2025--2026学年河北省唐山市开滦第一中学高一下册5月期中数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河北省唐山市开滦第一中学高一下册5月期中数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. – 2B. 2C. D.
2. 如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（ ）

A. 2B. 4C. 8D. 12
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
B. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
D. 有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
5. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ）
A. B. C. 4D.
8. 已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A. B. z在复平面上对应点在第二象限
C. D.
10. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 四边形的面积为D. 四边形的周长为
11. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若，则在上的投影向量为
三、填空题
12. 若点，，，且，，三点共线，则______.
13. 已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______．
14. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________.
四、解答题
15. ，
（1）若，求的大小；
（2）若，求，夹角的大小．
16. 已知复数，，是虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求m的值：
（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若，，求的面积；
18. 已知向量，．
（1）若与的夹角为，求实数m值及的模；
（2）若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A．
（2）已知AD平分且交BC于点D，．
（ⅰ）若，求a；
（ⅱ）求周长的最小值．
数学
一、单选题
1. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. – 2B. 2C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，且复数为纯虚数，
所以.
2. 如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：由已知条件得出，利用平面向量的减法化简可得出关于、的表达式.
解答过程：在中，是线段上的靠近的三等分点，则，
即，解得.
3. 如图，在半径为的圆中，有一条长度为2的弦，则（ ）

A. 2B. 4C. 8D. 12
答案：A
解析：
思路：取的中点，连接，则，再根据数量积的运算律计算可得.
解答过程：取的中点，连接，则，
所以.
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
B. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
D. 有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
答案：D
解析：
思路：根据棱台、棱锥、棱柱的定义和性质对各选项逐一进行判断即可.
解答过程：对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误；
对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误；
对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故C错误.
对于D，由棱锥的定义可判断D正确.
5. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以.
设，，
则.
代入，得.
又，所以，解得.
因此.
6. 如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，，，扇形圆心角，，则扇形区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：，，.
中，，，，，
由正弦定理得，解得，
扇形区域面积为.
7. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ）
A. B. C. 4D.
答案：A
解析：
思路：应用正弦定理及余弦定理计算求解.
解答过程：因为，，
在中，由正弦定理可得，则．
在中，由正弦定理可得，则．
在中，由余弦定理可得，则．
8. 已知正三角形ABC的边长为6，，P是线段DE上的动点（含端点），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：取线段的中点，建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标公式结合二次函数即可求值域．
解答过程：取线段的中点，连接，则，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
因为正三角形ABC的边长为6，所以，
故，
又，所以
设，则，
所以，，
故.
二、多选题
9. 已知复数（i是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A. B. z在复平面上对应点在第二象限
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：对于A，由复数除法、模的计算公式即可验算；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于CD，由复数乘法即可验算.
解答过程：对于A，，所以，故A正确；
对于B，z在复平面上对应点在第四象限，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
10. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 四边形的面积为D. 四边形的周长为
答案：BC
解析：
思路：A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长．
解答过程：对于A选项，过点作垂直于轴于点，
因为等腰梯形中，，
所以，
又，所以，故A错误；
对于B选项，由斜二测法可知，故B正确；
对于C选项，作出原图形，可知，，，，
故四边形的面积为，故C正确；
对于D选项，过点作于点，
则，
由勾股定理得，
四边形的周长为，故D错误．
11. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若，则在上的投影向量为
答案：AC
解析：
思路：利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.
解答过程：对于A选项，若，则，化简可得，A对；
对于B选项，若，则，
又因为，解得或，B错；
对于C选项，，
当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立，
故的最大值为，C对；
对于D选项，若，则，
则在上的投影向量为，D错.
三、填空题
12. 若点，，，且，，三点共线，则______.
答案：
解析：
解答过程：由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，使，
即：，解得：，所以.
13. 已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______．
答案：
解析：
解答过程：设该圆锥的高为，母线为,
依题意可得，解得，
所以圆锥的母线长为，
因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为，半径为；
设对应圆心角的弧度数为，则，因此.
14. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________.
答案：6
解析：
解答过程：由三角形内角和得，故.
由正切和角公式，
代入得：，整理得.
结合题设，联立得.
因，故.
已知，由余弦定理，
代入得.
由基本不等式，得，
即，当且仅当时取等号.
因为，所以.
故，当且仅当时取等号.
因此周长，即周长最大值为.
四、解答题
15. ，
（1）若，求的大小；
（2）若，求，夹角的大小．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示列式求解.
（2）利用向量垂直的坐标表示及向量夹角公式求解.
（1）向量，，由，得，
所以.
（2）依题意，，由，得，解得，
由向量，，得，
，
因此，而，
所以向量，夹角的大小为.
16. 已知复数，，是虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求m的值：
（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．
答案：（1）1 （2）
解析：
思路：（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值；
（2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值.
（1）因为复数是纯虚数，所以.
由，解得或.
当时， ，符合要求；
当时，，不符合要求，舍去，
所以m的值为1；
（2）当时，复数，
由题意知复数是关于x的方程的一个根.
因为方程的系数为实数，
所以方程的另外一个根是的共轭复数.
所以由韦达定理可得，
解得.
17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若，，求的面积；
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角关系即可得出答案；
（2）先利用余弦定理求得边，再结合面积公式即可得出答案.
（1）因为，
由正弦定理可得，
即，则，
因为，所以，
可得，所以.
（2）由余弦定理得，
即，解得（舍去）或，
所以的面积.
18. 已知向量，．
（1）若与的夹角为，求实数m值及的模；
（2）若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
答案：（1），．
（2）解析：
思路：（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值；
（2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围.
（1）因为，，所以，，
所以，解得，．
（2）由条件可得且与不平行，
当时，，
可得，解得，
若，则，则，
所以的取值范围是
19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A．
（2）已知AD平分且交BC于点D，．
（ⅰ）若，求a；
（ⅱ）求周长的最小值．
答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：
思路：（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；
（2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解；
（ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值.
（1）因为，所以，即，
所以，因为，所以；
（2）（ⅰ）因为，由正弦定理得：，
因为AD平分，
所以，
因为，
所以，
将代入上式得，解得，，
由余弦定理得，解得.
（ⅱ）由，
得，
将代入上式得，即，即，
则，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为8；
由余弦定理得，
，
令，则，
因为 ，当时，的最小值为，
则的最小值为，
所以周长的最小值为.