江苏省连云港市赣榆区2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省连云港市赣榆区2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若三点共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．
2．过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．点关于直线的对称点为（ ）
A．B．C．D．
5．已知两圆，相交于两点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．有一抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽8米．若水面下降1米，水面宽度增加了（ ）
A．米B．米C．米D．4米
7．在平面直角坐标系中，点，点到直线的距离为，且，则符合要求的点的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
8．已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线与直线，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线恒过第二象限
B．坐标原点到直线的最大距离为
C．若，则
D．若，则或
10．已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为2
B．若直线与圆有2个交点，则的取值范围为
C．若直线与直线交于点，则点的轨迹与圆有1个公共点
D．若圆上恰有一点到直线的距离为1，则的值为
11．已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．
B．若点在抛物线上，则点到准线的距离为3
C．若直线过焦点，则
D．若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为
三、填空题
12．两条平行直线＝与＝的距离是 .
13．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为 ．
14．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，以线段，为邻边作平行四边形（为坐标原点），若点在椭圆上，则直线的斜率为 ．
四、解答题
15．已知直线，点．
(1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点；
(2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程．
16．已知圆过两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
17．已知双曲线的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，此时为等腰直角三角形．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标．
18．已知椭圆的两个焦点为，短轴长为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)请结合距离公式证明：．
19．已知抛物线的顶点到焦点的距离为，点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为．记的面积分别为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线的另一交点为，求的值；
(3)请问是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
1．A
由三点共线，可知存在唯一实数，使得，根据向量的共线定理，建立方程组即可解得.
【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得，
又因为，，
所以，即，解得，
所以的值为.
故选：A
2．D
利用切线与切点和圆心所在直线垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程.
【详解】圆的圆心为，则直线的斜率为，
因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即，
所以，则切线的斜率为,
所以直线的方程为,即.
故选：D
3．B
根据双曲线方程可得实轴长和虚轴长，由此可得渐近线方程.
【详解】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，渐近线方程为.
故选：B.
4．B
设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可.
【详解】设点关于直线的对称点为，
由中点坐标公式得的中点为，
则的中点在直线上且直线与垂直，
所以，化简得，则，
所以点关于直线的对称点为.
故选：B
5．C
由圆与圆的位置关系的判断可得两圆相交，从而两圆方程作差即可得到直线方程.
【详解】由两圆方程可得圆心分别为，，半径分别为，，
圆心距，，两圆相交，
两圆方程作差得：，即，
直线的方程为：.
故选：C.
6．C
根据题意设,求出，进而求解增加水面宽度.
【详解】以水面为轴，过拱顶的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
根据题意设,当，则，
所以
当，则,解得,
所以水面下降米，水面宽度增加米.
故选：C
7．D
根据可求得点的轨迹为圆，根据直线过圆心且点到直线距离小于半径可确定符合要求的点的个数.
【详解】，，且，
，整理可得：，
即点轨迹为以为圆心，半径的圆，
直线过圆心，且，
圆上到直线距离为的点有个.
故选：D.
8．D
设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到的关系，即可得解.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示，
根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
又因为，所以，所以四边形为矩形，
设，因为，则，
由双曲线的定义可得：，则，，
又因为为直角三角形，所以，
所以，解得，
所以，
又因为为直角三角形，，
所以，即，
所以，即.
故选：D.
9．AB
利用分离参数法判断A；利用点到直线距离和两点距离知识判断B；利用两直线垂直充要条件判断C；利用两直线平行的充要条件判断D.
【详解】对于A，将直线变形为.
令，解得，
即直线恒过定点，该点在第二象限，所以直线恒过第二象限，A选项正确；
对于B，因为直线恒过定点，
坐标原点到直线的最大距离就是原点到定点的距离，
根据两点间距离公式，则，B选项正确；
对于C，若，对于直线和，
根据两直线垂直的条件，可得，解得，C选项错误；
对于D，若，则，
由，可得，解得或，
当时，直线，，满足题意；
当时，直线，，不满足题意，舍去，
所以，则，故D错误.
故选：AB
10．ABD
将圆的一般方程化为标准方程，可判断A的正误；根据直线与圆有2个交点，可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式，化简计算，即可判断B的正误；根据直线恒过的定点及两直线的位置关系，可求出M的轨迹为圆，求出圆心距，即可判断C的正误；根据点到直线的距离公式，计算求解，可判断D的正误.
【详解】选项A：圆，标准方程为，
所以圆心为，半径为2，故A正确；
选项B：若直线与圆有2个交点，则圆心到直线的距离，
解得，则的取值范围为，故B正确；
选项C：由题意，，恒过定点，
恒过定点，
因为，所以直线与直线垂直，
所以交点M轨迹是以和为直径端点的圆，
则圆心为，半径，
所以两圆圆心距为，
所以两圆相交，有2个公共点，故C错误；
选项D：因为圆上恰有一点到直线的距离为1，
所以圆心到直线的距离，
所以，解得，故D正确.
故选：ABD
11．AC
根据可得，求出后判断A，根据抛物线定义求出到准线的距离后可判断B，根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质、平行线内错角的性质可证，故可判断C的正误，利用设点法结合面积关系可得或，据此求出的轨迹方程后判断D.
【详解】对于A，因为准线过，故，故，故A正确；
对于B，由A可得抛物线方程为，故准线方程为，
而在抛物线上，故到准线的距离为，故B错误；
对于C，由抛物线的定义可得，故，
同理，故，
故，，而，故，
故C正确；

对于D：由题设可得不过焦点，故设，，
则，此时的面积为，
当时，则，
令，则，故此时的面积为（1），
故，而相异，故，
故即，故或，
又，且，
若，则即的轨迹方程为，
因为，故，故此时的轨迹方程为，
若，同理可得的轨迹方程为，
因为，故，同理可得的轨迹方程为，
若，则，此时的面积为，
故，故，
故或，
故或，
此时，该点在曲线上，
综上，的轨迹方程为或，故D错误.

故选：AC
12．
【解析】将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】可将直线＝化为，
所以两条平行直线间的距离为.
故答案为：.
13．
【详解】因方程表示焦点在轴上的双曲线，
则可将其方程化为，需使，解得.
故答案为：.
14．
设直线的方程，然后与椭圆联立，再利用平行四边形的性质得到点坐标，最后将点坐标代入椭圆方程求解直线的斜率即可.
【详解】由题意可知直线l的斜率存在，设直线的斜率为，
直线过点，直线的方程为，
联立直线和椭圆，得，
需满足，解得或，
设，根据韦达定理，得，，
又四边形为平行四边形， ，
又，，
将点坐标代入椭圆方程，得，
化简得，代入，
得，解得，符合题意，
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)
（1）将化为，建立方程组即可求解；
（2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得.
【详解】（1）因为直线，
所以，
因为，
所以，解得，
所以对任意实数，直线都经过一个定点.
（2）因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为，
又因为为线段的中点，则，即，
则，则直线的方程为：，即为.
16．(1)
(2)或
（1）求出的中垂线方程，求出圆心方程和半径，求出标准方程；
（2）根据斜率不存在和存在进行求解方程.
【详解】（1）根据题意得,的中点坐标，
则的中垂线方程，即，
由圆心在直线，
故，解得，半径，
故圆的标准方程
（2）依题意，圆心到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，圆心到直线
当斜率存在时，设，故，则，
直线方程为.
故直线方程为或.
17．(1)
(2)或
（1）根据关系得到方程组，解出即可；
（2）写出渐近线方程，再利用平行关系得到直线的方程，联立双曲线方程解出即可；
【详解】（1）由题意得，解得，
所以双曲线的方程为：.
（2）

渐近线方程为，
当直线与平行时，直线的方程为：，
联立解得.
当直线与平行时，直线的方程为：，
联立解得，
所以直线与双曲线的交点坐标为或.
18．(1)
(2)证明见解析
（1）根据焦点和短轴长，可以求出和，再结合即可求得椭圆的标准方程；
（2）由点到点的距离列出，结合椭圆方程化简代数式即可得证.
【详解】（1）因为，短轴长为，
所以，，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为点在椭圆上，
所以，即，即，
则
又∵，
∴.
19．(1)
(2)
(3)是定值，且为9，证明见解析.
（1）由题意得，求出p值，即可得答案.
（2）设直线，根据相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求出k值，联立求出P点坐标，代入距离公式，即可得答案.
（3）设，直线AB方程为，与曲线联立，根据韦达定理可得，求出直线AN方程，与曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，同理可得表达式，根据弦长公式、点到直线距离公式、面积公式等，分别求出和表达式，即可求得答案.
【详解】（1）因为顶点到焦点的距离为，所以，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意，直线斜率存在，设为k，则直线，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
根据对称性，不妨取，
联立，得，解得或0（舍），则
所以.
（3）显然直线AB斜率不为0，直线AB方程为，
设，
联立，得，
所以，
.
直线AN的斜率，
所以直线AN方程为，
联立，得，
因为为方程的一个根，所以，解得，
同理，
又
=
N到直线AB的距离，
所以，
又
，
，所以，
整理得，
所以N到CD的距离，
所以
，
又，
=
，
所以，
所以.