2025--2026学年海南中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年海南中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. 2C. D.
2. 已知向量 ，若，则=（ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. πD.
4. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，， ，则（ ）
A. -5B. C. -4D. 0
7. 已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ）
A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ）
A. B. 3C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
10. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则符合条件的有两个
11. 正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 当为内部的点，，，
则
C. 点在线段上时，
D. 若，则点轨迹长度为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________.
13. 在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i. 已知点A，点B， 将向量绕点A逆时针旋转得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）.
14. 已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，其中为虚数单位，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16. 已知向量
（1）若=，求的取值；
（2）若向量，夹角为钝角，求的取值范围．
17. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，，同时测得．
（1）求A，M两点间的距离；
（2）求山顶M，N之间的距离．
18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
（3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值．
19. 在中，周长为20，面积为，且.
（1）求边的长度；
（2）若动点是的内切圆上的一点，且.
①求的值；
②求的取值范围.
数学
满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. 2C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题意可得：的共轭复数 ，
所以的虚部为.
2. 已知向量 ，若，则=（ ）
A. B. C. D. 2
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以，所以.
3. 已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. πD.
答案：B
解析：
思路：圆锥的轴截面特征即可求.
解答过程：因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,
所以圆锥底面半径, 高为等边三角形的高为，
则圆锥的体积.
故选：
4. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：已知，.
所以.
因为，所以.
由投影向量公式可得在上的投影向量
所以在上的投影向量为.
5. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论.
解答过程：因为是的中点，所以，
因为是的靠近的三等分点，所以，
所以．
6. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，， ，则（ ）
A. -5B. C. -4D. 0
答案：C
解析：
思路：利用平面向量数量积的定义可求的值，由题意得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求的值.
解答过程：由平面向量数量积的定义可得，
由题意可知，，
所以
7. 已知O为锐角内一点满足，且，则为（ ）
A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
答案：D
解析：
思路：分析可知O为三角形外心，根据数量积可得，进而可得结果.
解答过程：因为，可得O为三角形外心，
又因为，即，
又角为锐角，可得，
所以，故为等边三角形.
8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ）
A. B. 3C. D.
答案：C
解析：
思路：根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出.
解答过程：由题意得，，结合正弦定理得，
因，则，则，
若，则，与上式矛盾，故，则，
因，则，
因为AC边上的中线，则，
则
，
则.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
答案：ABC
解析：
思路：根据圆台，棱柱，正棱锥，棱台的定义判断.
解答过程：对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错；
对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错；
对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错；
对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确，
故选：ABC.
10. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则符合条件的有两个
答案：ABD
解析：
思路：根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理逐项判断即可.
解答过程：对于A，由正弦定理得，A正确；
对于B，由余弦定理得，B正确；
对于C，由及余弦定理得，则是锐角，
而之一可以是直角或钝角，C错误；
对于D，由，得，
又，则，可以为锐角，也可以为钝角，即有两个，D正确.
11. 正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 当为内部的点，，，
则
C. 点在线段上时，
D. 若，则点轨迹长度为
答案：AB
解析：
思路：对于选项ACD利用平面向量的坐标表示可以简化问题，让问题快速解答；对于选项B要综合利用平面向量共线定理及平面向量基本定理，得到的关系，从而求解问题.
解答过程：以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，那么
对于A选项，，设，，，
由得，，
所以，即，，
故当时，取得最大值，最大值为，故A选项正确；
对于B选项，设与相交于，则由，
设与相交于，则由可得，
因，，三点共线，故存在实数，
使，
因C，P，N三点共线，故存在实数n，
使得，
所以，解得，
由于，
所以，，所以，B选项正确.
对于C选项，点在线段上时，设，，
，故C选项错误；
对于D选项，由A选项知，，故，即，
所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段，
其中中，令得，令得，
故，故使的点轨迹长度为，
所以，D选项错误.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________.
答案：
解析：
思路：根据斜二测画法，与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出，，的长度，即可求出原三角形的周长.
解答过程：在中，，
根据直观图画出原图如下：
则，，
在中，，
所以原三角形的周长是.
13. 在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i. 已知点A，点B， 将向量绕点A逆时针旋转得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）.
答案：
解析：
解答过程：已知点A，点B，可得.
将向量绕点A逆时针旋转得到向量，
则对应的复数为，所以三角形式为 .
14. 已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________.
答案：
解析：
思路：画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，再计算对应圆台的侧面积，球的表面积，即可得答案.
解答过程：设上底半径，下底半径 .
由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长 ，
圆台的高（为球的半径）
由勾股定理得： ，
因此球半径 ，
所以圆台侧面积，
球的表面积，
所以=.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，其中为虚数单位，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
答案：（1）1 （2）
解析：
（1）由是纯虚数，可得，解得，
故的值为1.
（2）由 在复平面内对应的点在第四象限，
可得，解得，即的取值范围为.
16. 已知向量
（1）若=，求的取值；
（2）若向量，夹角为钝角，求的取值范围．
答案：（1）或.
（2）解析：
思路：(1)由题意知，再结合向量模的运算公式解方程即可；
(2)由题意知且，不共线，再结合向量共线的坐标关系，数量积运算的坐标表示求解即可。
（1）解：因为向量，
所以，
所以=，即，解得：或.
（2）解：因为向量，夹角为钝角，
所以且，不共线，
又因为，解得，
当，反向共线时，有，解得 ，
所以且，不共线时，的取值范围为：
综上，向量，夹角为钝角时，的取值范围为
17. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，，同时测得．
（1）求A，M两点间的距离；
（2）求山顶M，N之间的距离．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）在中，利用正弦定理求解；
（2）由题可得为等腰三角形，可求得，在中，利用余弦定理求解.
（1）如图所示，在中，，
由正弦定理可得，，所以.
（2）∵，，
∴，易求得，
在中，，由余弦定理得，，
代入数据有，即.
所以M，N之间的距离为.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
（3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解；
（2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可；
（3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可.
（1）由正弦定理可得：，
因为，
所以，
即，
由可得，即，
由，可得.
（2）因为，
所以
，
由三角形为锐角三角形可知，，解得，
所以，，
所以.
（3）如图，
由余弦定理，，
即，当且仅当时，等号成立，
又，
化简可得，，
所以，当且仅当时等号成立.
故BD长度的最大值为.
19. 在中，周长为20，面积为，且.
（1）求边的长度；
（2）若动点是的内切圆上的一点，且.
①求的值；
②求的取值范围.
答案：（1）BC=7；（2）①；②.
解析：
思路：（1）解方程组即得解；
（2）①由题得，,解方程组即得解；②以点A为坐标原点建立直角坐标系，设，不妨设，求出，即得解.
解答过程：（1）由得. 所以.
由题得
解方程组得或.
故BC=7.
（2）①由题得内切圆的半径，
因为.
因为，
所以，
如果，
所以.
所以,
解之得
当时，. 故.
②以点A为坐标原点建立直角坐标系，
则圆的方程为，
设，不妨设，
所以
所以
，
所以.
方法提示：关键点睛：解答本题的关键是第2问的②，关键是联想到建立直角坐标系，利用解析几何的方法解决最值问题，通过建立坐标系，建立函数.