2025--2026学年江苏省连云港市赣榆区高二下册期中学业水平质量监测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏省连云港市赣榆区高二下册期中学业水平质量监测数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. （ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
2. 已知向量，向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 某校足球队有高一学生4人，高二学生3人，高三学生7人，选其中一人为负责人，则不同的选法种数为（ ）
A. 84B. 40C. 49D. 14
4. 如果随机变量，且，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.6
5. 已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（ ）
A. 0B. C. 4D. 3
6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数之和为奇数”，为“至少出现一个6点”，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是（ ）
A. 7或B. 1或C. 3或D. 5或
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 不存在实数，使得
D. 若，则
10. 下列命题中正确的有（ ）
A. 已知随机变量，则
B. 已知随机变量，则
C. 若离散型随机变量的数学期望，则
D. 已知为离散型随机变量，则
11. 在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为与的交点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 直线与直线是异面直线
C. 在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为
D. 平面截该正方体的内切球所得截面面积为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若＝，则x的值为_______．
13. 用4种不同颜色给四棱锥的五个顶点涂色，要求相邻顶点颜色不同，则不同的涂色方法种数为__________.
14. 已知编号为1，2的两只小球和编号为的三个盒子，将两个小球逐个随机的放入三个盒子中，每只球的放置相互独立，记录至少有一只球的盒子，随机变量表示这些盒子编号的最大值，则的数学期望为__________.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和是64．
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数．
16. 五一劳动节即将到来，学校计划让3名男同学､2名女同学负责五一庆祝活动，具体分工如下：
（1）若要求安排1人担任总策划､2人负责物资筹备､2人负责活动宣传，有多少种不同的分配方法？
（2）活动圆满结束后，这5名同学和2位指导老师共7人在校园广场合影留念，要求2名女同学必须相邻，2位老师不能相邻，有多少种不同的排列方法？
17. 在三棱锥中，平面分别是棱的中点，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 赣榆区某所高中田径队有甲､乙､丙等12名运动员，现将这12人平均分成三组进行集训.每天训练前，三组分别从本组队员中随机选出一人担任组长.
（1）求甲､乙､丙三人同在组的概率；
（2）求甲在三天内至少担任一次组长的概率；
（3）记为连续两天至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望.
19. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，.将沿翻折至，其中为动点.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若平面平面，求点到平面的距离；
（3）二面角的余弦值是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.
数学
满分150分，共4页，考试时间120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. （ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
答案：B
解析：
思路：根据题意，利用排列数和组合数的计算公式，准确计算，即可求解.
解答过程：根据排列数和组合数的计算公式，可得.
2. 已知向量，向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由，，得，
又均不为，所以与的夹角为．
3. 某校足球队有高一学生4人，高二学生3人，高三学生7人，选其中一人为负责人，则不同的选法种数为（ ）
A. 84B. 40C. 49D. 14
答案：D
解析：
解答过程：由题意得，若选出的负责人是高一学生，有4种情况；
若选出的负责人是高二学生，有3种情况；
若选出的负责人是高三学生，有7种情况.
由分类加法计数原理可得，共有种不同的选法．
4. 如果随机变量，且，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.6
答案：A
解析：
解答过程：由，则.
5. 已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（ ）
A. 0B. C. 4D. 3
答案：C
解析：
解答过程：因为，所以，
则，解得.
6. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数之和为奇数”，为“至少出现一个6点”，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用古典概型概率公式可计算出、，再利用条件概率公式计算即可得解.
解答过程：抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种不同情况，
若两个点数之和为奇数，则第一个数为奇数，第二个为偶数，
或第一个为偶数，第二个为奇数，共有种不同情况，
故；
两个点数之和为奇数且至少出现一个6点的情况有、、、
、、，共种不同情况，故；
故.
7. 在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：
由，得，
由，得，
所以，
因为，
所以
即
8. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是（ ）
A. 7或B. 1或C. 3或D. 5或
答案：B
解析：
思路：首先得出最终位置的分布满足二项分布，然后求出位置对应的概率，最后根据组合数的性质即可求解.
解答过程： 设9次移动中，质点向正方向移动（），则向负方向移动次，
最终位置为： ，
每次向正/负方向移动概率均为，因此位置对应的概率为 ，
概率大小由组合数决定， 组合数​满足“先增后减，中间最大”，
当时，最大的组合数为，即和时概率最大，
时，，
时，，
因此质点最可能移动到的位置是或.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 不存在实数，使得
D. 若，则
答案：BCD
解析：
解答过程：对于A，，解得，A错误；
对于B，由，得，解得，B正确；
对于C，假设存在实数，使得，则，
由第一个式子得，代入第二个式子得，很显然不满足，C正确；
对于D，，解得，
所以，，所以，D正确．
10. 下列命题中正确的有（ ）
A. 已知随机变量，则
B. 已知随机变量，则
C. 若离散型随机变量的数学期望，则
D. 已知为离散型随机变量，则
答案：BCD
解析：
解答过程：由（二项分布），方差公式为，
则，故A错误；
由（超几何分布），期望公式为，
则​，故B正确；
根据期望的性质：，
已知，代入得： ，故C正确；
根据方差的性质：，常数不改变方差，
左边：；
右边：； 因此，故D正确.
11. 在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为与的交点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 直线与直线是异面直线
C. 在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为
D. 平面截该正方体的内切球所得截面面积为
答案：ACD
解析：
思路：由向量的线性运算法则，用表示，判断A；建立空间直角坐标系，由向量判断是否共线，判断B；假设在线段上存在点 ，使得直线与平面所成的角为，求出参数，判断C；利用向量求出正方体的内切球球心到平面的距离，由几何法求得截面半径，从而得截面面积，判断D.
解答过程：对于A，由为与的交点，得是、的中点.
所以，所以A正确；
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，.
对于B，，，
所以 四点共面，所以B错误；
对于C，假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为.
设 ，则，，.
设平面的法向量为，
则，
令，则 ，
所以平面的一个法向量为.
所以.
所以，即，
所以 ，解得.
所以当时，直线与平面所成的角为,所以C正确；
对于D，记正方体内切球球心为，则，内切球半径为，
，
设平面的法向量为，
则，
令，则.
所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
所以平面截该正方体的内切球所得截面半径，
所以截面面积为，所以D正确.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若＝，则x的值为_______．
答案：4或9.
解析：
解答过程：分析：先根据组合数性质得，解方程得结果
详解：因为＝，所以
因此
点睛：组合数性质：
13. 用4种不同颜色给四棱锥的五个顶点涂色，要求相邻顶点颜色不同，则不同的涂色方法种数为__________.
答案：72
解析：
思路：以与同色和与不同色两类进行计算， 使用乘法原理和加法原理求解.
解答过程：按照的顺序涂色，
第一类：与同色，第一步点有4种涂法，第二步点有3种涂法，第三步点有2种涂法，第四步点有1种涂法，第五步点有2种涂法，
共有种方法；
第二类：与不同色，第一步点有4种涂法，第二步点有3种涂法，第三步点有2种涂法，第四步点有1种涂法，第五步点有1种涂法，
共有种方法，
所以不同的涂色方法数为：种.
14. 已知编号为1，2的两只小球和编号为的三个盒子，将两个小球逐个随机的放入三个盒子中，每只球的放置相互独立，记录至少有一只球的盒子，随机变量表示这些盒子编号的最大值，则的数学期望为__________.
答案：
解析：
思路：由条件确定随机变量的可能取值，再求其取各值的概率，根据期望公式求结论.
解答过程：为有球盒子编号的最大值，因此的可能取值为，
两个小球独立放入三个盒子，总共有种等可能的方法，
表示两个球都放入号盒，仅种方法，因此，
表示两个球都不放入号盒，且至少一个放入号盒，总放法为种，
因此，
表示至少一个球放入号盒，因此，
所以.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和是64．
（1）求的值；
（2）求展开式中的系数．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用各项二项式系数和列式求解即可；
（2）先结合（1）得出二项展开式的通项，再令的次数为，从而求出，进而即可得到项的系数．
（1）由各项二项式系数之和是64，则，解得．
（2）由（1）可得二项式为，则其展开式的通项为，，
令，解得，所以展开式中的系数为．
16. 五一劳动节即将到来，学校计划让3名男同学､2名女同学负责五一庆祝活动，具体分工如下：
（1）若要求安排1人担任总策划､2人负责物资筹备､2人负责活动宣传，有多少种不同的分配方法？
（2）活动圆满结束后，这5名同学和2位指导老师共7人在校园广场合影留念，要求2名女同学必须相邻，2位老师不能相邻，有多少种不同的排列方法？
答案：（1）30 （2）960
解析：
思路：（1）先分组，再利用分步乘法即可得到答案；
（2）利用捆绑法和插空法即可得到答案.
（1）把5人分三组：1人担任总策划、2人负责物资、2人负责宣传，先选1人担任总策划，有种方法；
再从剩下4人选2人负责物资，有种方法；
最后2人负责宣传，有种方法，
由分步计数原理，共有种方法，
所以共有30种方法.
（2）7人排列：2女生相邻、2老师不相邻
先2女生捆绑看成1个整体，内部排列有种方法；
3男生和女生整体共4个元素，排列有种方法；
4个元素排好有5个空，选2个空排老师有种方法，
由分步计数原理，共有种方法
所以共有960种方法．
17. 在三棱锥中，平面分别是棱的中点，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解；
（2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解.
（1）根据题意，平面，，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
各点坐标为： ，由中点坐标得，
向量，，设点到直线的距离为，
则.
（2）直线的方向向量取，设平面的法向量为，
由,取得， 设直线与平面所成角为，
则.
18. 赣榆区某所高中田径队有甲､乙､丙等12名运动员，现将这12人平均分成三组进行集训.每天训练前，三组分别从本组队员中随机选出一人担任组长.
（1）求甲､乙､丙三人同在组的概率；
（2）求甲在三天内至少担任一次组长的概率；
（3）记为连续两天至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望.
答案：（1）
（2） （3）的分布列为
解析：
思路：（1）名运动员分成三组共有种不同方法，甲、乙、丙三人同在组有种不同方法，利用古典概型公式求解即可；
（2）甲每天担任组长的概率为，利用对立事件的概率公式即可求解；
（3）根据题意可得的可能取值为，，5，，分别求出对应的概率，结合期望公式即可求解.
（1）名运动员分成三组共有种不同方法，
记事件为“甲、乙、丙三人同在组”，则事件共有种不同方法，
所以．
（2）甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在三天内至少担任一次组长”，
则，
（3）根据题意可得的可能取值为，，，
第一天选组长：
组从人中选人有​种方法， 组从人中选人有种方法，
组从人中选人有种方法，总选法数为，
第二天选组长：
组从人中选人有​种方法， 组从人中选人有种方法，
组从人中选人有种方法，总选法数为种，
的含义：三组两天都选同一个人，
所以，
的含义：三组中有且仅有两组两天选同一人，另一组两天选不同的人，
所以，
的含义：三组中有且仅有一组两天选同一人，另两组两天选不同的人，
所以，
的含义：两天的组长完全不重复，即 三组两天都选不同的人，
所以
所以的分布列为
19. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，.将沿翻折至，其中为动点.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若平面平面，求点到平面的距离；
（3）二面角的余弦值是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）要证明线面平行，需要证明线线平行，即证明.
（2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标，进而求得结果.
（3）根据垂直关系建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面 的法向量，然后求出二面角的余弦值的表达式，进而求得最小值.
（1）证明：因为为的中点，所以.
因为平面，而不在平面内，所以平面.
（2）在平面内过点作，
又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
以为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系．
又，
所以,
所以，设平面的法向量，
得,
又，则点到平面的距离为.
（3）以（2）中为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系，
则，，
，，，，
设平面的法向量，
，得,
设平面的法向量，
则，得.
又，得，因此二面角的余弦值
.
设，则.
所以，得，当时取到，
因此存在最小值，最小值为.
3
4
5
6
3
4
5
6