2025--2026学年河北省唐山市第二中学高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河北省唐山市第二中学高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设P是所在平面内的一点，，则
A. B.
C. D.
2. 复数（ ）．
A. B. C. D.
3. 如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
4. 已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
5. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
7. 如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知内接于单位圆，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A. 一定是实数B. 一定是实数
C. 一定是纯虚数D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 与向量方向相同的单位向量的坐标为
B. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则
C. 为非零向量，且相互不共线，则
D. 若与共线，则
11. 已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（ ）
A. 正四面体的棱长为6B. 正四面体的内切球的表面积为
C. 正四面体的外接球的体积为D. 线段的最大值为
三、填空题
12. 设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______.
13. 已知上底面半径为，下底面半径为的圆台的体积为；上底面边长为，下底面边长为的正四棱台的体积为．若该圆台与正四棱台的高相等，则__________．
14. 已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________.
四、解答题
15. 已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量.
（1）求角的值；
（2）若，求的周长.
16. 已知复数，.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求.
17. 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O.
（1）求的长度
（2）求正四棱锥的表面积和体积；
（3）设平面平面，求证：；
18. 如图，在正方体中，棱长，M为的中点．
（1）求证：平面；
（2）设E为上的动点，问在棱上是否存在一点N，使得平面？若存在说明N的位置并证明，若不存在说明理由；
（3）设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求的值．
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为．
①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角A的角平分线长的最大值．
数学
一、单选题
1. 设P是所在平面内的一点，，则
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：移项得.故选B
2. 复数（ ）．
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为虚数单位的幂的周期为，满足：
所以：，因此，
代入原式计算可得；.
3. 如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
答案：D
解析：
解答过程：过作交轴于点，可得，
因为，所以为等腰直角三角形，所以，
根据斜二测画法，可得，如图所示，则，
所以的面积，故选项D正确.
4. 已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
答案：D
解析：
解答过程：由题意得，，
由投影向量的计算公式得，则，即，解得．
5. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由题意可知，点的集合对应的图形是一个圆环，从而可求出其面积.
解答过程：不妨设点的集合对应的图形是一个以原点为圆心，外环半径为3，内环半径为1的圆环，
则其面积为.
6. 在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
答案：B
解析：
思路：根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果.
解答过程：因为，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，又，所以，
故选：B.
7. 如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值．
解答过程：依题意，半径为，山高为，则母线，
底面圆周长，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角，
如图，是圆锥侧面展开图，
显然，
由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值，
即点为公路的最高点，段为上坡路段，段为下坡路段，
由直角三角形射影定理知，即，解得，
所以公路上坡路段长为．
故选：D
8. 已知内接于单位圆，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：依据条件可得，然后根据正弦定理、余弦定理以及面积公式可知结果.
解答过程：，，
，，.
又的外接圆为单位圆，其半径，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
代入数据可得，
当且仅当时时，“”成立，，
的面积，的最大值为.
故选：D.
二、多选题
9. 已知复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A. 一定是实数B. 一定是实数
C. 一定是纯虚数D.
答案：AB
解析：
思路：设，得到，结合选项，逐项判定，即可求解.
解答过程：设，则，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，只有当时，是纯虚数，所以C不正确；
对于D中，由，所以，所以D不正确.
故选：AB.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 与向量方向相同的单位向量的坐标为
B. 已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则
C. 为非零向量，且相互不共线，则
D. 若与共线，则
答案：AD
解析：
思路：对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据向量共线的坐标表示，可得其正误；对于C，根据数量积的概念，结合向量的数乘，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误.
解答过程：对于A，与向量方向相同的单位向量为，故A正确；
对于B，因为，，当时，，得，
经检验，当时，同向共线，即此时的夹角不为锐角，故B错误；
对于C，由与为数量，且不共线，则不恒成立，故C错误；
对于D，由与共线，则，解得，故D正确.
11. 已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（ ）
A. 正四面体的棱长为6B. 正四面体的内切球的表面积为
C. 正四面体的外接球的体积为D. 线段的最大值为
答案：ABD
解析：
思路：设这个四面体的棱长为，利用分割补形法求出其外接球的半径，由等体积法求其内切球半径，再由已知列式求解，然后逐个分析判断即可
解答过程：设这个四面体的棱长为，则此四面体可看作棱长为的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，
设外接球的半径为，内切球的半径为，则
，所以，
四面体的高为，则等体积法可得
，
所以，
由题意得，
所以，解得
所以A正确，
所以，所以外接球的体积为，所以C错误，
因为内切球半径为，所以内切球的表面积为，所以B正确，
线段的最大值为，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题
12. 设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______.
答案：7
解析：
思路：由向量线性运算的坐标表示结合复数的概念即可求解.
解答过程：由题意得，
，
所以向量对应的复数的虚部为7.
13. 已知上底面半径为，下底面半径为的圆台的体积为；上底面边长为，下底面边长为的正四棱台的体积为．若该圆台与正四棱台的高相等，则__________．
答案：
解析：
思路：根据圆台和棱台的体积公式即可求解．
解答过程：设圆台与正四棱台的高均为h，
则，
故．
14. 已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________.
答案：
解析：
思路：根据三棱锥的三组对棱分别相等，可得到三棱锥的顶点必是一个长方体的顶点，再由棱的长度可求得长方体同一个顶点发出的三条棱的长度，继而表示出外接球半径，借助于基本不等式即可求得.
解答过程：由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图．
因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等，
长度分别为，，，
故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为，
且三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
故外接球的直径长为长方体的体对角线长，设外接球半径为，
则三棱锥的外接球表面积为，
因，则，当且仅当时等号成立．
此时，，即时，.
四、解答题
15. 已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量.
（1）求角的值；
（2）若，求的周长.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用向量平行得到从而利用余弦定理求解得到
（2）利用正弦定理得到进而得到从而求解出周长.
（1）因为，所以，
即，
所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理，将代入，得，
因为，所以，
所以，
故的周长为.
16. 已知复数，.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，且，求.
答案：（1）
（2）或.
解析：
思路：（1）利用共轭复数的意义、复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解.
（2）求出向量坐标，再利用向量夹角公式列式求解.
（1）依题意，，则，
由是纯虚数，得，解得，
所以.
（2）依题意，，，，
由，整理得，解得或，
所以或.
17. 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O.
（1）求的长度
（2）求正四棱锥的表面积和体积；
（3）设平面平面，求证：；
答案：（1）
（2）；
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）利用侧面积是底面积两倍的已知条件结合勾股定理建立方程，解出底边长从而得出斜高SE；
（2）直接将底面积与侧面积相加得出表面积，并利用底面积和已知的高代入棱锥体积公式计算体积；
（3）通过底面正方形对边平行得出直线平行于平面，再利用线面平行的性质定理推导出交线与已知底边平行.
（1）设底面ABCD的边长为a，因为O为底面中心，E为BC的中点，所以且，
底面积为，已知，在中，，
侧面积为，
因为侧面积是底面积的2倍，则有，
因为，解得，代入得，
解得，则（负根舍），即.
（2）由（1）得侧面积为，底面积为，
则表面积，体积.
（3）由题意得底面为正方形，则平面，平面，所以平面，
且平面，平面平面，则.
18. 如图，在正方体中，棱长，M为的中点．
（1）求证：平面；
（2）设E为上的动点，问在棱上是否存在一点N，使得平面？若存在说明N的位置并证明，若不存在说明理由；
（3）设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求的值．
答案：（1）证明见解析
（2）存在，此时N为的中点，满足题意，理由见解析
（3）解析：
思路：（1）根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）当E、N分别为的中点时，证明四边形OCNE为平行四边形可得，结合线面平行的判定定理即可证明；
（3）由等体积法求出，根据求出即可求解.
（1）如图，连接DB，交AC于点O，则O为中点，连接OM，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）当E、N分别为的中点时，满足题意.理由如下：
证明：如图，当E、N分别为的中点时，连接OE，
则，又，
所以，故四边形OCNE为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（3），
，
所以.
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为．
①已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角A的角平分线长的最大值．
答案：（1）
（2）①；②
解析：
思路：（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD的最值.
（1）由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角A的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于，所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故．