河北唐山市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析）

这是一份河北唐山市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人:张晶晶 审核人:张海悦
一、单选题
1. 已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】将复数根代入方程后结合实部虚部均为零可求的值.
【详解】因为是关于x的方程（）的一个复数根，
所以，整理得：，
而，故，
故选：A.
2. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（ ）
A. B. 2πC. D. 7π
【答案】D
【解析】
【分析】首先求圆台的高，再代入体积公式，即可求解.
【详解】设圆台的高为，由题意可知，，得，
圆台的体积.
故选：D
3. 如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量运算法则计算即可.
【详解】因为为边上靠近的三等分点，
所以，
所以
,
因为为的中点，
所以，
所以.
4. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（ ）
A. 2B. C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】将直观图还原为原图，如图，

在直观图中，，则，
故在原图中，，，
所以，而，
所以原四边形ABCD中最长边为6.
5. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，若该三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为该三角形有两解，所以，
即，所以的取值范围是.
6. 已知单位向量，，满足，则向量，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由，
两边同时平方得，
故，
所以，
因，
所以向量，的夹角为．
7. 记的内角的对边分别为，已知，，当的面积的最大值时，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得当的值最大等价于的面积最大，由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值.
【详解】由于，，
所以的面积，
则当的值最大时，的面积最大，
由余弦定理可得，又，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，又，故为锐角，
所以，
则面积最大时，的值为
8. 如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由最小时，得到分别为的三等分点，得到以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合扇形的弧长公式，即可求解.
【详解】由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内，
如图（1）所示，可得，
所以，
当最小时为，
此时，即分别为的三等分点，
因为，所以，
分别在取点，使得，
可得，
则以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图（2）所示，
所以轨迹的长度为.
二、多选题
9. 设，是复数，则下列命题中的真命题有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由得到，故，从而得到结论；对于B，根据共轭复数的定义求解；对于C，设，，，，，，根据复数的模的定义得解；对于D，根据复数的模的定义求解．
【详解】对于A，若，则，，所以为真；
对于B，若，则和互为共轭复数，所以为真；
对于C，设，，，，，，
若，则，，，
所以为真；
对于D，若，，
则为真，而，，所以为假．
故选：ABC.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A. 不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面B. 存在点Q，使得平面
C. 三棱锥的体积为D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
【答案】BCD
【解析】
【分析】当与重合时，说明判断A；当为的中点时，证明平面判断B；结合三棱锥体积公式判断C；利用割补法求得经过四点的球的半径，即可求得球的表面积判断D.
【详解】对于A，当与重合时，连接，由,
则四边形为平行四边形，，又，故，
因此四点共面，A错误；

对于B，当为的中点时，，而四边形为平行四边形，
则，，平面，平面，则平面，B正确；
对于C，点到面的距离为2，而，则，C正确；
对于D，设分别为的中点，则为长宽高分别为2，2，1的长方体，
根据分割补形法知：经过四点的球即为长方体的外接球，

因此该外接球的直径满足：，
所以经过四点的球的表面积为，D正确.
故选：BCD
11. 如图，已知正方形的边长为2，动点在以为直径的半圆弧上（正方形内部，含边界），则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最大值为2
C. 若，则的最大值为
D. 若为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示、正弦函数的性质及辅助角公式即可判断选项ABC；取的中点，连接，求出的取值范围，再根据结合数量积的运算律求解即可判断选项D.
【详解】以为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，.
选项A：，，所以，故A正确.
选项B：取中点，则.
设，则，所以，，
所以，
当即（或）时最大值为4，故B错误.
选项C：，，，
由得，则.
所以，
当，即时，取得最大值，为，故C正确.
选项D：取的中点，连接，
因为是边长为2的正方形，动点为图中半圆内（含边界）的动点，
所以当在点或点时，取得最大值，当在弧中点时，取得最小值1，即
又，，
所以，故D正确.
三、填空题
12. 已知，若，则点坐标为__________.
【答案】
【解析】
【详解】设，因为，
所以，，
又因为，即，
所以，解得，即.
13. 已知直三棱柱的各顶点都在一个球面上，且，，，则这个球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可得的外接圆的半径，在直角三角形 中，根据勾股定理可得球半径，进而可求表面积.
【详解】设的外心分别为,连接，可知外接球的球心为的中点，
连接
在，由，，
可得
由正弦定理可得的外接圆的半径,
在直角三角形中，外接球的半径,
所以直三棱柱的外接球的表面积为,
14. 设正实数满足，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】构造，利用等面积法列式求解．
【详解】因为，所以，
构造，令，
由余弦定理可知，则，
同理，，且，
此时，为直角三角形，
由，
得，
所以．
四、解答题
15. 复数其中，复数满足，其中为虚数单位．
（1）若为虚数，求的取值范围；
（2）求与；
（3）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据虚数的定义求解即可.
（2）根据复数的乘除法运算法则和共轭复数的定义、复数的模的公式进行计算即可.
（3）先根据复数的模的公式计算出，然后根据二次函数的性质求出最小值.
【小问1详解】
因为复数为虚数，所以，所以.
【小问2详解】
因为复数满足，所以，
化简得，所以.
所以.
【小问3详解】
因为复数，，所以.
所以，
根据二次函数的性质可得，所以，
所以的最小值为.
16. 已知向量，满足，，且，的夹角为．
（1）求；
（2）求在上的投影向量；（用表示）
（3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解；
（2）利用投影向量的计算公式计算求解；
（3）结合已知条件构造不等式，解不等式求实数的取值范围
【小问1详解】
已知，，且，的夹角为，
，
．
【小问2详解】
根据投影向量的定义，在上的投影向量为，
，，
投影向量为．
【小问3详解】
已知向量与向量的夹角为钝角，
，且与不反向共线；
则，
即，解得；
若两向量反向共线，则存在实数，使得，，
即，将代入，得到，
由，解得，
与不反向共线，
，
综上可得，实数的取值范围是．
17. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.

（1）证明：；
（2）证明：∥平面；
（3）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，3
【解析】
【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质即可得结果；
（2）根据平行关系可得，结合线面平行的判定定理分析证明；
（3）取中点，连接，，可证平面∥平面，根据面面平行的性质可得，再结合平行线的性质运算求解.
【小问1详解】
因为为平行四边形，则，
且平面，平面，可知∥平面，
又因为平面平面，平面，
所以.
【小问2详解】
取中点，连接，，

则，且，
可知，则四边形为平行四边形，可得，
且平面，平面，
所以∥平面.
【小问3详解】
存在，使平面，，理由如下：
取中点，连接，，

则∥，且平面，平面，
所以∥平面，
又因为∥平面，且，，平面，
所以平面∥平面，
平面平面，平面平面，
可得，
因为为中点，且为中点，可得，
又因为，所以.
18. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 .
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①；②.
（1）证明：；
（2）若的平分线交于，，，求的值；
（3）求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证；
（2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解；
（3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围.
【小问1详解】
若选①：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），即；
若选②：由正弦定理及，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以或（舍去），
所以；
【小问2详解】
因为，为锐角，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，；
【小问3详解】
由是锐角三角形，，，，可得，
所以，
，
令，则，在上单调递增，
而，，
所以，
所以.
19. 在中，对应的边分别为，.
（1）求角的大小；
（2）奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式：
，
其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若.
①求的最小值；
②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）①108；②.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解.
（2）①化简为，由三维柯西不等式求解；②由三维柯西不等式有求解.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，
得，而，
则，即，
整理得，即，又，
于是，又，所以.
【小问2详解】
①由正弦定理得，
由柯西不等式得
，
当且仅当，即为正三角形时取等号，
所以的最小值为108.
②.
又，
，由三维柯西不等式
得，
当且仅当，即时等号成立，
因此，
由余弦定理，得，则，
，令，则，
由，得，当且仅当时等号成立，
则，即，函数，
则当，即时，，，
所以当时，取得最小值.