2025--2026学年海南省海口市第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年海南省海口市第二中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ）
A. B. C. D. 12
4. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 3
5. 已知与是不共线的向量，且，若三点共线，则的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
6. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）

A. B. C. D.
7. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. 4B. C. 3D. 5
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 在复平面上对应的点在第四象限
C. 是纯虚数D. 的虚部为
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ）
A.
B.
C. 是函数的一条对称轴
D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到
11. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 在中，若，，，则________．
13. 已知，，则__________
14. 在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，．
（1）求；
（2）设与的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为.
（1）求这个函数的解析式，并写出其图象的对称轴方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
17. 在中，内角，，所对的边长分别是，.
（1）求角；
（2）若，，，求AB边上的高.
18. 随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高，大家对住宅区的园林绿化设计提出了更高､更新的要求，设计制“人性化，生态化､自然化”的园林式居住区，以提高现代人的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四周配植修剪整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高､中､低植物，BD为鹅卵石健康步道，，，，.
（1）求鹅卵石健康步道BD的长（单位：）；
（2）求绿化用地总面积（单位：）.
19. 已知，，函数.
（1）求函数的解析式及周期；
（2）若，且，求的值.
（3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值.
数学
总分值：150分 考试时长：120分钟
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
答案：C
解析：
思路：根据模长公式运算即可得解.
解答过程：因为,所以.​
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，
所以.
3. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ）
A. B. C. D. 12
答案：B
解析：
思路：利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长.
解答过程：由题可作出图形，如下图所示：
由，可知，，，
所以，
故的周长为.
4. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 3
答案：A
解析：
思路：设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解.
解答过程：设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为，
因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，
可得，所以，
又因为圆台的侧面积为，可得，解得.
故选：A.
5. 已知与是不共线的向量，且，若三点共线，则的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，且三点共线，
所以存在实数，使得，即.
因为与是不共线的向量，所以，解得​，
代入得，因此的值为.
6. 如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平面向量的线性运算求解即可.
解答过程：因为，所以.
因为点为的中点，所以，
所以.
故选：B.
7. 已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：在边长为2的正方形中，，
设，，
而，因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
8. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. 4B. C. 3D. 5
答案：C
解析：
思路：利用降幂公式及正弦定理将边化为角后结合辅助角公式可求出，再利用余弦定理计算即可得.
解答过程：由，得，
，
，.，，
，，，，
由余弦定理，
得，解得.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 在复平面上对应的点在第四象限
C. 是纯虚数D. 的虚部为
答案：ABC
解析：
思路：根据复数代数形式的除法运算化简，再一一判断即可.
解答过程：因为，所以复数的虚部为1，故D错误；
对于A：，故A正确；
对于B：因为，所以在复平面上对应的点为，位于第四象限，故B正确；
对于C：是纯虚数，故C正确.
故选：ABC.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ）
A.
B.
C. 是函数的一条对称轴
D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到
答案：ABD
解析：
思路：根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解.
解答过程：A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确；
B，由，可得，可得，
解得，因为，所以，所以B正确；
C，由，令，可得，
令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误；
D，将函数的图象向左平移个单位，
可得，所以D正确.
11. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量为
答案：ACD
解析：
思路：根据数量积的定义求，判断A，根据向量的线性运算判断BC，利用基底表示，根据投影向量的定义计算在上的投影向量，判断D.
解答过程：对于A，由已知，即向量的夹角为，
又，则，A正确，
对于B，，，B错误，
对于C，因为，，
所以，
所以，又为的角平分线，
由平行四边形法则可得，
所以，C正确，
对于D，因为，，
则，又，
所以在上的投影向量为，D正确.
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 在中，若，，，则________．
答案：3
解析：
解答过程：由余弦定理得：，
所以
13. 已知，，则__________
答案：##
解析：
思路：对已知的两个式子左右两边平方，相加后利用同角三角函数基本关系，再结合两角差的正弦定理的逆用，代入即可求解.
解答过程：由题知①，
②，
得，
即，
所以，所以.
14. 在中，，点在线段上，点在线段上，且满足，.记，，用和表示______；若，，则______.
答案： ①. ②.
解析：
思路：根据向量的线性运算，以及数量积的运算律，即可求解.
解答过程：由题设，，
所以.
,
,
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，．
（1）求；
（2）设与的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
答案：（1）7 （2）
（3）解析：
思路：（1）根据向量线性运算的坐标运算求出的坐标，根据向量的模的计算可得解；
（2）利用向量的夹角公式直接可得解；
（3）根据向量垂直可得数量积，进而可得参数值.
（1）由已知，，
则，故；
（2）由已知可得，，，
则；
（3）由向量与互相垂直，
则，
解得.
16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为.
（1）求这个函数的解析式，并写出其图象的对称轴方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
答案：（1），对称轴方程
（2）最大值是，最小值是
解析：
思路：（1）根据函数图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出，最后根据正弦函数对称轴的条件写出方程；
（2）先求出相位在区间内的取值范围，再分别找到使函数取得最值的相位，反解出对应并代入计算，从而得到区间上的最大值和最小值.
（1）由图可知，还可知，故可得最小正周期，
因为，所以，
因为，，则，
综上可得，
由，可得，此即为函数图像的对称轴方程；
（2）当时，，
当，即时，取得最大值为；
当，即时，取得最小值为；
故在区间上的最大值是，最小值是.
17. 在中，内角，，所对的边长分别是，.
（1）求角；
（2）若，，，求AB边上的高.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得；
（2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解.
（1）因为，
根据正弦定理得，.
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）根据余弦定理得，，
将，代入上式整理得，，
又因为且，解得，，
所以，所以为以AB为斜边的直角三角形，
所以斜边AB上的高为.
18. 随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高，大家对住宅区的园林绿化设计提出了更高､更新的要求，设计制“人性化，生态化､自然化”的园林式居住区，以提高现代人的生活质量，成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地，如图所示，区域四周配植修剪整齐的本土植物，中间区域合理配植有层次感的高､中､低植物，BD为鹅卵石健康步道，，，，.
（1）求鹅卵石健康步道BD的长（单位：）；
（2）求绿化用地总面积（单位：）.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）在中利用余弦定理计算可得；
（2）在中，由面积公式计算，由余弦定理求出，即可得到，再根据两角差的正弦公式求出，即可求出，即可得解；
（1）解：在中由余弦定理可知，
即.
（2）解：在中，.
由余弦定理可得，
则
因为，，所以，在中，，则
，
则
所以绿化用地总面积为.
19. 已知，，函数.
（1）求函数的解析式及周期；
（2）若，且，求的值.
（3）角、、分别为、、三边所对的角，若，，求周长的最大值.
答案：（1），
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可；
（3）由得出，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可.
（1）.
周期；
（2）由可知，，化简得，
，，，
；
（3）由可得，即，
又，则，则，所以.
由余弦定理知：
，
当且仅当时“”成立，
此时为等边三角形，
又所以的周长的最大值为.