2025--2026学年湖南省长沙市明德中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南省长沙市明德中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，，则MN＝ （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的共轭复数是
A. B. C. D.
3. 在数列中，，则的值为（ ）
A. B. 2C. －1D.
4. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ）
A. B. C. D.
5. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
6. 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（ ）
A. E，F，G，H四点共面B. 与FH是异面直线
C. D. EG，FH，三线共点
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是偶函数，则
B. 若是奇函数，则
C. 若，则的取值范围为
D. 的最小值为
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则△ABC是锐角三角形
C. 在△ABC中，若acsA＝bcsB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______．
13. 正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______．
14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是等差数列，的前n项和记为，．
（1）求的通项公式；
（2）令，记的前n项和为，求．
16. 记抛物线：的焦点为F．
（1）设为上一点．用含的代数式表示，并求当时的值；
（2）过点的直线l与相交于A，B两点，满足．求l的方程．
17. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为.
（1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；
（2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望；
（3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
18. 如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值．
19. 已知函数．
（1）讨论在其定义域上的单调性；
（2）当时，若，求实数的取值范围．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，，则MN＝ （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：，，，，，
又，故.
2. 若复数满足，则的共轭复数是
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据复数代数形式的除法运算求出复数即可求解结果．
解答过程：解：复数满足，所以．
所以的共轭复数是．
故选：B．
3. 在数列中，，则的值为（ ）
A. B. 2C. －1D.
答案：B
解析：
解答过程：，，
，，
则是以为周期的数列，，故选项B正确.
4. 若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为，
因为两条直线垂直，所以，解得，
联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为.
5. 函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：，
由于，故.
6. 一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由题意得的平均数为，故，故AB错误；
又
，而不全相等，故，
所以，故C正确，D错误.
7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：函数是一个减函数，所以当时，函数最小值为，
因此，即，化简可得，即，
因为，所以解得或，
即不等式的解集为.
8. 如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（ ）
A. E，F，G，H四点共面B. 与FH是异面直线
C. D. EG，FH，三线共点
答案：C
解析：
思路：利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；举反例即可判断C；利用平面的基本事实推理判断D.
解答过程：
对于A，在三棱柱中，分别为的中点，
连接，由是的中位线，得，由，且，得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确；
对于B，因为平面，平面，，所以与是异面直线，B正确；
对于C，由，且可知，四边形是梯形，若，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，C错误；
对于D，延长，相交于点，由，平面，得平面，由，平面，得平面，而平面平面，则，三线共点，D正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是偶函数，则
B. 若是奇函数，则
C. 若，则的取值范围为
D. 的最小值为
答案：AB
解析：
思路：根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D.
解答过程：对于A，因为为偶函数，则，
所以，整理得到，
因为对恒成立，所以，故A正确，
对于B，因为为奇函数，则，
所以，整理得到，
因为对恒成立，所以，故B正确，
对于C，由，得到恒成立，即恒成立，
又易知，所以，故C错误，
对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误，
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：利用赋值法来求系数和即可.
解答过程：由，
令 ，得 ，故A正确；
令 ，得 ，
因此： ，故B正确；
由，所以，故C错误；
令 ，得 ，
结合，两式相减得：，
解得，故D正确.
11. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则△ABC是锐角三角形
C. 在△ABC中，若acsA＝bcsB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形
D.
答案：ACD
解析：
解答过程：选项A. ，选项A正确；
选项B. ，，，
，，但不能判断的大小，
故不能判断△ABC是锐角三角形，故选项B错误；
选项C. 在△ABC中，，，
，，
或，或，
则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选项C正确；
选项D.
，故选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______．
答案：
解析：
思路：根据奇函数的性质及得是周期为6的函数，再应用周期性和奇函数的性质求函数值.
解答过程：由题设，
用代替，则，故，
所以，即是周期为6的函数，
所以.
13. 正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______．
答案：
解析：
思路：作出辅助线，找到球心，并设出外接球的半径，利用勾股定理列出方程，求出半径，进而得到外接球体积.
解答过程：取的中点，连接，过点作⊥于点，
则⊥平面，且，
由于正三棱锥中，，侧棱，
故，，，
由勾股定理得，
设正三棱锥的外接球球心为，则，故，
由勾股定理得，即，解得，
故正三棱锥的外接球体积为.
14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______．
答案：
解析：
思路：构造函数 ，利用导数结合条件可证明 在 上单调递增，原不等式等价于，利用函数的定义域以及单调性即可求解.
解答过程：构造函数 ，其定义域为 ，

由题知：，且 ，因此 ，即 在 上单调递增.
已知 ，得 ，
原不等式 等价于： ，
根据 的单调性和定义域得，解得 ，
即不等式的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是等差数列，的前n项和记为，．
（1）求的通项公式；
（2）令，记的前n项和为，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用等差数列公式可求得通项；
（2）利用错位相减法可求和.
（1）设的公差为d，由题意可得：，
解得，故．
（2）由（1）知＝n，则，故，
两边同时乘2，得，
上面两式相减得，
所以．
16. 记抛物线：的焦点为F．
（1）设为上一点．用含的代数式表示，并求当时的值；
（2）过点的直线l与相交于A，B两点，满足．求l的方程．
答案：（1）； 2
（2）或
解析：
思路：（1）利用抛物线定义即可求得；
（2）设出直线方程和交点坐标，利用韦达定理进行求解.
（1）抛物线为：，其准线为：，焦点为：，
为上一点，由抛物线定义得：点到准线的距离和点到焦点距离相等，
所以，若，则，此时.
（2）不妨设直线方程为：，则，解得：，
设，，且，则由韦达定理得，，
所以，，
由题意得：，，
所以
，解得：，所以，
因此的方程为：或.
17. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为.
（1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；
（2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望；
（3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
答案：（1）
（2）.
（3）数学期望为8，方差为7.
解析：
思路：（1）根据全概率公式进行计算；
（2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望；
（3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解．
（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”，
设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”，
由全概率公式，知，
所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为；
（2）的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为
随机变量服从超几何分布，且，，，所以；
（3）由题意得，，
，
，，，
所以的数学期望为8，方差为7．
18. 如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）通过证明线面垂直，即证明垂直于底面上的两条相交直线和，最终推导出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系将几何问题代数化，利用空间向量求出平面的法向量，通过计算法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，直接得到线面角的正弦值.
（1）取BE的中点为O，连接，OC，OD，
由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE，
且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且，
因为＝2，所以，所以，
又由△正三角形性质，可得，
因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，所以平面BCDE，
又因为平面，所以平面平面BCDE．
（2）取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形，
且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE，
以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设直线与平面夹角为，则，
所以直线与平面夹角的正弦值为．
19. 已知函数．
（1）讨论在其定义域上的单调性；
（2）当时，若，求实数的取值范围．
答案：（1）所以在和上单调递减；
（2）解析：
思路：（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可；
（2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解.
（1）的定义域为， ，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，则有，所以在和上单调递减；
（2）当时， 等价于，
即，令，
则，
①若，则，在上单调递减，所以，满足题意；
②若，令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
令，，
是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去.
综上所述，的取值范围是．
0
1
2
3
0
1
2
3