2025--2026学年湖南长沙市明德中学等校高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南长沙市明德中学等校高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 已知，则， 已知命题，，则是的， 下列命题错误的个数是， 已知复数，则， 已知向量，下列选项正确的是， 下列命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在平行四边形中，M为与交点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知命题，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 下列命题错误的个数是（ ）
（1）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.
（2）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.
（3）一个棱柱至少有6个面.
（4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 5D. 6
6. 正方形的边长为1，点D，E分别为，的中点，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ）
A. 6B. 7C. 7.5D. 8
8. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. 20 mB. 30 mC. 20 mD. 30 m
二､多选题
9. 已知向量，下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 与向量方向相同的向量是
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题
C. “，”是假命题
D. “”是“”的必要不充分条件
11. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为
B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为
三､填空题
12. 写出虚部为的纯虚数为__________.
13. 已知，则向量与的夹角余弦值为__________.
14. 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______.
四､解答题
15. 已知函数
（1）用“五点法”画函数在某一个周期内的图象
（2）求的单调递减区间；
（3）当时，求函数的最值及取得最值时的值
16. 已知.
（1）若，求实数的值：
（2）求与的夹角的余弦值.
17. 已知在中，角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，点为的中点，求．
18. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）.
（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
（2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
19. 如图，分别是菱形的边和上的动点，且.
（1）若分别是的中点，求；
（2）若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值；
（3）若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围.
数学
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题意得.
2. 在平行四边形中，M为与交点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
解答过程：平行四边形的对角线相互平分，
.
3. 已知命题，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：求出，根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
解答过程：解不等式，得，即命题.
因为能推出，不能推出，
所以是的必要不充分条件.
4. 下列命题错误的个数是（ ）
（1）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.
（2）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.
（3）一个棱柱至少有6个面.
（4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：A
解析：
思路：结合棱锥、棱柱、正棱锥、平行六面体的定义与性质，逐个判断四个命题的真假，统计错误命题的个数得到结果.
解答过程：命题(1)：棱锥的所有侧面都是三角形，只有底面是多边形。平行四边形是四边形，因此若棱锥存在一个面是平行四边形，该面一定是底面，故这个棱锥一定是四棱锥，命题正确；
命题(2)：正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心，所有侧棱长度相等，因此侧面是全等的等腰三角形，命题正确；
命题(3)：棱柱底面边数最少为3（三棱柱），三棱柱有2个底面+3个侧面，共5个面，因此棱柱至少有5个面，命题错误；
命题(4)：平行六面体的所有面都是平行四边形，相对的面对应边相等、对应角相等，因此相对面是全等的平行四边形，命题正确；
错误的命题共1个.
5. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 5D. 6
答案：B
解析：
思路：先应用复数的乘法及减法化简，再应用模长公式计算求解.
解答过程：，
故.
6. 正方形的边长为1，点D，E分别为，的中点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：以分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意可知：，，
所以.
7. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ）
A. 6B. 7C. 7.5D. 8
答案：C
解析：
思路：先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可.
解答过程：设三棱柱的底面的面积为，高为，则.
当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形，
由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是，
所以水的体积，
当底面水平放置时，设水面高为，则，从而有，
所以，即当底面水平放置时，水面高为7.5.
8. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A. 20 mB. 30 mC. 20 mD. 30 m
答案：D
解析：
解答过程：根据题意，结合在中，求得,再在中，由正弦定理，求得的长，最后在直角中，结合，即可求解.
思路：由，
由题意知，所以，
在中，可得,
在中，由正弦定理得，
所以，
在直角中，
故选：D.
二､多选题
9. 已知向量，下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 与向量方向相同的向量是
答案：BCD
解析：
思路：利用数量积运算可判断A,B，利用模长公式可判断C，利用向量坐标共线可判断D.
解答过程：因为，所以，
，A不正确；
，B正确；
因为，所以，C正确；
因为，所以与向量方向相同的向量是，D正确.
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “至少有一个x，使成立”是全称量词命题
C. “，”是假命题
D. “”是“”的必要不充分条件
答案：ACD
解析：
思路：根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.
解答过程：命题“”的否定是“”，A选项正确；
“至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误；
当时，，，C选项正确；
对于D，若，不妨取，则不成立，
若，则必有，所以“”是“”的必要不充分条件，D选项正确；
11. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为
B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为
答案：AC
解析：
思路：对于A：根据题意可得，即可得虚部；对于B：根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C：根据题意结合诱导公式分析判断；对于D：由题意可得，结合面积公式分析判断.
解答过程：对于选项A：因为，
所以的虚部为，故A正确；
对于选项B：因为，
所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误；
对于选项C：因为，则，
可得，即，故C正确；
对于选项D：因为，，
则在复平面内分别对应点，
可得，，
则面积为，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，故D错误.
三､填空题
12. 写出虚部为的纯虚数为__________.
答案：
解析：
解答过程：复数的一般形式为，虚部为的纯虚数中，，因此答案为.
13. 已知，则向量与的夹角余弦值为__________.
答案：
解析：
解答过程：设与的夹角为，则.
14. 已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______.
答案：
解析：
思路：先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可.
解答过程：设圆锥的母线长为，底面的半径为，
圆锥SO的体积为，解得.
由勾股定理，可得母线，
如图，圆锥的侧面展开图为扇形，在该扇形展开图中的计算如下，
因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，则，
在中，由余弦定理可得，所以，
因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为.
四､解答题
15. 已知函数
（1）用“五点法”画函数在某一个周期内的图象
（2）求的单调递减区间；
（3）当时，求函数的最值及取得最值时的值
答案：（1）
（2） （3）函数的最大值为，此时;最小值为，此时
解析：
（1），令分别取，，，，，得：
当时，，;
当时，，;
当时，，;
当时，，;
当时，，;
填表如下：
描点、连线，得图如下：
（2）由正弦函数的性质可知，当时，函数单调递减;
，解得
的单调递减区间为.
（3），
令，则
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上，的图象先下降后再上升;
当时，;
当时，;
当时，;
，，即
当时，即时，取得最大值;
当时，时，取得最小值.
当时，函数的最大值为，此时;最小值为，此时.
16. 已知.
（1）若，求实数的值：
（2）求与的夹角的余弦值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据模长求出数量积，结合垂直可求答案；
（2）先求，再求，代入夹角公式可得答案.
（1）因为，所以，即；
因为，所以，
，，解得.
（2），
，
所以，
设与的夹角为，所以.
17. 已知在中，角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，点为的中点，求．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解.
（2）由余弦定理求出，再由，结合数量积的运算律计算即得.
（1）在中，由正弦定理及，得，
而，则，
又，即，于是，又，
所以.
（2）由（1）知，，由余弦定理得，
即，而，解得，
由为的中点，得，
所以.
18. 某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）.
（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
（2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
答案：（1），
（2）当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长
解析：
思路：（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式；
（2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论.
（1）设下调电价后新增用电量为，
因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为），
则，所以本年度的用电量为，
所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，.
（2）依题意有：，
整理得：，解得：，
所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长．
19. 如图，分别是菱形的边和上的动点，且.
（1）若分别是的中点，求；
（2）若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值；
（3）若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求；
（2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案；
（3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案.
（1）以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则，
，由分别是的中点，
，
；
（2）由（1）知，设，则，
.当时，取得最大值为-2.
（3）设，由得，，当时，
取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0