2025--2026学年河北省唐山市开滦第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河北省唐山市开滦第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为（ ）
A. －4.8m/sB. －0.88m/s
C. 0.88m/sD. 4.8m/s
2. 函数在处的导数为0，那么（ ）
A. B. 0C. 1D.
3. 函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A. B. 且C. D. 且
4. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. 由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A. 24B. 12C. 10D. 6
6. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 210B. 120C. 80D. 60
7. 抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 设动直线与函数，的图象分别交于点、，则的最小值为
A. B. C. D. 1
二、多选题
9. 在同学聚会上，A，B，C，D四个同学站成一排照相留念，则下列说法正确的有（ ）
A. 若A、B不相邻共有12种方法B. 若A、B两人站在一起有24种方法
C. 若A在B左边有12种排法D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有14种方法
10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 二项式系数最大的项为B. 常数项为2
C. 第6项与第7项的系数相等D. 含的项的系数为480
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
12. 曲线在在处的切线的方程为_________.
13. 已知随机变量的分布列为
且，若，则________，________．
14. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有_________
四、解答题
15. 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有28人，型血的共有7人，型血的共有9人，型血的有3人．
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
16. 一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球.
（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；
（2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列.
17. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
（1）求a，b，c的值;
（2）求y＝f(x)在区间[－3，1]上最大值和最小值．
18. 已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
19. 已知函数，，为的导数，且.证明：
在内有唯一零点；
.
（参考数据：，，，，.）
数学
一、单选题
1. 如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为（ ）
A. －4.8m/sB. －0.88m/s
C. 0.88m/sD. 4.8m/s
答案：A
解析：
思路：由已知结合瞬时变化率的定义即可求解
解答过程：
当→0时，→－4.8．
故选：A
2. 函数在处的导数为0，那么（ ）
A. B. 0C. 1D.
答案：B
解析：
解答过程：对函数求导可得，
由题意可得，解得.
3. 函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A. B. 且C. D. 且
答案：D
解析：
思路：求得，根据题意，得出不等式组，即可求解.
解答过程：由函数，可得，
因为函数既有极大值又有极小值，
则满足，解得且．
4. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用导数的四则运算对函数进行求导，令求出极值点，然后分别求出与时函数的单调区间，得出当时y取最大值，从而得出结论.
解答过程：已知函数，则，
令，则 ，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
∴当时y取最大值，
故选：A.
5. 由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A. 24B. 12C. 10D. 6
答案：C
解析：
思路：
分个位数是0和个位数是5两类求解.
解答过程：当个位数是0时，有个，
当个位数是5时，有个，
所以能被5整除的个数是10，
故选：C
6. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 210B. 120C. 80D. 60
答案：B
解析：
解答过程：的展开式中，含的项是C64x4C4324−3y3=120x4y3，所以的系数为120.
7. 抛掷2颗骰子，所得点数之和是一个随机变量，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：分别计算出，即可得出答案.
解答过程：
故选：C
方法提示：本题主要考查了古典概型求概率问题，属于基础题.
8. 设动直线与函数，的图象分别交于点、，则的最小值为
A. B. C. D. 1
答案：A
解析：
解答过程：由题意，令，则，
当时，，当时，，所以，即的最小值为,故选A.
二、多选题
9. 在同学聚会上，A，B，C，D四个同学站成一排照相留念，则下列说法正确的有（ ）
A. 若A、B不相邻共有12种方法B. 若A、B两人站在一起有24种方法
C. 若A在B左边有12种排法D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有14种方法
答案：ACD
解析：
思路：使用插空法可判断A；用捆绑法可判断B；定序问题用除法可判断C；根据特殊元素特殊位置优先排，计算可判断D.
解答过程：A中，先排C，D，共有种，再将A，B插入到3个空位中，共有种，所以A、B不相邻共有种，A正确；
B中，由捆绑法得，A、B两人站在一起共有，B错误；
C中，四人排成一排共有种，A，B的位置关系共两种，A在B左边占一半，故满足条件的排法有种，C正确；
D中，当B站最左边时，共有种；当B不站最左边时，先排B有2种，再排A有2种，最后排CD有，所以.所以A不站在最左边，B不站最右边共有14种方法.D正确.
故选：ACD
10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 二项式系数最大的项为B. 常数项为2
C. 第6项与第7项的系数相等D. 含的项的系数为480
答案：AC
解析：
思路：利用二项式系数的性质及展开式的通项公式即得.
解答过程：因为，所以二项式系数最大的项为，，A正确；
因为展开式的通项为，
令，得常数项为1，B错误；
第6项为，第7项为，
第6项与第7项的系数相等，C正确：
含的项为，其系数为448，D错误．
故选：AC．
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
答案：ABD
解析：
思路：对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由当，可得，结合A，即可判断B；判断是否有解，即可判断C；求解，即可判断D.
解答过程：解：对于A，因为，
令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，极小值为，
所以有三个零点，故A正确；
对于B，由A可知，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，故B正确；
对于C，因为，
，
因为无解，
所以不存在，使得为曲线的对称轴，故C错误；
对于D，因为，
，
当函数关于点中心对称时，
则有点，
即，
所以，解得，
所以当时，函数的图象关于中心对称，故D正确.
故选：ABD.
方法提示：结论点睛：函数关于对称，则有；函数关于中心对称，则有.
三、填空题
12. 曲线在在处的切线的方程为_________.
答案：
解析：
思路：根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．
解答过程：因为
所以，
，切点为 ,
∴ 曲线在 在处的切线的方程为,化为 ，
故答案为.
方法提示：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点处的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 P处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
13. 已知随机变量的分布列为
且，若，则________，________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：利用均值公式求解第一空，利用均值的性质求解第二空即可.
解答过程：由均值公式得，
因为，所以．解得．
故；
14. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有_________
答案：60
解析：
解答过程：每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：
一种是一家企业录用一名，种；
一种是其中有一家企业录用两名大学生，种，
∴一共有种.
四、解答题
15. 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有28人，型血的共有7人，型血的共有9人，型血的有3人．
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
答案：（1）共有种不同的选法 （2）共有种不同的选法
解析：
解答过程：试题分析：（1）由分类加法计数原理得共有种不同的选法；（2）由用分步乘法计数原理得共有种不同的选法．
试题解析：从型血的人中选1人有28种不同的选法．从型血的人中选1人有7种不同的选法，从型血的人中选1人有9种不同的选法，从型血的人中选1人有3种不同的选法．
（1）任选1人去献血，即无论选择哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有种不同的选法．
（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有种不同的选法．
方法提示：解此类题型关键是判定所求题目是符合分类原理，还是符合分步原理，再求得各类（步）的方法数，然后再各类相加，或各步相乘，即可求得正解.
16. 一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球.
（1）从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；
（2）从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列.
答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析.
解析：
思路：（1）根据题意，利用古典概型的概率公式分别求出和 时的概率，再画出 的分布列即可；
（2）根据题意，利用古典概型的概率公式求出时的概率 , 再根据对立事件的概率公式求出时的概率，最后画出 的分布列即可.
解答过程：（1）X的分布列为
（2）∵P(X＝0)＝ ＝ ，
∴X的分布列为
17. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
（1）求a，b，c的值;
（2）求y＝f(x)在区间[－3，1]上最大值和最小值．
答案：（1）；（2）最大值为，最小值为.
解析：
思路：（1）求导，结合导数的几何意义列方程组，即可得解；
（2）求导，确定函数的单调性和极值，再和端点值比较即可得解.
解答过程：（1）由题意，，
因为曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，
所以，，
又当时，y＝f(x)有极值，所以，
所以；
（2）由（1）得，，
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
又，，，，
所以在[－3,1]上的最大值为，最小值为.
18. 已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
答案：（1）－2 （2）1093
（3）2187
解析：
思路：运用赋值法结合二项式定理求二项展开式中部分项的系数之和．
（1）当时，；
当时，；
故；
（2）当时，；
由（1）知，
所以；
（3）由展开式可知均为负值，均为正值，
结合（1）（2）可知，
故
.
19. 已知函数，，为的导数，且.证明：
在内有唯一零点；
.
（参考数据：，，，，.）
答案：（1）证明见解析（2）证明见解析
解析：
思路：（1）由题意，得，分别求得在区间和上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；
（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到的最大值为，再由得，得到，利用作差比较，即可求解.
解答过程：（1）由题意，函数，则
所以，
当时，可得，即在内没有零点，
当时，，
因为，所以，所以在上单调递减，
又，且，
所以在内有唯一零点.
（2）由（1）得，当时，，所以，即单调递增；
当时，，所以，即单调递减，
即的最大值为，
由得，所以，
因此，
因为，所以
从而，即，
所以，故.
方法提示：本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
1
2
3
1
2
3
X
0
1
P


X
0
1
P