2025--2026学年河北省唐山市第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河北省唐山市第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
2. 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（ ）
A. 0.0123B. 0.0234C. 0.0345D. 0.0456
3. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A. 64种B. 18种C. 24种D. 36种
4. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 2B. C. 3D.
6. 已知，其中为自然对数的底数，则
A. B.
C. D.
7. 已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、多选题
9. 已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下：
其中为非负数.若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ）
A. 函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减
B. 函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2
C. 若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为
D. 若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则
三、填空题
12. 若（，为有理数），则______．
13. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．
（1）选出球的最大号码为6的概率为________．
（2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________．
四、解答题
15. 已知的展开式共有11项.
（1）求展开式中各项二项式系数的和；
（2）求展开式中的系数.
16. 已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
17. 我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.
（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
18. 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．
（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数的分布列；
（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为元，求的分布列．
19. 已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围．
数学
一、单选题
1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：根据图像可知时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减。
综上，只有D选项符合.
2. 甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为5%，4%，2%，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为（ ）
A. 0.0123B. 0.0234C. 0.0345D. 0.0456
答案：C
解析：
思路：用独立事件和互斥事件概率公式即可求得.
解答过程：所求概率为.
故选：C.
3. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A. 64种B. 18种C. 24种D. 36种
答案：D
解析：
思路：先将4项工作分成3组，再按排列的方式安排给3个人做，即可求解.
解答过程：4项工作分成3组,可得：，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，
可得：种．
故选：D.
方法提示：本题主要考查均匀分组问题，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
4. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：求导，即可求解.
解答过程：由，得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B.
5. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 2B. C. 3D.
答案：B
解析：
思路：由题意转化条件得，再由二项式定理写出的通项公式，分别令、，求和即可得解.
解答过程：由题意，
的通项公式为，
令，则；
令，则；
所以的展开式中，的系数为.
故选：B.
方法提示：本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
6. 已知，其中为自然对数的底数，则
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：当时，单调递增，当时， 单调递减，所以故有选D.
7. 已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：求导，设，根据题意结合导数的几何意义列式求解即可.
解答过程：因为，则，
直线，即为，其斜率为，
设，
由题意可得：，解得.
故选：C.
8. 若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：B
解析：
思路：问题转化为对任意恒成立，令，根据函数的单调性求出的最大值即可．
解答过程：解：问题转化为，
当时，不等式显然成立，
当时，即有对任意恒成立，
令，则，
令，
则，
故在递增，
， ，
，使得，故，
故时，，，时，，
故在递减，在，递增，
故，
故，
故整数的最大值为4，
故选：．
方法提示：本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用以及函数最值问题，考查转化思想，是一道常规题．
二、多选题
9. 已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下：
其中为非负数.若，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：AC
解析：
思路：利用数学期望与分布的性质可求得判断AB；利用数学期望与方差的性质计算求得，判断CD.
解答过程：因为，所以，
整理得.
又，解得，，故A正确，B错误；
因为，所以，又，所以，故C正确，
因为，所以，又，所以，故D错误.
故选：AC.
10. 若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：BC
解析：
思路：利用赋值法求解二项式展开式中系数问题.
解答过程：对于选项A，令，得 ，故A错误；
对于选项B, 令,得 即，故B正确；
对于选项C, 设展开式通项为，
所以，，
故C正确；
对于选项D,对两边同时求导可得
，
令，得
，故D错误.
11. 已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ）
A. 函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减
B. 函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2
C. 若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为
D. 若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则
答案：BCD
解析：
思路：AB.令，用导数法判断；C. 由与关于对称，且与切于，与切于求解判断；D.将f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，转化为对恒成立，用导数法求解判断.
解答过程：解：设，则，
所以在上递增，又，又，
则存在，当时，，递减，当时，，递增，故A错误；
有，即，
所以当时，，当时，，
所以，又，则，故B正确；
易知与关于对称，
且与切于，与切于，
所以|PQ|的最小值为，故C正确；
若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则，
即对恒成立，即
令，则在上递增，
则，，所以
令，则，
当时，，当时，，
所以，所以，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
12. 若（，为有理数），则______．
答案：
解析：
思路：根据幂的运算法则计算可得；
解答过程：解：
因为（，为有理数）
所以
故
13. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．
（1）选出球的最大号码为6的概率为________．
（2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：（1）从10个球中取4球，用组合数写出总事件的个数和符合条件的事件的个数，求比值即可；（2）令事件选出的4个球中含4号球，选出的4个球中最大号码为，求出，即可得答案.
解答过程：（1）从10个大小相同的球中任取4个有种方法，
若所取4个球的最大号码是6，则必有一个球号码是6，
另外3个球需从1、2、3、4、5号球中取3个，有种方法，
故所取4个球的最大号码是6的概率为：
（2）令事件选出的4个球中含4号球，选出的4个球中最大号码为．
依题意知，，
．
故，
14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________．
答案：
解析：
思路：由题可得，可构造函数则，再求函数的最大值即可.
解答过程：关于的不等式在上恒成立，则，
设，∴
∵，
∴在上单调递增，
∴即，
设，
∴，令，得，
当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
∴，
∴.
故.
四、解答题
15. 已知的展开式共有11项.
（1）求展开式中各项二项式系数的和；
（2）求展开式中的系数.
答案：（1）1024；
（2）.
解析：
思路：(1)通过二项式展开式的项数，可得的值，二项式系数的和为.(2) 结合二项式的展开式的通项公式求出展开式中的系数.
（1）由的展开式共有11项可得，，
故二项式的展开式中各项二项式系数的和为
；
（2）二项式的展开式的通项公式为
，
令，解得.
所以二项式展开式中的系数为.
16. 已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
答案：（1）函数在上单调递减，在上单调递增
（2）解析：
思路：（1）求导，讨论导函数的符号，可得函数的单调性.
（2）分析函数的单调性，由函数的极小值小于0可得a的取值范围.
（1）当时，，所以.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为.
若，则在上恒成立，所以在上单调递增；
若，由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
若函数有两个零点，必有.
且极小值.
且当时，；当时，.
所以当时，函数有两个零点.
17. 我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.
（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
答案：（1）分布列见解析，
（2）解析：
思路：（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；
（2）根据条件概率以及全概率公式求解可得
（1）起火点被无人机击中次数的所有可能取值为
，
.
的分布列如下：
.
（2）击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率.
18. 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．
（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数的分布列；
（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为元，求的分布列．
答案：（1）答案见解析；（2）①；②答案见解析．
解析：
思路：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，则X的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；
（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率；
②由题意Y的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的概率分布列.
解答过程：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故的取值只有0和1两种情况，
，
，
因此随机变量的分布列为：
（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖，
故所求概率；
②随机变量的所有可能取值为0，10，20，50，60，
且，
，
，
，
，
因此随机变量的分布列为：
19. 已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围．
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）
解析：
思路：（1）求出后根据可求的最小值；
（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.
（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上单调递增，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上单调递增，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上单调递减，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
方法提示：思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
0
1
0
10
20
50
60