在中，由余弦定理得，
即，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，
解得，，故A正确；
对于B，由，，故，
四边形的外接圆即是的外接圆，故的外接圆的半径，故B错误；
对于C，四边形的面积
，故C正确；
对于D，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于为轴，建立平面直角坐标系，
由，，则，，
直线的斜率，则的中垂线斜率为，的中点为，
所以的中垂线方程为，即，
又线段的中垂线方程为，则四边形外接圆圆心坐标为，
所以四边形外接圆的方程为，
设，由，得，
两式相减得，代回，得，解得或，
当时，代回，得，即，此时点在之间，不合题意；
当时，得，即，
故点，又点，
所以，故D正确.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 在复数集中，若复数z满足，则___________．
答案：
解析：
思路：设出，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果.
解答过程：设，则，则，解得，或，所以或，
故
13. 若，则_____.
答案：##
解析：
解答过程.
14. 在边长为6的菱形中，，是菱形内的一点，且，则的最小值为_____
答案：
解析：
思路：以菱形的对角线的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据已知条件求得点的轨迹方程，利用向量数量积的坐标表示得出的表达式，再根据其几何意义，结合圆上的点到定点的距离的最小值求法，求得其最小值．
解答过程：如图，
以菱形的对角线的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
因为，所以.
设，则，
所以.
因为，所以，
即.
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分.
，
可看作是圆Q在菱形中的部分上的点到定点的距离，所以其最小值为.
所以的最小值为，
所以的最小值为.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知复数，，，i为虚数单位.
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若为正实数，求.
答案：（1）
（2）5
解析：
（1），
因为为纯虚数，所以且，得.
（2），
因为，所以为实数，
所以且，得，
所以，所以.
16. 已知，，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）向量与的夹角的余弦值.
答案：（1）
（2）解析：
（1）已知，，且与的夹角为，
所以
.
（2）设与夹角为，
因为，，且与的夹角为，
则
，
，
所以.
17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求；
（2）若，的面积，线段中点为，求的长.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）将条件式利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换化简求得答案；
（2）由（1）结合三角形面积公式求得，再由余弦定理得，根据，利用向量运算得解.
（1）因为，
由正弦定理得，又，
所以，
所以，
所以，又，，
所以，即，所以，
又，所以，故.
（2）由（1），，
因为，所以，所以，
又因为，所以，得，
又，所以，
所以，所以.
18. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若为的内角，当时，.
（i）求；
（ii）若，其对边，求面积的取值范围.
答案：（1）
（2）（i）或；（ii）
解析：
思路：（1）由向量共线的坐标表示，结合诱导公式、辅助角公式、二倍角公式可得的值，根据二倍角的余弦公式可得到的值，或求出，从而得到的值；
（2）由数量积的坐标表示，结合三角恒等变换公式可得的值；由三角形面积公式，结合三角恒等变换可将面积表示成的函数，根据的取值范围可得的取值范围.
（1）因为，所以
即
即，
即，所以.
方法二：由，得.
那么
所以
（2）因为，所以
即
，
，即
又因为，而，所以.
所以或，所以或.
（ii）因为，所以由（2）知，所以.
由正弦定理知，.
又
因为，所以
所以.
即面积的取值范围是.
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
（1）若，，
①求；
②角的内角平分线交于，求线段的长；
（2）求的取值范围.
答案：（1）①；②
（2）解析：
思路：（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解；②由正弦定理求得，再由求得答案；
（2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解.
（1）①，
，即得，
又，所以，所以，
所以或，即或，
因为，所以，即，故，
因为，所以.
②由①得.
在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
所以，
.
（2），，，
、B、C为的内角，，
由正弦定理得
，
令，原式，
因为在单调递增，所以.