2025--2026学年湖南省长沙市铁路第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南省长沙市铁路第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
7. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（ ）个不同的分数
A. 10种B. 18种C. 20种D. 40种
8. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A. B.
C. D.
10. 已知数列满足，且，则的值可能是（ ）
A. 1B. 2026C. D.
11. 已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 若，且三点共线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中含的项为____.
13. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．
14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.
（1）证明：平面平面.
（2）求点到平面的距离.
（3）求平面和平面夹角的余弦值.
17. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
18. 已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为．
（1）求的方程.
（2）已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且.
（I）若与重合，求．
（II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
19. 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有三个零点，，，其中，函数的两个极值点分别为，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明.
数学
满分 150 分，考试时量120分钟，考试时间：2026年5月13日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解不等式得，故，
，故，
所以，即.
2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：由题意知，复数在复平面内对应的点为，则，
所以，，因此.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：设，可得，切化弦可得，继而化简，即可求得答案.
解答过程：设，则，
由，得，
即，则，
故.
4. 在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解.
解答过程：根据题意，，
则，即，
则，又，所以，
所以.
5. 已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可.
解答过程：由两圆方程相减即得，
此为公共弦AB所在的直线方程.
圆的圆心，半径.
到直线AB的距离为，
故公共弦长.
6. 若函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解.
解答过程：的定义域为，由于为偶函数，故，
即，
整理可得，故，则，
所以.
7. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（ ）个不同的分数
A. 10种B. 18种C. 20种D. 40种
答案：C
解析：
思路：由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数；
解答过程：从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，6，8，12，16中任选一个数作分母，
可构成个不同的分数；
8. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果.
解答过程：若甲体验儒家文化，则有：
当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；
当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为，即；
若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有：
当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1；
当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为；
当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为；
综上所述：不同的选法种数为，即；
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A. B.
C. D.
答案：BC
解析：
思路：根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.
解答过程：依题可知，，所以，
故，C正确，D错误；
因为，所以，
因为，所以，
而，B正确，A错误，
故选：BC．
10. 已知数列满足，且，则的值可能是（ ）
A. 1B. 2026C. D.
答案：ACD
解析：
解答过程：原式因式分解可得，故或都可成立.
数列每一项都满足时，则，A可能
，不是的整数次幂，B不可能
第一步选择，之后所有递推都选择​，则，C可能
所有递推都选择，则，D可能
11. 已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 若，且三点共线，则
答案：BCD
解析：
思路：首先根据已知条件判断的形状，进而可判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D.
解答过程：因为，
所以，
所以，
所以为直角三角形，
因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图：
对于A，，
由勾股定理知，故A错误；
对于B，由题意知，
所以，故B正确；
对于C，由B知，
所以
，
所以向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，
所以，
由B知，所以，
又三点共线，所以，所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中含的项为____.
答案：
解析：
思路：解法一：将三项展开式变为，根据和展开式的通项乘积可求得结果；解法二：直接根据组合数公式计算多项式的系数可得.
解答过程：方法一:因为，
二项式展开式的通项为，
二项式展开式的通项为，
所以多项式展开式的通项为，
令，得，且，
所以或或或或.
①当时，的展开式中含的项为；
②当时，的展开式中含的项为，
③当时，的展开式中含的项为；
④当时，的展开式中含的项为；
⑤当时，的展开式中含的项为.
综上，得的展开式中含的项为.
方法二：可看成6个相乘，
的展开式中含的项有以下三种情况：
①个多项式取，个多项式取乘积得到，即；
②个多项式取，个多项式取，个多项式取乘积得到，
即；
③个多项式取，个多项式取乘积得到，
即；
综上所述，的展开式中含的项为.
13. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．
答案：
解析：
思路：由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
解答过程：由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故
14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．

答案：
解析：
思路：定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.
解答过程：设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果；
（2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
（1），
当时，；
当时，，
且满足上式，所以.
（2），
，
数列的前项和为.
16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.
（1）证明：平面平面.
（2）求点到平面的距离.
（3）求平面和平面夹角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：取中点，连接PO，CO，根据等边及等腰三角形的性质，可证，，根据勾股定理，可求得PO，CO的长，根据AC的长，结合勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证.
（2）如图建系，求得各点坐标和各个所需向量坐标，可求得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，代入数据，即可得答案.
（3）求出平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，可求得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案.
（1）证明：如图，取中点，连接，
因为是边长为2的等边三角形，为中点，
所以，且.
又因为为中点，
所以，且.
因为，所以，
所以.
又平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得两两互相垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
（3）由（2）可知，，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，
故平面的一个法向量为，
由（2）知平面PAC的一个法向量为，），
所以，
故平面和平面夹角的余弦值为.
17. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
答案：（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析；(ii)；
解析：
思路：(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
18. 已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为．
（1）求的方程.
（2）已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且.
（I）若与重合，求．
（II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
答案：（1）
（2）（I）；（II）直线MN过定点.
解析：
思路：（1）根据以及经过的点，即可求解，
（2）根据点差法，即可求解（I），联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据中点坐标公式可得的坐标，进而求解直线方程，即可求解（II）.
（1）设，则，则的方程为.
因为经过点，所以，得.
故的方程为.
（2）（I）设，由
得，
得，则，故.
（II）直线.由，得.
由，得，
则，
因为，所以的坐标为.
同理可得的坐标为.
又
，
所以直线MN的方程为.
因为，
所以直线MN过定点.
19. 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有三个零点，，，其中，函数的两个极值点分别为，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明.
答案：（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
解析：
思路：（1）求导，利用导数的几何意义求解；
（2）（i）将问题转化为有三个零点，两个极值点，对其求导，令，分、、三种情况讨论即可；
（ii）先求证得出，再利用参变分离研究的单调性，得出，再构造函数，得出，进而得出即可求证.
（1）当时，，
则，
则，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）（i），，
由题意可知，有三个零点，，其中，两个极值点分别为，
，令，
则，
若，则，则在上单调递增，
则至多有一个零点，至多有一个极值点，不符合题意；
若，则
当时，单调递增；当时，单调递减，
则，
若，则，
则在上单调递减，
则至多有一个零点，不符合题意；
若，则，
当时，当时，
故存在两个零点，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则在处取得极小值，在处取得极大值；
因为当时，当时，，
所以有三个零点，，其中，
综上，的取值范围为；
（ii）因为，
所以，即是的零点，故，则，
则，
因为是的两个极值点，所以是的两根，
则，
所以与的图象的交点的横坐标为，
，
当时，单调递增；当时，单调递减，
则，则，
令，
则，
因为，所以，
所以，，
所以
，
所以在上单调递增，则，
即，则，
因为在上单调递减，所以，
所以，则，证毕.不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828