湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，若(1−i)(2+ai)是纯虚数，则实数a=( )
A. −4B. −2C. 1D. 2
2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=1xB. f(x)=x3C. f(x)=lg2|x|D. f(x)= x
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a4=3，a2+a5=6，则S6=( )
A. 27B. 24C. 21D. 18
4.圆心为(2, 3)且与抛物线y2=4x的准线相切的圆的方程是( )
A. (x+2)2+(y+ 3)2=16B. (x+2)2+(y+ 3)2=9
C. (x−2)2+(y− 3)2=16D. (x−2)2+(y− 3)2=9
5.下列说法错误的是( )
A. 若随机变量X服从正态分布X～N(3,σ2)，且P(X≤4)=0.7，则P(30)若直线3x+4y=0与C没有公共点，则C的离心率的范围为( )
A. (1, 54)B. (0, 54)C. (1, 54]D. [54,+∞)
7.在△ABC中，CA=CB= 5，AB=4，点M为△ABC所在平面内一点且AM⋅BC=0，则AM⋅CM的最小值为( )
A. 0B. −1625C. −45D. −165
8.已知函数f(x)=ex−4−e4−x+x，则满足f(2m−2)+f(m+1)>8的m的取值范围是( )
A. (3,+∞)B. (12,+∞)C. (−∞,13)D. (−∞,7)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为假命题的是( )
A. 若a>b，则1ab>0且c>0，则ab>a+cb+c
C. 不等式kx2+kx−10)没有公共点，
则−ba≥−34,e=ca= c2a2= a2+b2a2= 1+b2a2≤54．
又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意．
故选：C．
根据双曲线的渐近线与直线3x+4y=0的位置关系即可得解．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，离心率的求法，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为在三角形ABC中，CA=CB= 5，AB=4，
所以由余弦定理得：csC=AC2+BC2−AB22AC×CB=5+5−162× 5× 5=−35，所以C为钝角；
又因为AM⋅BC=0，所以M点在三角形ABC底边BC的高线上，
则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系：
又因为cs∠ACO=−csC=35，所以sin∠ACO=45，
所以OA=AC×sin∠ACO= 5×45=4 55，OC=AC×cs∠ACO= 5×35=3 55，
则A(0,4 55)，C(3 55,0)，B(8 55,0)，
设M(0,m)，m∈R，则AM=(0,m−4 55)，CM=(−3 55,m)，
AM⋅CM所以=m(m−4 55)=(m−2 55)2−45≥−45，当且仅当m=2 55时取得等号，
所以AM⋅CM的最小值为−45．
故选：C．
以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题．
本题考查余弦定理的应用，平面向量的数量积求解，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=ex−4−e4−x+x，
f′(x)=ex−4+e4−x+1>0，可得f(x)在R上递增，
又f(8−x)=e4−x−ex−4+8−x，
f(x)+f(8−x)=8，可得f(x)的图象关于点(4,4)对称，
则f(2m−2)+f(m+1)>8，即为f(2m−2)+f(m+1)>f(m+1)+f(7−m)，
化为f(2m−2)>f(7−m)，
由f(x)在R上递增，可得2m−2>7−m，
解得m>3．
故选：A．
运用导数求得f(x)的单调性，再判断f(x)的对称性，可得原不等式转化为f(2m−2)>f(7−m)，进而去掉“f”，解不等式可得所求取值范围．
本题考查函数的单调性和对称性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，若a>b，则当a=1，b=−2时，1a=1>−12=1b，故A是假命题；
对于B，若a>b>0且c>0，则ac>bc，
所以ab+ac>ab+bc，即a(b+c)>b(a+c)，
不等式的两边同时除以b(b+c)，可得ab>a+cb+c，故B是真命题；
对于C，不等式kx2+kx−1