江苏连云港市赣榆区2025-2026学年度第二学期期中学业水平质量监测高二年级数学试题

这是一份江苏连云港市赣榆区2025-2026学年度第二学期期中学业水平质量监测高二年级数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
2.已知向量，向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3.某校足球队有高一学生4人，高二学生3人，高三学生7人，选其中一人为负责人，则不同的选法种数为（）
A. 84B. 40C. 49D. 14
4.如果随机变量，且，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.6
5.已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（ ）
A. 0B. C. 4D. 3
6.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数之和为奇数”，为“至少出现一个6点”，则（ ）
A. B. C. D.
7.在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（ ）
A. B. C. D.
8.一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是（ ）
A. 7或B. 1或C. 3或D. 5或
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则下列结论中正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 不存在实数，使得D. 若，则
10.下列命题中正确的有（）
A. 已知随机变量，则
B. 已知随机变量，则
C. 若离散型随机变量的数学期望，则
D. 已知为离散型随机变量，则
11.在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为与的交点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 直线与直线是异面直线
C. 在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为
D. 平面截该正方体的内切球所得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的值为 ．
13.用4种不同颜色给四棱锥的五个顶点涂色，要求相邻顶点颜色不同，则不同的涂色方法种数为 .
14.已知编号为1，2的两只小球和编号为的三个盒子，将两个小球逐个随机的放入三个盒子中，每只球的放置相互独立，记录至少有一只球的盒子，随机变量表示这些盒子编号的最大值，则的数学期望为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和是64．
(1)求的值；
(2)求展开式中的系数．
16.(本小题15分)
五一劳动节即将到来，学校计划让3名男同学､2名女同学负责五一庆祝活动，具体分工如下：
(1)若要求安排1人担任总策划､2人负责物资筹备､2人负责活动宣传，有多少种不同的分配方法？
(2)活动圆满结束后，这5名同学和2位指导老师共7人在校园广场合影留念，要求2名女同学必须相邻，2位老师不能相邻，有多少种不同的排列方法？
17.(本小题15分)
在三棱锥中，平面分别是棱的中点，.
(1)求点到直线的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
赣榆区某所高中田径队有甲､乙､丙等12名运动员，现将这12人平均分成三组进行集训.每天训练前，三组分别从本组队员中随机选出一人担任组长.
(1)求甲､乙､丙三人同在组的概率；
(2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率；
(3)记为连续两天至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望.
19.(本小题17分)
把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，.将沿翻折至，其中为动点.
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若平面平面，求点到平面的距离；
(3)二面角的余弦值是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】4或9
13.【答案】72
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由各项二项式系数之和是64，则，解得．
（2）由（1）可得二项式为，则其展开式的通项为，，
令，解得，所以展开式中的系数为．

16.【答案】解：（1）把5人分三组：1人担任总策划、2人负责物资、2人负责宣传，先选1人担任总策划，有种方法；
再从剩下4人选2人负责物资，有种方法；
最后2人负责宣传，有种方法，
由分步计数原理，共有种方法，
所以共有30种方法.
（2）7人排列：2女生相邻、2老师不相邻
先2女生捆绑看成1个整体，内部排列有种方法；
3男生和女生整体共4个元素，排列有种方法；
4个元素排好有5个空，选2个空排老师有种方法，
由分步计数原理，共有种方法
所以共有960种方法．

17.【答案】解：（1）根据题意，平面，，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
各点坐标为：，由中点坐标得，
向量，，设点到直线的距离为，
则.
（2）直线的方向向量取，设平面的法向量为，
由,取得，设直线与平面所成角为，
则.

18.【答案】解：（1）名运动员分成三组共有种不同方法，
记事件为“甲、乙、丙三人同在组”，则事件共有种不同方法，
所以．
（2）甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在三天内至少担任一次组长”，
则，
（3）根据题意可得的可能取值为，，，
第一天选组长：
组从人中选人有种方法，组从人中选人有种方法，
组从人中选人有种方法，总选法数为，
第二天选组长：
组从人中选人有种方法，组从人中选人有种方法，
组从人中选人有种方法，总选法数为种，
的含义：三组两天都选同一个人，
所以，
的含义：三组中有且仅有两组两天选同一人，另一组两天选不同的人，
所以，
的含义：三组中有且仅有一组两天选同一人，另两组两天选不同的人，
所以，
的含义：两天的组长完全不重复，即三组两天都选不同的人，
所以
所以的分布列为

19.【答案】解：（1）证明：因为为的中点，所以.
因为平面，而不在平面内，所以平面.
（2）在平面内过点作，
又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
以为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系．
又，
所以,
所以，设平面的法向量，
得,
又，则点到平面的距离为.
（3）以（2）中为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系，
则，，
，，，，
设平面的法向量，
，得,
设平面的法向量，
则，得.
又，得，因此二面角的余弦值
.
设，则.
所以，得，当时取到，
因此存在最小值，最小值为.
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